椭圆难题包括答案

1、关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1联立方程法：联立直线和椭圆方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),那么有V0,以及x1x2,x1x2,还可进一步求出在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法2点差法：设交点坐标为(y)(x2,y2)代入椭圆方程,并将两式相减,可得町2b：x1x2,在涉及斜率、中点、范围等问题时,常用此法Xx2ay1V2典例剖析1求椭圆的标准方程关于焦点三角形与焦点弦(1)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2所构成的 PF1F2称为焦点三角形.设 F1PF2,那么有:b2cos1,当 nr2(即 P 为短轴顶点)时,心-tb

2、2c2止匕时cos2a小1PF1F2的面积S5甲2sinb2sin.2.btan1cos2bcF1F1当|y0|b(即P为短轴顶点)时,S最大,且99uuuruur9b2c2PF1PF2b2Smax(2)经过焦点E或F2的椭圆的弦AB,称为焦点弦.设A(.yi),B(x2,y2),AB的中点为M(%,y0),那么弦长AB2ae(x1x2)2a2ex0(左焦点取“+,右焦点取“-)当ABx轴时,|AB|最短,且|ABmin2b22a22【例2】设椭圆x2221ab0的左焦点为F,上顶点为A,过A点作AF的垂线abuur8uur分别交椭圆于P,交x轴于Q,且AP-PQ5(1)求椭圆的离心率.(2)

3、假设过A,F,Q三点的圆恰好与直线xV3y30相切,求椭圆的方程.故椭圆方程为:【例4】椭圆的中央在原点O,短轴长为2衣,右准线交x轴于点A,右焦点为F,且|OFI2|FA|,过点A的直线l交椭圆于P,Q两点(1)求椭圆的方程uuuuur(2)假设OPOQ0,求直线l的方程(4)求 VOPQ 的最大面积【解】(1)c2,b2,aJ6,A3,0椭圆方程为：上y-162设直线l的方程为：x3ky,且设PX1,y,Qx2,v?22xy1联立62消去x,得：k23y26ky30 x3kyb2c,0),A(0,b),Q(,0)cuur由AP-uuu8PB可得:55b2b),将P点坐标代入椭圆方程可得:1

4、3cb23ac2c23ac22e23e20由(1)得：Q(3c,0),圆心为(c,0),半径r2c于是2cc1(圆心到直线距离),【解】(1)由可得：F(所以a2,bJ3.当且仅当所以OPQ的最大面积为J32椭圆的性质22【例6】椭圆x2y21ab0的两个焦点分别为 F1c,0,F2c,0,在椭abuuuruuir圆上存在一点P,使得PF1PF20(1)求椭圆离心率e的取值范围(2)当离心率e取最小值时,VPF1F2的面积为16,设A,B是椭圆上两动点,假设线段AB的垂直平分线恒过定点Q(0,%).求椭圆的方程；求直线AB的斜率k的取值范围.【解】(1)设椭圆短轴的端点为B,由及椭圆的性质得：

5、F1BF2F1PF29006k从而求得:x1x2,2Q,X1X2k36k227k23uuuuuur由OPOQ0得：所以l的方程为：xx1x25yV1V2(4)由(1)得:k2SVOPQ111210Al1y1V26kk2312k2336k2k2363t92t那么y1y2k23Tly2k2那么SVOPQtt3令k2所以OBE450,从而tanOBF1,即？1c2b2,又b2a2c2,22bcccc21所以c2a2c2,得：3,所以ea22一2(2)当e取得最小值乃时,P在短轴顶点,2所以SPRE2J12,2ab故求得：a42,b4,所以椭圆方程为:2x322y16设A(yi,BX2,y2,设直线A

6、B的方程为ykxb, AB的垂直平分线方程为:y联立x232kxb2y16消y去得:12k2x24kbx2b2322k22b2320即b21612k2又有:x1x24kb12k2从而y1V22b12k2所以AB的中点为M2kb12k2,b212k2在AB的垂直平分线上,所以b212k22kb12k2F,即b%/312k2将代人求786(2)椭圆上的点的横坐标满足ax0a;(3)0;(4)椭圆内部的点4.那么有16k2b2求取值范围问题通常要建立不等式,关于不等式的来源有以下几种情况:(1)不等式;22xo,V.满足4r*1;ab【例7】椭圆的中央在原点,焦点在x轴上,斜率为1的直线过椭圆的右焦

7、点 F2与椭圆,yi于是有：xix23sb、xi2x23b-,从而y1y242by2uuuuuurr交于A,B两点,OAOB 与向量 a3,i 共线(i)求椭圆的离心率euuuruuuuuu(2)设M为椭圆上任一点,假设 OMOAOB定值22【解】(1)设椭圆方程为土-1ab/222222,2(ab)x2acxacab0,2a2cuuuuuu由韦达定理得：XiX2-2,易知：OAOB(x1x2,y1y2)ab3,1共线,所以3(y1y2)(x1x2)0,x1x22c,所以3(x1x22c)(x1x2)0,又b2a2c2,所以号2,故有：e,6.a23a3由(1)得：a23b2,cJ2b,所以椭

8、圆方程为：鸟W1,3b2b2即x23y23b2,直线AB的方程为：yx五b,R,求证：22而yiV23b20,设A(Xi,yi),B(X2,y2),由：直线AB的方程为：yxc,代入椭圆方程,得:urnuuur由于OAOB与向量a即xix23c,于是有：詈喉皆于是x1x23yly20.设M(%,y0),由：V0ViV222o将M的坐标代入椭圆万程得：XiX23yiV23b2,设AX0,y.,BX1,y1,CX2,V2假设AB,AC的斜率都存在,那么直线代入椭圆方程,并整理得：2c%22c2即Xi3yi22c2X23y222(xiX23yiy2)3b,21为定值(1)椭圆的离心率umruuruu

9、mi设AF1F1B,AF2【解】(1)当ACb-从而IAFJ竺-aa依定义有AF1AF24b2o2a,所以空-2aa2a3b2而b2a2c2,所以a22c2c2日口2即ea22(2)由(1)可知椭圆方程为:2c2y2c21,F1c,0,F2c,0于是有：23b223b23b2.故222【例8】A为椭圆当当1a2b2ab0上一动点,弦AB,AC分别过焦点F1,F2,当ACX轴时,恰有|AF1|3|AF2uuuu一2F2C,判断12是否为定值?X轴时,AF222由韦达定理有y0ylcV.2cX03c2AB的方程为yy0XcX0c22223cy2cy0 x0cycy002cy02x03c综上所述6为

10、定值.3.最值问题21,AB是垂直于x轴的弦,直线x4交x轴于点N,F3为椭圆C的右焦点,直线AF与BN交于点M(1)证实：点M在椭圆C上(2)求VAMN面积的最大值器高 1,所以点M在椭圆C上(2)设直线AM的方程为 x1ky(过焦点)且 A22xy1联立433k24y26ky90 x1ky由：1uuirAFIuuurF1By03c2x0-,同理可得:yi3c2x0c假设AB,AC有一个斜率不存在,不妨设ACx轴1,13-2c5所以1c【解】(1)由 F1,0,N4,0设 Am,n,那么 Bm,2m0 且42n,一1,3AF与BN的方程分别为:BN:y联立两直线的方程求得:5m82m53n2

11、m5m82m525m8由于2m*543n2m5323(5m8)24(3n)3(5m8)23633n2m521m412(2m5)212(2m5)2X1,y1,MX2,2【例11椭圆C:4【解】(1)由得：Fi1,0,F2ky,那么有：y1由可得:1,0设直线AB且设A%,y1,BX2,V2x联立x241kyy233k214y26ky9V26k3k2493k24-1SAF2B2 帕尼加1y2ViV2V2V24y16k3k23612k213k243k2412k213k2113k211211令g(t)3tt1易证函数在 1,上递增(*),6k9-2,NN2一2一3k2413k2422【例椭圆C：X4f

12、1的左,右焦点分别为F1,F2,过 F1的直线与椭圆交于A,B两点(1)求 VAF2B 的面积的最大值(2)当 VAF2B 的面积最大值时,求 tanF1AF2的值V2所以 yiV2yi2y24 丫佻12k23k2所以SAMN12FNgyV218k213k211183k21k11令h(t)3t故当k0时,189SAMN取得最大值那么由：y1函数 h(t)递增,所以当t1时,h(t)取得最小值4,所以当t1时,g(t)取得最小值4,故当k0时,3421/1取得最小值4,故SAFB的最大值为3.k2124直线与椭圆的位置关系2【例16】F1,F2是椭圆C:2y21的左,右焦点,直线l与椭圆相切.4

13、(2)当SAF2B最大值时,k0,从而|AE,而IF1F22所以 tanF1AF2密-1|AFI3(1)分别过F1,F2作切线l的垂线,垂足分别为M,N,求F1MF2N的值(3)设直线l与x轴,y轴分别交于两点A,B,求|AB的最小值.【解】(1)设直线l的方程为ykxm,由：F1(J3,0),F2(J3,0).所以于是F1MF1MF2N3kmk2；F2N3km1k23km1k23kmk23k2m21k2联立所以F1MF2N223k(4k1)k2(2)易知:A,B(0,所以AB2m2mk21m2k21(4k21)k!1ykxmx22,消去y,的：(14y14k2)x28kmx4m240.由于直

14、线l与椭圆相切,所以2一2、,2、8km4(14k)(4m4)220m24k21.k21211为定值.1k24k2口5vT-53.当且仅当4k2口,即k逆时取等号.k2k22所以|AB|min3.22【例17椭圆C:X1,过点 P0,3 作直线I与椭圆顺次交于A,B两点A在94求巴的取值范围；2是否存在这样的直线I,使得以PB弦AB为直径的圆经过坐标原点？假设存在,求I的方程,假设不存在,说明理由.【解】1方法一：联立方程法kx3X2,y2联立yx29kx3y24消去 y,并整理得：9k224x254kx450254k9k24gt50,求得：k254kX29k245kX1X229k24APPB

15、XX2X1,X2可得:32415g949k22而k25,所以1940,1,故求得：15综上所述,APPB的取值范围是5,1P,B之间.1i当直线l的斜率存在时,设直线的方程为 y且设 AXi,必,B那么有1,那么有二x2从,中消去36.而ii当直线l的斜率不存在时,22【例19】2021江苏椭圆C:上X1的左,右焦点为F1,F2,左,右顶点为A,B,95过点 Tt,m 的直线TA,TB分别交椭圆于点Mx1,y1,NX2,y2y10,y201.2当X1二2,X2=g时,求T点的坐标3设t9,求证：直线MN过x轴上的定点Xi,yi,BX2,V2PAPBuuuPB,所以 X1于是有(1)(2)而 0

16、,12X292X29得:V2X2,ViV22331LLLL(1)y2332V241LV2942y22,所以2136LL(2)y2136X1,y1X2,y2yy2054k于是有：4536故满足条件的直线X29k2X1X245k9k24kx2c3636k2329k24236k03 一-满足2k2|X3PB24,求点P的轨迹万程方法二：点差法uuu那么有：由,2假设满足条件的直线存在,设 A,那么 X1X2由1可知：x1l存在,且直线方程为:1设动点P,满足|PF2【解】(1)由题意知：F(2,0),A(3,0),设 P(x,y),那么(x2)2y2(x3)2y24,化简整理得：x9把为2,X21代

17、人椭圆方程,分别求出：M2T,N,把12333915_直线AM:y_(x3)；直线BN:y_(x3)36、联立,得：T9,y(3)由：T(9,m),令y0,解得x1,即直线MN过X轴上定点1,0三解题小结1 .离心率是圆锥曲线的重要性质,求离心率及其取值范围,就是寻找a与c或b之间的关系2 .求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：1几何法；2三角代换法；3转化函数,利用函数的单调性求最值3 .直线与椭圆的位置问题两种根本方法：1联立方程法；2点差法,前者涉及弦长与中点,后者涉及斜率,中点等.224.关于椭圆x2121ab0的补充性质常在解题中遇到：a2b23(m220)m22020m220直线MN的方程为:化简得 y20m2204020y20m280m220ym2203(m280)3(m220)m280m220103(m220)2x2m40m203(m220)m220直线 TA:ymx3与椭圆联立,得：M3(m280)40m280,m280直线TB:ymx3与椭圆联立,得：N6椭圆的