二次函数与根的判别式韦达定理

1、二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1:公共点问题【例1】如图，抛物线y=x2+4x3的顶点为M直线y=2x9与y轴交于点C,与直线M仅于点D,现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.【练】如图，已知抛物线y=x2+2x+8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,直线CD交x轴于点E,过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？讲点2:距离问题【例2】如图，抛物线y=a（x1）2

2、+4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点，已知CA应，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m,求m的值.【练】如图，抛物线y=ax26ax+5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线与直线y=2x的最近点之间的距离为2但，求a的值.5讲点3:隐藏判别式【例3】如图，点P是直线l:y=2x2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2与A,B两点,试证明：对于直线l上任意给定的一点巳在抛物线上都能找到点A,使得PA=AB成立.【练】如图，已知二次函数y=a(x26x+8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A,B,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.当点P在抛物线对

3、称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a,使得四条线段PA,PB,PC,PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由.讲点4：交点间的距离【例4】已知二次函数y=x22mx+m2+m的图象与函数y=kx+1的图象交于A(xi,yi),B(X2,y2)(xiVX2)两点.(1)如图1,当k=1,m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；(2)如图2,当m=0,k取不同值时，猜想AOB的形状，并证明你的猜想.【例5】如图，抛物线y=x24x+5与y轴交于点C,过点N(1,2)作直线l,交抛物线于点P,交y轴于点E,连接PC,若

4、PE=PC求直线l的解析式.【练】如图，抛物线G:y=x2+4x+3交x轴于A,B两点，交y轴于点C,将抛物线Ci沿y轴翻折得新抛物线C2,过点C作直线l交抛物线。于点M交抛物线Q于点N,若MNk8J2,求直线l的解析式.三、对称问题【例6】如图，已知抛物线y=x2-2x-3,直线y=kx1与抛物线交于P,Q两点，且y轴平分线段PQ求k的值.【练】如图，已知抛物线y=x24x+3,过点D(0,5)的直线与抛物线交于点M,N,与x轴交于点E,2且点M,N关于点E对称，求直线MN的解析式.四、与面积结合【例71如图，抛物线y=x24x+5顶点为M平移直线y=x交抛物线于点H,K,若S(amh-3,

5、求平移后直线的解析式.【课后反馈】1 .如图，已知抛物线y=x22x3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,将抛物线沿对称轴向上平移k个单位长度后与线段BC交于D,E两个不同的点，求k的取值范围.*y2 .如图，抛物线y=ax26ax+5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线不通过直线y=2x上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围.3 .如图，抛物线y=-x2+-x+2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,将抛物42线沿直线BC平移，与射线AC（含点A）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围.4.如图,已知抛物线C:y=x22x + 4和直线l ： y = -2x+8,直线y=kx (k>0)与抛物线 C交于A,B11两点，与直线l交于点P,分另1J过A,B,P作x轴的垂线，垂足依次为Ai、Bi、Pi,若，+_OA1OB1OP求u的值._LAOA1P1Bix5.如图1,抛物线Ci：y=x2+4x+3顶点为M抛物线C2与抛物线。开口