质点运动学习题答案

1、第一章质点运动学习题答案1-1 质点做直线运动,运动方程为-.2x=12t-6t其中t以 s 为单位,x以 m 为单位,求：1t=4s 时,质点的位置、速度和加速度；质点通过原点时的速度；3质点速度为零时的位置；4做出x-t 图、v-t 图、a-t 图.解：1根据直线运动情况下的定义,可得质点的位置、速度和加速度分别为2x=12t-6t21dx小v=1212t2dtd2xa=123dt2当t=4s 时,代入数字得：x=-48mv=36m/sa=12m/s22当质点通过原点时,x=0,代入运动方程得：12t-6t2=0解得：t1=0,t2=2,代入2式得：v1=12m/sv2=12m/s3Zv=

2、0代入2式,得1212t=0解得：t=1s 代入1式得：x=12m6m=6m1.2质点在xOy平面上运动,运动方程为x=3t+5,y=【12+3t-4.2式中t以 s 计,x,y以 nit.1以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式；2求出t=1s 时刻和t=2s 时刻的位置矢量,计算这 1 秒内质点的位移；3计算t=0s 时刻到t=4s 时刻内的平均速度；4求出质点速度矢量表示式,计算 t=4s 时质点的速度；5计算 t=0s到 t=4s 内质点的平均加速度；6求出质点加速度矢量的表示式,计算 t=4s 时质点的加速度.解：1=3t+5i+】t2+3t4jm22将t=1,t=2代入上式即有r

3、1=8i-0.5jmr2=11j4jmr=r2F=3j4.5jmdri(4)v=3i(t3)jmsdt那么v4=37jms(5) .V.=3+3：又=3i+7j-vv47.4a=一=一=1j.：t44dv二a=1jmsdt这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量.a=2x,式中x的单位为 ma的单位为 m/s2,试求该质点的速度v与位置坐标x之间的关系.设x=0时,v0=4m/s 解：依题意dvdvdxdv八a=v-2xdtdxdtdxxvo-2xdx=vvdv积分得-x2=(v2-v02)2v=、.,v022x2=；162x31-5 质点沿直线运动,加速度a=4-t2,如果当t=3 时,x=9

4、,v=2,求质点的运动方程.其中a以 m/s2为单位,t以 s 为单位,x以 m 为单位,v以 m/s 为单位解：加速度表示式对t积分,得13v=adt=-t4tv03x=vdt=-42t2vtx012将 t=3s,x=9m,v=2m/s 代入以上二式,得积分常数v0=Tm/s,x0=0.75m,那么134-a4一012i20j4_2ms1-4 一质点沿一直线运动,其加速度为v=-t4t-13x=-t42t2-t0.751-6 当物体以非常高的速度穿过空气时,由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比,即a=-kv2,其中k为常量.假设物体不受其他力作用沿x方向运动,通过原点时的速度

5、为v0,试证实在此后的任意位置x处其速度为v=v0eg.解：根据加速度定义得：也=a=-kv2,因a=火=史坐=v四,代入上式,别离变量,整理后得：dtdtdxdtdx1.一dv=-kdx,应用初始条件x=0,v=v,两边积分得vf1dv=-kdx得In=-kx即有：vuvoevov0v01-7 试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程,并证实做匀速圆周运动质点的速度矢量 v v 和加速度 a a 矢量的标积等于零,即V_a=V_a=0解：以直角坐标表示的质点运动学方程为x=Rcost,y=Rsint以矢量形式表示的指点运动学方程为r r=Rcosti iRsintj j速度和加速

6、度分别为drv-Rsinti i,Rcostj jdt22-a=-a=-Rcosti i7 7Rsintj j所以v_a= =01-8一质点在xoy平面内运动,其运动方程为r r=acosti+i+bsin切tj j,其中a,b,仍均为大于零的常量.dr.解：(1)质点在任怠时刻的速度v=a 缶sincoti+i+庐costj jdt(2)由x=acost,y=bsint消去t,可得轨道方程22与十%=1可见是椭圆方程,说明质点作椭圆运动a2b2dv v22(3)加速度a=一=(acos仍ti i+bsintj j)=r rdt由于.20,所以 a a 的方向恒与 r r 反向,即 a a 恒

7、指向椭圆中央.1-9 路灯离地面高度为H,一个身高为h的人,在灯下水平路面上以匀速度v.步行.如图所1-10 质点沿半径为R的圆周按s=v0tlbt2的规律2运动,式中s为质点离圆周上某点的弧长,v0,b都是常量,求：it时刻质点的加速度;2t为何值时,加速度在数值上等于b.dtR2加速度与半径的夹角为由题意应有d(xx)v=dtdxdx一+dtdx=vdtdt由图中可看出有xhxH-hdxhv0dtH-hhvo所以有v=v0H-hHvH-h0-btandvdt2v-b=arctan色an-Rb2(v-bt)b2.(v-bt)4R2示,求当人与灯的水平距离为x时,他的头顶在地面上的影子移动的速

8、度的大小.解：建立如下图的坐标,t时刻头顶影子的坐标为x+x,设头顶影子的移动速度为v,那么那么有x=解：12(v.-bt)V.-顷尸=022(v0-bt)b=b2,=R2当t=时,a=bb1-11 质点做半径为 20cm 的圆周运动,其切向加速度恒为 5cm/s,假设该质点由静止开始运动,需要多少时间：(1)它的法向加速度等于切向加速度；(2)法向加速度等于切向加速度的二倍.解：质点圆周运动半径 r=20cm,切向加速度 a,=5cm/s2,t 时刻速度为 v=aj,法向加VV111.5X10m 求地球相对于太阳的向心加速度.(3)天文测量说明,太阳系以近似圆形的轨道绕银河系中央运动,半径为

9、 2.8 勺02%,速率为2.5X105m/s,求太阳系相对于银河系的向心加速度an=R1=6.37106(:)2=3.3610m/s2246060(2) 地球相对太阳的向心加速度为2_1122_3an=R222=1.51011()2=5.9510m/s2365246060(3) 太阳系相对银河系的向心加速度25、2an=宜=(2.5也=2.2310直m/s23R32.81020i1-13 以初速度V0=20ms抛出一小球,抛出万向与水平面成60的夹角,=2.83s(2)地球绕太速度为an=v2/r,因此有t=v/a(1)当ar=an时,t=6.37106m,求地球赤道外表上一点相对于地球中央

10、的向心加速度解：(1)地球赤道外表一点相对于地球中央的向心角速度为2二1-12(1)地球的半径为求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2.解：设小球所作抛物线轨道如题 1-13 图所示.v=vx=v0cos602an1=g=10ms2v%1v2=v0=20ms,题 1-13 图在最高点,Di2V1an1=10m(20cos60)210?22V20an2=gcos60n2(20)2=80m10cos60an=v2/R._2._278.4=1742/Rmin,Rmin=1742/78.4=386.2m1-14 一架飞机在水平地面的上方,以冲,而飞机可以承受的最大加速度为17

11、4m/s 的速率垂直俯冲,假定飞机以圆形路径脱离俯78.4m/s2,为了防止飞机撞到地面,求飞机开始脱离俯冲的最低高度.假定整个运动中速率恒定解：设飞机以半径为R圆形路径俯冲,其加速度为当an为飞机所能承受的最大加速度时,R即为最小,所以1-15 一飞轮以速度n=1500rev/min 转动,受制动而均匀减速,经t=50s 静止,求角加速度 P 和从制动开始到静止飞轮转过的转数N；求制动开始后,t=25s 时飞轮的角速度切；设飞轮半径R=1m,求t=25s 时,飞轮边缘上一点的速度和加速度.解：1飞轮的1500初角速度切0=2n兀=2兀x=50兀,当t=50s 时,与=0；代入切=0+Et得6

12、0:_-0_-L-JLt从开始到静止,飞轮转过的角度及其转数为:s0t12=5050二-1二(50)2=1250二rad22eN=625rev2二(2)t=25s 时,飞轮的角速度为切=欢+且=50兀一25览=25ad/s(3) t=25s时,飞轮边缘上一点的速度为v=R*=125虹=25二m/s相应的切线和法线加速度为at=R-二1-：m/s2an=R2=(25二)21=625二2m/s21-16 一质点沿半径为 1m 的圆周运动,运动方程为日=2+3t2,式中0以弧度计,t以秒计,求： 1t=2s时,质点的切向和法向加速度；2当加速度的方向和半径成45角时,其角位移是多少？2_22_2an

13、=R2=1(922)2=1296ms当加速度方向与半径成45角时,有atan45=1an即R2=R-亦即9t22=18t2那么解得t3=29于是角位移为3223t=23*=2.67rad91-17 一圆盘半径为 3m 它的角速度在 t=0 时为 3.33 兀 rad/s,以后均匀地减小,至 Vt=4s时角速度变为零.试计算圆盘边缘上一点在 t=2s 时的切向加速度和法向加速度的大小.解：(1)t=2s时,dt=9t2,ddt=18ta=R：=1182=36ms解：角速度均匀减小,因此,角加速度为(4)-,(0)-.-_.=0.83:rad/s4-04圆盘做匀角加速度,故有-0t=3.330.8

14、31当t=2s 时,=3.33兀一0.83兀x2=16.7nrad/s法向和切向加速度分别为1-18 某雷达站对一个飞行中的炮弹进行观测,发现炮弹达最高点时,正好位于雷达站的上方,且速率为v,高度为h,求在炮弹此后的飞行过程中,在t以 s 为单位时刻雷达的观d右-、雷达的转动角速度dt1-19 汽车在大雨中行驶,车速为 80km/h,车中乘客看见侧面的玻璃上雨滴和铅垂线成60角,当车停下来时,他发现雨滴是垂直下落的,求雨滴下落的速度解：取车为运动参考系S,雨滴相对于车的速度为vps,雨滴对地0-3.33二an=R=82.4m/sa=R0=7.8m/s2测方向与铅垂直方向之间的夹角B及其变化率-

15、arccot-csc2&dt.1.2h三gtvt2(cot2)1)12v(h十三gt)(h；gt2)2v2t2解：以雷达位置为坐标原点,取坐标系xoy如下图x=v,ty=珍2gt12.yh2gt可解侍：cot=乂=2(1)xvt.1.2hgtvtt求导数,得-gt2-h；gt2vt2h如2.22-vtcsc将1式两边对那么有.=ddt,根据题意,炮弹的运动方程为速度为vps,车对地的速度为 y,相对运动速度合成定理为ssVps=vs+vs见如下图的速度合成图,贝U有psss1000vPs=vpscot60=8036000.577=12.8m/s1-20 一升降机以加速度 1.22m/s

16、2上升,当上升速度为 2.44m/s2时,有一螺帽自升降机的大花板松落,天花板与升降机底面相距 2.74m,计算：(1)螺帽从大花板落到底面所需的时间；(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.解：以升降机外固定柱子为参考系,竖直向上为y坐标轴正向,螺帽松落时升降机底面位置为原点.螺帽从y0=2.74m 处松落,以初速度v0=2.44m/s 做竖直上抛运动,升降机底面那么从原点以同样的初速度做向上的加速运动,加速度 a=1.22m/s2,它们的运动方程分别为1.212螺帽：y=y+vtgt底面：y2=vt+at22螺帽落到底面上时,y1=y2,由以上两式得t=0.705s(2)螺帽相对于升降

17、机外固定柱子的下降距离为,1,2swyo-yL-votgt=0.715m21-21 某人骑自行车以速率v向西行使,北风以速率v吹来(对地面),问骑车者遇到风速及风向如何？解：地为静系 E,人为动系 M.风为运动物体 P绝对速度：vPE=v,方向向南；牵连速度：VME=v,方向向西；求相对速度vPM=?方向如何？vPE=vPMvMEVME|=VPE|=V:-=45=vPM=.vMPvPE=-2vVPM方向：来自西北.或东偏南 45.1-22 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮着蓬的垂直投影后 2m 的甲板上,蓬高为 4m,但当轮船停航时,甲板上干湿两局部的分界线却在蓬前 3m,假设雨滴的速度大小为 8m/s,求轮船的速率.V雨船=vwv船-V雨=v雨船+v船由图中比例关系可知1v船=v雨=8m,s1-23 飞机自 A 城向北飞到 B 城,然后又向南飞回到 A 城,飞机相对于空气的速度为 v,而空气相对于地面的速度为 U,A、B 之间的距离为 L,如果飞机相对于空气的速率保持不变,试证：(1)当空气静止的(U=0)时,飞行一个往返的时间为to=2L/v;(2)当空气的速