2017-2018学年人教A版高中数学必修二（浙江专版）学案：1.3空间几何体的表面积与体积 Word版含答案

1、1.3 13.1柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本p2327，思考并完成以下问题1棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 1柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：s底r2侧面积：s侧2rl表面积：s2rl2r2圆锥底面积：s底r2侧面积：s侧rl表面积：srlr2圆台上底面面积：s上底r2下底面面积：s下底r2侧面积：s侧l(

2、rr)表面积：s(r2r2rlrl)2柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式vsh(s为底面面积，h为高)；锥体的体积公式vsh(s为底面面积，h为高)；台体的体积公式v(ss)h.点睛(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()答案：(1)×(2)2侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是()a.a2b.a2c.a2 d.a2解析：选a侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，s表a23×

3、15;2a2.3若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是_解析：由已知圆锥的高h4，所以v圆锥×32×412.答案：12柱、锥、台的表面积典例现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积解如图，设底面对角线aca，bdb，交点为o，对角线a1c15，b1d9，a252152，b25292，a2200，b256.该直四棱柱的底面是菱形，ab22264，ab8.直四棱柱的侧面积s4×8×5160.(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何

4、体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解活学活用1(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()a3b4c24 d34解析：选d由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为2×22×××12×1×243.2圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为()a81 b100c168 d16

5、9解析：选c先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为r，则它的母线长为l5r10，所以r2，r8.故s侧(rr)l(82)×10100，s表s侧r2r2100464168.柱体、锥体、台体的体积典例一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a22 b42c2 d4解析该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×，所以该几何体的体积为2.答案c空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体

6、、锥体或台体，则可直接利用公式求解(2)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解活学活用1已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_解析：设圆台的上、下底面半径分别为r和r，母线长为l，高为h，则s上r2，s下r24，r1，r2，s侧(rr)l6，l2，h，v(12221×2)×.答案：2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于_解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积v×3×4×5××4×3×

7、324.答案：24几何体体积的求法题点一：等积变换法1.如图所示，正方体abcd­a1b1c1d1的棱长为1，e为线段b1c上的一点，则三棱锥a­ded1的体积为_解析：v三棱锥a­ded1v三棱锥e­dd1a××1×1×1.答案：2.如图所示，三棱锥的顶点为p，pa，pb，pc为三条侧棱，且pa，pb，pc两两互相垂直，又pa2，pb3，pc4，求三棱锥p­abc的体积v.解：三棱锥的体积vsh，其中s为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把b看作顶点，pac作为底面求解故vs

8、pac·pb××2×4×34.题点二：分割法3.如图，在多面体abcdef中，已知面abcd是边长为4的正方形，efab，ef2，ef上任意一点到平面abcd的距离均为3，求该多面体的体积解：如图，连接eb，ec.四棱锥e­abcd的体积v四棱锥e­abcd×42×316.ab2ef，efab，seab2sbef.v三棱锥f­ebcv三棱锥c­efbv三棱锥c­abev三棱锥e­abc×v四棱锥e­abcd4.多面体的体积vv四棱锥e­

9、abcdv三棱锥f­ebc16420.题点三：补形法4如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为×22×520，故所求几何体的体积为10.5已知四面体abcd中，abcd，bcad2，bdac5，求四面体abcd的体积解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则vd­abede·sabev长方体，同理，vc­abfvd­acgvd­bchv长方体

10、，v四面体abcdv长方体4×v长方体v长方体而v长方体2×3×424，v四面体abcd8.(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积 层级一学业水平达标1已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()a22b20c10 d11解析：选a所求长方体的表面积s2×(1×2)2×(1×3)2×(2

11、×3)22.2若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()a12 b1c1 d.2解析：选c设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lr.s侧rlr2，s底r2，s底s侧1.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()a. b.c. d.解析：选b由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为×××12×.4已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则该圆台较小底面的半径为()a7 b6c5 d3解析：选a设圆台较小

12、底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由s侧3(r3r)84，解得r7.5.如图，abc­abc是体积为1的棱柱，则四棱锥c­aabb的体积是()a. b.c. d.解析：选cvc­abcvabc­abc，vc­aabb1.6棱长都是3的三棱锥的表面积s为_解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以s4××329.答案：97若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_解析：易知圆锥的母线长l2，设圆锥的底面半径为r，则2r×2×2，r1，圆锥的高h，则圆锥的体积vr2h.答案：8如图是一

13、个几何体的三视图，若它的体积是3 ，则a_.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积v3×3 ，所以a.答案：9如图，在四边形abcd中，dab90°，adc135°，ab5，cd2，ad2，若四边形abcd绕ad旋转一周成为几何体(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积解：(1)如图所示(2)过c作ce垂直ad延长线于e点，作cf垂直ab于f点由已知得：de2，ce2，cf4，bf523.bc5.下底圆面积s125，台体侧面积s2×(25)×535，锥体侧面积s3×2×24，故表面积s

14、s1s2s3(604).10.如图，已知正三棱锥s­abc的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高so3，求此正三棱锥的表面积解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h，过点o作oeab，与ab交于点e，连接se，则seab，seh.s侧2s底，·3a·ha2×2.ah.sooe，so2oe2se2.322h2.h2，ah6.s底a2×629，s侧2s底18.s表s侧s底18927.层级二应试能力达标1正方体的表面积为96，则正方体的体积为()a48b64c16 d96解析：选b设正方体的棱长为a，则6a296，a4，故va34364.2.已知高

15、为3的棱柱abc­a1b1c1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥b­ab1c的体积为()a. b.c. d.解析：选dvb­ab1cvb1­abcsabc×h××3.3圆柱的一个底面积是s，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()a4s b2scs d.s解析：选a底面半径是，所以正方形的边长是22，故圆柱的侧面积是(2)24s.4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a. b.c. d.解析：选a由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为&#

16、215;22×2××22×1.5已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)26，故长方体的体积vabc.答案：6用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_解析：如图为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.答案：87如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这个几何体(不要求写画法)；(2)求这

17、个几何体的表面积及体积解：(1)这个几何体如图所示(2)这个几何体可看成是正方体ac1及直三棱柱b1c1q­a1d1p的组合体由pa1pd1，a1d1ad2，可得pa1pd1.故所求几何体的表面积s5×222×2×2××()2(224)cm2，所求几何体的体积v23×()2×210(cm3)8一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱(1)求圆锥的侧面积(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值解：(1)圆锥的母线长为2(cm)，圆锥的侧面积s1×2&

18、#215;24 (cm2)(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知，r，圆柱的侧面积s22rx(x26x)(x3)29，当x3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6 cm2.13.2球的体积和表面积预习课本p2728，思考并完成以下问题1球的表面积公式是什么？ 2球的体积公式是什么？ 1球的表面积设球的半径为r，则球的表面积s4r2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍2球的体积设球的半径为r，则球的体积vr3.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)两个球的半径之比为13，则其表面积之比为19()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等

19、于球的半径()答案：(1)(2)2若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是()a.b.c.d2c2解析：选c由2rc，得r，s球面4r2.3若一个球的直径是10 cm，则它的体积为_ cm3.解析：由题意知其半径为r5(cm)，故其体积为vr3××53(cm3)答案：球的体积与表面积典例(1)球的体积是，则此球的表面积是()a12b16c. d.(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为_解析(1)设球的半径为r，则由已知得r3，解得r2.故球的表面积s表4r216.(2)由已知可

20、得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和因为r1，所以s×4××122×××124.答案(1)b(2)4求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径r或者通过条件能求出半径r，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其

21、表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆活学活用某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即×4×12×123.答案：3球的截面问题典例如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()a. cm3b. cm3c. cm3 d. cm3解析如图，作出球的一个截面，则mc862(cm)，bmab×84(cm)设球的半径为r cm，则r2om2mb

22、2(r2)242，r5.v球×53(cm3)答案a球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径r，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即r2d2r2.活学活用一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是()a12 cm3 b36 cm3c64 cm3 d108 cm3解析：选b设球心为o，截面圆心为o1，连接oo1，则oo1垂直于截面圆o1，如图所示在rtoo1a中，o1a cm，oo12 cm，球的半径roa 3(cm)，球的体积v×

23、5;3336(cm3)与球有关的组合问题题点一：球的外切正方体问题1将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()a.b.c. d.解析：选a由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是××13.题点二：球的内接长方体问题2一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2r，所以球的表面积s4r214.答案：14题点三：球的内接正四面体问题3若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径

24、为r的球面上，求球的表面积解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则ax，由题意2rx×a，s球4r2aa.题点四：球的内接圆锥问题4球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_解析：如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为 ，高为.该圆锥的体积为××2×r3，球体积为r3，该圆锥的体积和此球体积的比值为.答案：题点五：球的内接直棱柱问题5设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()aa2 b.a2c.a2 d5a2解析：选b由

25、题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，p为三棱柱上底面的中心，o为球心，易知ap×aa，opa，所以球的半径roa满足r222a2，故s球4r2a2. (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2 ，如图(2)(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径r的关系为：2ra.

26、层级一学业水平达标1用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()a.b.c8 d.解析：选c设球的半径为r，则截面圆的半径为，截面圆的面积为s2(r21)，r22，球的表面积s4r28.2已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()a16 b20c24 d32解析：选a设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由va2ha26，得a.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3r)2()2r2，解得r2，则s球4r216.故选a.3某几何体的三视图如图所示，它的体积为()a72 b48c30 d24解析：选c由三视图可知几何体由一个半球

27、和倒立的圆锥组成的组合体v×32×4××3330 .4等体积的球和正方体的表面积s球与s正方体的大小关系是()as正方体>s球 bs正方体<s球cs正方体s球 d无法确定解析：选a设正方体的棱长为a，球的半径为r，由题意，得vr3a3，a，r，s正方体6a26，s球4r2<.5球的表面积s1与它的内接正方体的表面积s2的比值是()a. b.c. d解析：选c设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为r，则3a24r2，所以a2r2，球的表面积s14r2，正方体的表面积s26a26×r28r2，所以.6已知正方体的棱长为2，则与正方

28、体的各棱都相切的球的表面积是_解析：过正方体的对角面作截面如图故球的半径r，其表面积s4×()28.答案：87球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为_解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r1a，r1，所以s14ra2.答案：a28圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为_ cm2.解析：设该铁球的半径为r，则由题意得r3×102×，解得r353，r5，这个铁球的表面积s4×

29、52100(cm2)答案：1009若三个球的表面积之比为149，求这三个球的体积之比解：设三个球的半径分别为r1，r2，r3，三个球的表面积之比为149，4r4r4r149，即rrr149，r1r2r3123，得rrr1827，v1v2v3rrrrrr1827.10某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积s4r22rl4×122×1×310，该组合体的体积vr3r2l×13×12×3.层级二应试能力达标1在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢

30、球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()解析：选b正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点故选b.2一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()a. cm3b. cm3c. cm3 d. cm3解析：选c根据球的截面的性质，得球的半径r5(cm)，所以v球r3(cm3)3一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积s()a32 b322c282 d28解析：选a由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积s4×4×2×32×2

31、2×232.4.(新课标全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()a1 b2c4 d8解析：选b如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积s×4r2r24r2r·2r(54)r2.又s1620，(54)r21620，r24，r2，故选b.5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_解析：依题意得，该几何体是

32、球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2r，则2r 2，所以该几何体的表面积为4r24()212.答案：126已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是_解析：设球的半径为r，则r3，得r2，柱体的高为2r4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积v×(4)2×448.答案：487轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积解：如右图所示，作出轴截面，o是球心，与边bc，ac相切于点d，e.连接ad，oe，abc是正三

33、角形，cdac.rtaoertacd，.cd1 cm，ac2 cm，ad cm，设oer，则ao(r)，r cm，v球3(cm3)，即球的体积等于 cm3.8在半径为15的球o内有一个底面边长为12的内接正三棱锥a­bcd，求此正三棱锥的体积解：如图甲所示的情形，显然oaobocod15.设h为bcd的中心，则a，o，h三点在同一条直线上hbhchd××1212，oh9，正三棱锥a­bcd的高h91524.又sbcd×(12)2108，v三棱锥a­bcd×108×24864.对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥a

34、­bcd的高h1596，sbcd108，v三棱锥a­bcd×108×6216.综上，可知三棱锥的体积为864或216.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法中正确的是()a棱柱的侧面可以是三角形b正方体和长方体都是特殊的四棱柱c所有的几何体的表面都能展成平面图形d棱柱的各条棱都相等解析：选b棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故a、d不正确；球的表面不能为平面图形，故c不正确2如图所示的组合体，其构成形

35、式是()a左边是三棱台，右边是圆柱b左边是三棱柱，右边是圆柱c左边是三棱台，右边是长方体d左边是三棱柱，右边是长方体解析：选d根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体3.如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；存在圆柱，其正视图、俯视图如图其中正确命题的个数是()a3b2c1 d0解析：选a底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，

36、它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此正确故选a.4已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为()a120° b150°c180° d240°解析：选c设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题意，r2rl3r2，l2r，圆锥的底面圆周长l2r.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l，2r，n180°，即展开后扇形的圆心角为180°.5.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()a bc d解析：选a若图是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相

37、切，故图不合要求；若图是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图不合要求，都是能符合要求的几何体，故选a.6.(福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()a82b112c142d15解析：选b由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2×(4)82，两底面的面积和为2××1×(12)3，所以该几何体的表面积为823112.7.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()a. b.c. d.解析：选d由已知三视图知该几何

38、体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为v1××1×1×1，剩余部分的体积v213.所以，故选d.8(山东高考)在梯形abcd中，abc，adbc，bc2ad2ab2.将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()a. b.c. d2解析：选c过点c作ce垂直ad所在直线于点e，梯形abcd绕ad所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段ab的长为底面圆半径，线段bc为母线的圆柱挖去以线段ce的长为底面圆半径，ed为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为v

39、v圆柱v圆锥·ab2·bc··ce2·de×12×2×12×1，故选c.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分请把正确答案填在题中的横线上)9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积vv圆柱v球××12×2××13.答案：10已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_，表面积为_解析：因为该正四棱柱的外接

40、球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以v球×13，s球4×124.答案：411一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成则这个几何体可以看成是由_和_组成的，若它的体积是，则a_.解析：由三视图可知该几何体可以看成是由一个三棱锥和半个圆锥组成的半圆锥的底面半径为1，高为a，三棱锥的底面是以为直角边长的等腰直角三角形，高为a，所以该几何体的体积为×a，解得a1.答案：三棱锥半个圆锥112某空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧视图的面积为_cm2，此几何体的体积为_cm3.解析：该几何体

41、是半圆锥和半圆柱的组合体，侧视图面积为×12(cm2)，此几何体的体积为×(cm3)答案：13已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于_，表面积为_解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，如图，其底面是一个边长为2的正方形，高为2，故其体积为v×2×2×2.在ecd中，cd边上的高为2，故secd×2×22.ebc与ead是全等的直角三角形，bcec，且bc2，ec，故seadsebc×2×.在eab中，eaeb3，ab2，则seab×2×2，故该几

42、何体的表面积为s24222(3)答案：2(3)14.如图，在上、下底面对应边的比为12的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱cc1的平面a1b1ef，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为_解析：设三棱台的上底面面积为s0，则下底面面积为4s0，高为h，则v三棱台abc­a1b1c1(s04s02s0)hs0h，v三棱柱fec­a1b1c1s0h.设剩余的几何体的体积为v，则vs0hs0hs0h，体积之比为34或43.答案：34(或43)15.一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积为_解析：设圆锥筒的底面半径为r，高为h.由题意，得2r×2×4，所以r1，所以h，所以vr2h××12