16正弦电流电路的串联谐振

1、第6章电路的频率响应内容提要本章的主要内容是介绍网络函数，通过分析RLC串联、并联谐振电路研究网络函数随角频率变换的特性。§ 6.1网络函数由于电路和系统中存在着电感和电容，当电路中激励源的频率变换时，电路中的感抗、容抗将随频率变化，从而导致电路的工作状态跟随频率变化，我们将电路或系统的工作状态跟随频率而变化的现象称为电路或系统的频率特性，又称频率响应。对于频率特性的分析通常情况是采用单输入一一单输出的方式，在输入变量和输出变量之间建立函数关系，来描述电路的频率特性，这一函数关系就称为电路或系统的网络函数。本章仅对正弦稳态电路的频率特性作初步的分析和研究。电路在一个正弦电源激励下稳定

2、时，各部分的响应都是同频率的正弦量，采用相量表示正弦量，网络函数 H（J定义为:H()de輕Es 0)(6-1)式（6-1）中RkJ为输出的第k个端口的响应，为电压相量Uk（ ）或电流相量IkC ）；Esj C ）为输入端口的第j个的输入变量（正弦激励），为电压源相量Us（）或电流源相量IsjC )。又被称为驱动点Isj当k = j时表示同一端口，网络函数又称为驱动点函数，阻抗阻抗，同理导纳丫二生又称为驱动点导纳；当k = j时表示不同端口，网络函数又称为转移函数或传递函数，分别定义为转移阻抗*，转移电流比 A，转移电压比 Usj，转移导IsjIsjU k纳Y =为。Uk容易发现，网络函数不仅

3、与电路的结构、参数有关，还与输入、输出变量的类型及端口的相互位置有关。这里网络函数是一个复数，它的频率特性分为两个部分：模值H（jJ是两个正弦量的有效值（或幅值）之比，它随频率的变换关系称为幅频特性；幅角J -ZH（.），是两个正弦量的相位差（又称相移），它随频率 的变换关系称为相频特性。这两种特性都可 以在图上用曲线表示，分别称为幅频特性曲线和相频特性曲线，统称为频率特性曲线。在正弦稳态电路中，网络函数可以用相量分析法中任意一种分析方法求得，频率对于电路的影响，归根结蒂是对于电路阻抗的影响，若在某一电源频率下使得阻抗呈电阻性，则说明电路发生了谐振， 这是频率对于电路最具特点的影响，下面简要介

4、绍 RLC串联及并联谐振电路。§ 6.2 RLC串联电路的谐振在交流电路中，含有储能元件时，储能元件与电流有着周期性的能量交换，如果一个电路中含有电感和电容两类不同性质的储能元件，在一定条件下，它们的能量交换可以完全相互补偿，而与电源之间不再有能量交换，电流增加只提高有功功率，这时，电路是呈电阻性的，功率因数等于 1电路的这种工作状态称为谐振。在R，L，C串联电路中如图6-1所示，当电路发生谐振则称为串联谐振。I+UR-+UL-o+Usj'L +Uc图6-1串联谐振电路、谐振的条件在图6-1所示电路中，其输入阻抗为:Z( J =R j( L -丄)oC当R，L，C,参数不变，

5、当保持电源电压的幅值不变仅改变电源频率时,使得电路呈电阻性，此时对应的角频率-.0称谐振角频率，电路发生串联谐振的条件是(6-2)电路谐振频率为1LC(6-3)_ 102LC(6-4)谐振频率fo又称为R、L、C串联电路的固有频率，是由电路结构和参数决定。串联电路中谐振频率只有一个，是由串联电路中的L, C决定的，与R无关，可以通过改变 L，C的值改变电路的固有频率。二、串联谐振特点1、发生串联谐振时，电路的复阻抗的模值最小，且复阻抗的性质为纯电阻。1Z(:讥)=R j (；讥 L) = R(6-5)«oC由于 Z( 0)芈= R，因此有Us = rI0=Ur，其中I。相量为串联谐振

6、时的电流相量，且I0"o与Us保持同相位。2、 在输入电压有效值U不变时，在发生谐振时的电流有效值10和电阻两端电压有效值UR为最大，即(6-6)(6-7)Ur = RI。二 U实验时可根据此特点判别串联谐振电路是否发生谐振。可以看出电阻R虽然不影响谐振频率，但是有控制和调节谐振时的电流和电压幅值的作用。3 、在串联谐振时，感抗和容抗相等与电阻之比定义为谐振电路的品质因数，用Q表示,即皿 11匚Q -(6-8)Rw-CRR"C品质因数Q仅在谐振时才有意义，工程上简称为Q值。Q值的大小由电路的参数决定与电源的频率无关，是一个无量钢的量，Q的大小决定着谐振电路的一些重要品质，所

7、以称为品质因数。4、若在串联谐振时电路中电流为i-(t)二 Im COS st(6-9)则电感中在一周期为储存的能量为1 2 1 2 2WL(t) =2口0 (t - LI m cos st(6-10)电容在一周期中储存的能量为(6-11)WC（t）=*CUc2（t）由于在谐振时电源电压全部加在电阻上，而电感电压与电容电压有效值相等是电源电压有效值的Q倍，电容电压的相位落后于电流90°，因此有1 2 1 2 2 °(6-12)Ws(t)Cuc2 (t)C(QRIm)2cos2( °t-90°)= c(QRIm)2sin2 0t2代入式（6-12 ）得12

8、2122Wc =?C(QRIm)2si门20匕口細n2 0t(6-13)因此电路中储能元件储存的总的电磁能为12212212Wx(t)二WL(t)Wc(t)Llm2COS2°t7 LIm2sin2，°tLIm2(6-14)同时在谐振时有U cmIIm则2CU2cm(6-15)因此有2 1 2 2 cm =2CQ Usm(6-16)式（6-16 ）表明，当电源电压幅值一定时谐振时电路的储能为一常量，其大小与品质 因数的平方成正比。在一个谐振周期T0内电阻上消耗的能量为WR（t）=RI 2T° 在一个周期内，电路中储存的能量与消耗的能量之比为1 2LI 2Wx （t）

9、2 LI m(6-17)2LI 01 pLWR(t)IRT。l2R20(6-18)式（6-18）表明，Q值的大小与电路在谐振时一周期内储存能量的多少和一周期内消耗的能量的大小有着密切的关系，事实上Q值的大小就是这两种能量相对大小的度量。即谐振时电路中储存的能量电路在一个周期内消耗的能量5、在串联谐振时,电感和电容的电压相量分别为UL= j oLlO=j oL R = jQUl s(6-19)(6-20)因此得到(6-21)UL Uc =o可见电感和电容的电压大小相等、相位相反、其和为零，所以串联谐振又称为电压谐振。在电信和无线电工程中，电路的Q值一般是几十到几百之间，电路谐振时，电阻两端的 电

10、压等于电源电压，而电感和电容的电压有效值均为电源电压有效值的Q倍。当Q时,表明在谐振时，会在电感和电容两端出现大大高于外施电压U的电压，即过电压现象，造成元件的损坏。三、频率特性电路如图6-1所示，设输入激励为 US,输出响应为电阻电压 Ur,则网络函数为U RRlRHr（ ）=ui1 -（6-22）Us （R j 丄）1 R j（丄一）joC®C所对应的幅频特性关系式为:Hr()RR2 ( _1c)2(6-23)所对应的相频特性关系式为:国1_-1R( ) "Hr( ) arctan(C)R(6-24)当电路的参数 R、L、C确定，可以根据式（6-23 ）和（6-24 ）

11、定性地绘制该电路的幅频特性曲线以及相频特性曲线，如图6-2所示。(a)幅频特性曲线图6-2 RLC串联电路的频率特性曲线由图6-2所示的幅频特性曲线可以看出，在电源为谐振频率时，输出电压最大，偏离谐振频率输出减小，减小的程度与电路参数有关，为了对比不同参数的 RLC串联电路在电源频率变化时的工作情况，我们以为变量研究式(6-22 )表示的网络函数关系。-'0若令二，则网络函数变为-'0(6-25)“UrRI11H R()= U1 二 L 11Us (R ri )I 1 性-卞)1 jQ( -) joCR OCR口式(6-25 )可以看出，RLC串联电路当参数不同时在频率响应上的

12、差异可以通过各自的品质因数Q体现出来。幅频特性为U1HrC1)- |=COS卩rC1)(6-26)Us严2")2相频特性为1r( )=-arctanQ( -丄)(6-27)这样根据式(6-26 )和式(6-27 )绘制的频率特性曲线由Q决定，称为通用谐振频率特性曲线，如图6-3所示。|Hr(9"(b)相频特性曲线（a）幅频特性曲线图6-3 RLC串联电路的通用谐振频率特性曲线图6-3所示通用谐振频率特性曲线适用于各种不同参数的RLC串联谐振电路，Q值越大，曲线在谐振点附近的形状越陡峭， 偏离谐振频率时输出电压下降越明显， 这说明只有频 率在谐振频率附近的信号才能通过， 其它

13、频率的信号都受到很强的抑制， 这种性质称为谐振 电路选频特性。 Q值越大电路的选择性越好。为了说明一个谐振电路允许哪些频率范围的1信号通过，工程设定一个输出幅度指标从而界定频率（角频率）范围。当Hr（ ） _ 时,V2所对应的频率（角频率）范围称为通频带，范围的大小用带宽来衡量，记作BW，可以用角频率表示也可以用频率表示。1（谐振点右侧）如Q（-一）二_1对应求得1 （谐振点左侧）和 2图6-3 （ a）所示，考虑到0，上式中的两个正值解为1 4Q2。J 1 ： -1 2 ,2 =丄2Q4Q2Qi所对应的电源角频率-1和频率匚称为上截止（角频率）频率分别为'1 九02所对应的电源角频率

14、'2和频率f2称为下截止（角频率）频率分别为带宽BW为(6-28)BW = f2 - f1=»1)=川(6-29)由式（6-28 ）和式（6-29 ）可以看出，BW与Q值成反比，Q值越大，BW越窄，电 路的频率选择性越好， 对偏离中心频率信号的抑制能力越强，但信号传输的不失真度差，且对信号传输的速率越低。反之，Q值越小，BW越宽，频率选择性越差，但是信号传输的不失真度较高，且信号传输的速率越高， 工程中常常需要根据实际要求综合考虑各种因素来 选择一个适宜的带宽指标。由于角频率1与角频率2关于谐振角频率-'0对称，因此又称-'0为中心频率，且满足 0二q 

15、9;2，带通频率范围为_ 0 _ 2该频率界定的通带位于频率中段，呈带状，因此网络函数Hr（）称为带通函数。串联谐振的这一特点常用于信号选择，例如收音机的输入电路，就是属于串联谐振电路。如图6-4为收音机的输入电路， 各广播电台不同频率的信息由天线A接收以后，通过线圈L,和L2的磁耦合，将信号传递到电容 C和L2组成的回路，当调节C使电路发生对某一广 播频率的谐振时，信号的电流最大，且远远大于其他频率的信号电流，这样就把所需要的电台信号选了出来，这个电台的信号电流再通过L2和L3的耦合，送到收音机的后接电路进行处理，以得到相应的广播节目。但是，在电力系统中的电源电压往往很高，在谐振发生时，过高

16、的局部电压会造成电器设备的损坏，因此在设计中，必须考虑这一因素，适当选择电路的参数， 以避免发生谐振。图6-4收音机的输入电路同理，当输入激励为 US，电感电压UL和电容电压UC为输出变量的网络函数分别为HL(n)=ULUsj LIjQHc()Uc这里网络函数(R j L P1R j( Lp1 1一 arLi-jQUs (R j，L1 )1 R j( .L _ 1 )jQ( $ /)joC八Hl()和Hc()的辐角分别超前和滞后Hr()辐角900，这里不再予以分析，仅研究其幅频特性。Hl()幅频特性关系式为Hl()罟U S赔 +Q2(1 -需)2求得三个极值点分别为L1、 L2和L3当L1=0

17、时,当L22Q22Q2 -1时，使得dHlJ)=0，HlC1)Q114Q2当L3co 时，| Hl(9=1同理，得到H,)幅频特性关系式为Hc()晋U S求得三个极值点分别为 C1、 C2和C3当C1=0时， Hc(1当C22Q时，使得 ¥HcJ)=0, HcC1)Q11 4Q2当C3Hc( ) =06-5所示，可见，Hl()是高定性画出Hl()和Hc()的通用谐振幅频特性曲线如图通函数，Hc()是低通函数。图6-5 HL ()和Hc()的通用谐振幅频特性曲线例6-1 RLC串联电路如图6-1所示，已知 Us=10V, R=1E , L=20mH当C = 200PF 时，电流 I =

18、 1A。试求 ，U L， Uc 和 Q。解：令U =io. o ,根据电流值有:于谐振状态，所以有：1010 jX=1,显然x( j = 0,表明电路处5rad / s = 5 10 rad / s 20 10" 200 10J2Q 丄=口° 20 10R10= 1000或Q 丄RUL 二UC 二QUS =10000/§ 6.3 RLC并联电路的谐振串联谐振电路适用于信号源内阻很小的情况。如果信号源电阻较大，将使回路Q值降低，电路的选频特性变差。通常，这种情况下采用并联谐振电路。与串联谐振的定义相同， 端口上的电压U：与输入电流*同相的工作状态称为谐振，又由于谐振

19、发生在并联电路中， 因此称为并联谐振。对图 6-6所示的RLC并联电路，分析方法与串联谐振电路相同。II"VUJOLIc"jwC=(b)图6-6 RLC并联谐振电路及其相量图、并联谐振的条件及谐振频率谐振时U与Is同相，其关系式为(6-30)1谐振条件为:C0,解得谐振角频率'0和谐振频率f。分别为©L-= 0 :(LC频率f0又称为电路的固有频率。二、并联谐振的特点1、并联谐振电路如图6-6所示，其导纳为Y=G + jB =G +j3-丄I 丿(6-31)当二-.0时，则丫二G，导纳呈电阻性，导纳模最小。由式(6-30)即电流源电流仅流经电导Is=|g，

20、电感与电容的并联相当于开路。2、电流源Is作为激励，其有效值一定时，电流源两端电压U最大，即I GI sU GS(6-32)G G可以根据这一现象判断并联电路是否谐振。3、在并联谐振时，感纳和容纳相等与电导之比定义并联谐振电路的品质因数,示，即(6-35)该品质因数与串联谐振的品质因数具有对偶性。谐振时电感元件和电容元件上电流分别为Il 一j U 一jQ Is -oL(6-33)(6-34)完全(6-37)-C_1G oloClc 二 j oCU j Is 二 jQ Is因此有IC IL 0设电压u初相为零，相量图如图6-6(b)所示。可见并联谐振时rc与I：有效值相等,其值为电流源Is的Q倍

21、，相位相反，故并联谐振又称为电流谐振。4、在谐振时电感吸收的无功功率为2Ql 二 oL Is(6-35)电容吸收的无功功率为1 2Qc 一 雋(6-36)；：oC因此有Ql Qc =0,这表明在谐振时，电感的磁场能与电容的电场能量彼此相互交换,补偿。电导吸收的有功功率与电感或电容的无功功率与之比为i_2G1 121 S-'oC三、频率特性电路如图6-6所示，设输入激励为Is，输出响应为电阻电压|R,则网络函数为Hr()二虫二Is (G + j coc +GU _1 )U G j C j L(6-38)表示成通用谐振频率关系的网络函数为m l RGUHr( ):l1ls (G j C )U joLGG j C -