2012高考试题分类汇编数学理科2

1、2012年高考真题理科数学解析汇编：不等式一、选择题 （2012年高考（重庆理）设平面点集,则所表示的平面图形的面积为（）ABCD （2012年高考（重庆理）不等式的解集为（）ABCD （2012年高考（四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗、原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（）A1800元B2400元C2800元D3100元 （2012年高考（

2、山东理）已知变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是（）A BCD来源: （2012年高考（辽宁理）若,则下列不等式恒成立的是（）来源:AB CD （2012年高考（辽宁理）设变量x,y满足则的最大值为（）A20B35C45D55 （2012年高考（江西理）某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为（）A50,0B30.0C20,30

3、D0,50 （2012年高考（湖北理）设是正数,且,则（）ABCD （2012年高考（广东理）已知变量、满足约束条件,则的最大值为（）A12B11C3D（2012年高考（福建理）若函数图像上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（）AB1CD2（2012年高考（福建理）下列不等式一定成立的是（）AB CD（2012年高考（大纲理）已知,则（）ABCD二、填空题来源:（2012年高考（新课标理）设满足约束条件:;则的取值范围为_来源:（2012年高考（浙江理）设aR,若x>0时均有(a-1)x-1( x 2-ax-1)0,则a=_.（2012年高考（上海春）若不等式对恒成立,则实数的取值范围

4、是_.（2012年高考（陕西理）xy1-1设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为_.（2012年高考（陕西理）观察下列不等式,照此规律,第五个不等式为_.（2012年高考（江苏）已知正数满足:则的取值范围是_. （2012年高考（江苏）已知函数的值域为,若关于x的不等式的解集为,则实数c的值为_.（2012年高考（大纲理）若满足约束条件,则的最小值为_.（2012年高考（安徽理）若满足约束条件:;则的取值范围为2012年高考真题理科数学解析汇编：不等式参考答案一、选择题 【答案】D 来源:【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基

5、础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. 【答案】A 【解析】 【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题. 答案C 解析设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y 且 画可行域如图所示, 目标函数Z=300X+400Y可变形为 Y= 这是随Z变化的一族平行直线 解方程组 即A(4,4) 点评解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解). 【解析】做出不等式所表示

6、的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大为,当直线经过点时,直线截距最大,此时最小,由,解得,此时,所以的取值范围是,选A. 【答案】C 【解析】设,则 所以所以当时, 同理即,故选C 【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 【答案】D 【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验

7、证确定出最值. 来源: B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元,则目标函数为.线性约束条件为 即作出不等式组表示的可行域,易求得点. 来源:平移直线,可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且(万元).故选B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要

8、求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题. 考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 解析:由于 等号成立当且仅当则a=t x b=t y c=t z , 所以由题知又,答案选C. 解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最大值.联立,解得,所以的最大值为11. 【答案】B 【解析】与的交点为,所以只有才能符合条件,B正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力. 来源: 【答案】C 【解析】由基本不等式得,答案C正确. 【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件

9、和运用,考查综合运用能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键. 来源:答案D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法. 【解析】,故选答案D. 二、填空题 【解析】的取值范围为 约束条件对应四边形边际及内的区域: 则 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A), 无解; (B), 无解. 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x>0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图) 我们知道:函数y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1都过定点P(0,1)

10、. 来源:考查函数y1=(a-1)x-1:令y=0,得M(,0),还可分析得:a>1; 考查函数y2=x 2-ax-1:显然过点M(,0),代入得:,解之得:,舍去,得答案:. 【答案】 解析:,曲线及该曲线在点处的切线方程为,围成的封闭区域为三角形,在点处取得最大值2. 解析:第五个不等式为 【答案】. 【考点】可行域. 【解析】条件可化为:. 设,则题目转化为: 已知满足,求的取值范围. 作出()所在平面区域(如图).求出的切 线的斜率,设过切点的切线为, 则,要使它最小,须. 的最小值在处,为.此时,点在上之间. 当()对应点时, , 的最大值在处,为7. 的取值范围为,即的取值范

11、围是. 【答案】9. 【考点】函数的值域,不等式的解集. 【解析】由值域为,当时有,即, . 解得,. 不等式的解集为,解得. 答案: 【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值. 【解析】做出不等式所表示的区域如图,由得,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最 大,此时最小,最小值为. 【解析】的取值范围为 约束条件对应边际及内的区域: 则 2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分一、选择题 （2012年高考（新课标理）已知函数;则的图像大致为 （2012年高考（浙江理）设a>0,b>0.（

12、）A若,则a>bB若,则a<b C若,则a>bD若,则a<b （2012年高考（重庆理）设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值 （2012年高考（陕西理）设函数,则（）A为的极大值点B为的极小值点 C为的极大值点D为的极小值点 （2012年高考（山东理）设且,则“函数在上是减函数 ”,是“函数在上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件yxO第3题图 （2012年高考（湖北理）已知二

13、次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（）ABCD （2012年高考（福建理）如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD （2012年高考（大纲理）已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则（）A或2B或3C或1D或1二、填空题 （2012年高考（上海理）已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_ .（2012年高考（山东理）设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则_.（2012年高考（江西理）计算定积分_.（2012年高考（广东理）曲线在点处的切线方程为_.三、解答题（2

14、012年高考（天津理）已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.（2012年高考（新课标理）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.（2012年高考（浙江理）已知a>0,bR,函数.()证明:当0x1时,()函数的最大值为|2a-b|a;() +|2a-b|a0;() 若11对x0,1恒成立,求a+b的取值范围.（2012年高考（重庆理）(本小题满分13分,()小问6分,()小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.（2012年高考（陕西理）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯

15、一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.（2012年高考（山东理）已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.()求的值;()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明:对任意.（2012年高考（辽宁理）设,曲线与直线在(0,0)点相切.()求的值.()证明:当时,.（2012年高考（江苏）若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知是实数,1和是函数的两个极值点.来源:(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.（2012年高考（湖南理）已知函数=,其中a0

16、.(1)若对一切xR,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.（2012年高考（湖北理）()已知函数,其中为有理数,且. 求的最小值;()试用()的结果证明如下命题:设,为正有理数. 若,则;()请将()中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时,有求导公式.（2012年高考（广东理）(不等式、导数)设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.（2012年高考（福建理）已知函数. ()若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单

17、调区间;()试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.（2012年高考（大纲理）(注意:在试题卷上作答无效)设函数.(1)讨论的单调性;(2)设,求的取值范围.（2012年高考（北京理）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.（2012年高考（安徽理）(本小题满分13分)设(I)求在上的最小值;(II)设曲线在点的切线方程为;求的值.2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案一、选择题 【解析】选 来源: 得:或均有 排除 【答案】A 【解析】若,必有.构造

18、函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 【答案】D 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减; ,由,函数为减; ,由,函数为增. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减. 解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D. 【解析】若函数在R上为减函数,则有.函数为增函数,则有,所以,所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件,选A. 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为. 【答

19、案】C 【解析】,故,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 答案A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值 由或可得或,即. 二、填空题 NxyODM15P图2xyABC15图1解析如图1, 所以, 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面

20、积即为矩形ODMP的面积S=. 评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 【解析】由已知得,所以,所以. 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. . 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等. 解析:.,所以切线方程为,即. 三、解答题 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)的定

21、义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）当时，与（*）矛盾当时，符合（*）得：实数的最小值为(lfxlby)（3）由（2）得：对任意的值恒成立取：当时， 得：（lb ylfx）当时，得：【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 【解析】(1) 令得: 来源:得: 在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 当时,在上单调递增 时,与矛盾 当时, 来源:Z+X+X+K得:当时, 令;

22、则 当时, 当时,的最大值为 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. () (). 当b0时,>0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b>0时,在0x1上的正负性不能判断, 此时的最大值为: =|2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a; () 要证+|2a-b|a0,即证=|2a-b|a. 亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a, ,令. 当b0时,<0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b<0时,在0x1上的正负性不能判断, |2a-b|a; 综上所

23、述:函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a. 即+|2a-b|a0在0x1上恒成立. ()由()知:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a, 且函数在0x1上的最小值比(|2a-b|a)要大. 11对x0,1恒成立, |2a-b|a1. 取b为纵轴,a为横轴. 则可行域为:和,目标函数为z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,. 所求a+b的取值范围为:. 【答案】() 见解析;() . 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲

24、线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数; 当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. 解析:(1),时, ,在内存在零点. 又当时, 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. (2)当时, 对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:()当,即时, ,与题设矛盾 ()当,即时, 恒成立 ()当,即时, 恒成立. 综上可知, 注:()()也可合并证明如下: 用表示中的较大者.当,即时, 恒成立 (3)证法一 设是在内的唯一零点 , 于是有 又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递

25、增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 来源: 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 解析:由f(x) = 可得,而,即,解得; (),令可得, 当时,;当时,. 于是在区间内为增函数;在内为减函数. (), (1)当时, ,. (2)当时,要证. 只需证即可 设函数. 则, 则当时, 令解得, 当时;当时, 则当时,且, 则,于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证1:设函数,则, 则当时, 于是当时,要证, 只需证即可, 设, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证2:根据重要不等式当时

26、,即, 于是不等式, 设, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立. 【答案及解析】 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0)点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题. 【答案】解:(1)由,得. 1和是函数的两个极值点, ,解得. (2) 由(1)得, , ,解得. 当时,;当时, 是的极值点. 当或时, 不是的极值点. 的极值点是-2. (3)令,则. 先讨论关于 的方程

27、 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2. 当时, , 一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 当时, ,于是是单调增函数,从而. 此时在无实根. 当时.,于是是单调增函数. 又,的图象不间断, 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根. 当时,于是是单调减两数. 又, ,的图象不间断, 在(一1,1 )内有唯一实根. 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足. 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点.

28、 ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可. (2)由(1)得,求出,令,求解讨论即可. (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点. 【解析】()若,则对一切,这与题设矛盾,又, 故. 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 . 令则 当时,单调递增;当时,单调递减. 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,式成立. 综

29、上所述,的取值集合为. ()由题意知, 令则 令,则. 当时,单调递减;当时,单调递增. 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, . 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 . 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 考点分析

30、:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求. 解析:(),令,解得. 当时,所以在内是减函数; 当 时,所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. 来源:()由()知,当时,有,即 若,中有一个为0,则成立; 若,均不为0,又,可得,于是 来源:在中令,可得, 即,亦即. 综上,对,为正有理数且,总有. ()()中命题的推广形式为: 来源:设为非负实数,为正有理数. 若,则. 用数学归纳法证明如下: (1)当时,有,成立. (2)假设当时,成立,即若为非负实数,为正有理数, 且,则. 当时,已知为非负实数,为正有理数, 且,此时,即,于是 =

31、. 因,由归纳假设可得 , 从而. 又因,由得 , 从而. 故当时,成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. 说明:()中如果推广形式中指出式对成立,则后续证明中不需讨论的情况. 解析:()考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: 当时,此时,. 当时,此时,. 当时,此时有两根,设为、,且,则,于是 . 当时,所以,此时;当时,所以,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可

32、得来源:+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点. 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想. 解:(1),故 时,时,所以函数的增区间

33、为,减区间为 (2)设切点,则切线 令,因为只有一个切点,所以函数就只有一个零点,因为 ,若 ,因此有唯一零点,由的任意性知不合题意 若,令,则 ,存在一个零点,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故的取值范围为. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用. 解:. ()因为,所以. 当时,在上为单调递增函数; 当时,在上为单调递减函数; 当时,由得, 由得或; 由得. 所以当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数. ()因为 当时,恒成立 当时, 令,则 又令

34、,则 则当时,故,单调递减 当时,故,单调递增 所以在时有最小值,而 , 综上可知时,故在区间单调递 所以 故所求的取值范围为. 另解:由恒成立可得 令,则 来源:当时,当时, 又,所以,即 故当时,有 当时,所以 当时, 综上可知故所求的取值范围为. 【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决. 【考

35、点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点. 解:(1)由为公共切点可得:,则, ,则, 又,即,代入式可得:. (2),设 则,令,解得:,; , 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 若,即时,最大值为; 若,即时,最大值为 若时,即时,最大值为. 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 【解析】(I)设;则 当时,在上是增函数 得:当时,的最小值为 当时, 当且仅当时,的最小值为 (II) 由题意得: 2012年高考真题理科数学解析汇编：概率一、选择题 （2012年高考（辽宁理）在

36、长为12cm的线段AB上任取一点C现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为（）ABCD来源: （2012年高考（湖北理）如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）AB CD （2012年高考（广东理）(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（）ABCD （2012年高考（北京理）设不等式组表示的平面区域为D在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）ABCD （2012年高考（上海理）设,. 随机变量取值、的概率均为

37、0.2,随机变量取值、的概率也为0.2. 若记、分别为、的方差,则（）A>.B=.C<.D与的大小关系与、的取值有关.二、填空题 （2012年高考（上海理）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_(结果用最简分数表示). （2012年高考（上海春）某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为_(结果用数值表示). （2012年高考（江苏）现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是_. （2012年高

38、考（新课标理）某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_三、解答题（2012年高考（天津理）现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.()求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: ()求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: ()用分别

39、表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.来源:（2012年高考（新课标理）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?

40、请说明理由.（2012年高考（浙江理）已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.()求X的分布列;()求X的数学期望E(X).（2012年高考（重庆理）(本小题满分13分,()小问5分,()小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为,乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.() 求甲获胜的概率;() 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望（2012年高考（四川理）

41、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.()若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;()设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.（2012年高考（陕西理）某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.（2012年高考（山东理）先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击

42、一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.()求该射手恰好命中一次得的概率;()求该射手的总得分的分布列及数学期望.（2012年高考（辽宁理）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.()根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?()将上述调查所得到的频率视为

43、概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.附:（2012年高考（江西理）如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望.（2012年高考（江苏）设为随机变量,从棱长为1

44、的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.(1)求概率;(2)求的分布列,并求其数学期望.（2012年高考（湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)302510结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.()确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;()若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结

45、算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率.(注:将频率视为概率)来源:（2012年高考（湖北理）根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:降水量X工期延误天数02610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:来源:Z+X+X+K()工期延误天数的均值与方差; ()在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率. （2012年高考（广东理）(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、.()求图中的值;()从成绩不低于80分的学生中随

46、机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.（2012年高考（福建理）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间年轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为,生产一辆乙品牌轿车的利润为,分别求的分布列;

47、(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.（2012年高考（大纲理）(注意:在试题卷上作答无效)来源:乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;来源:(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望.（2012年高考（北京理）近年来,某市

48、为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.(注:方差,其中为的平均数)（2012年高考（安徽理）某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结