浅谈数形结合在纯代数问题中的应用

1、浅谈数形结合在纯代数问题中的应用 周晓尉（湖州中学）恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的

2、生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第

3、三是正确确定参数的取值范围。中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。然而高中数学知识内容中几乎每一知识单元都涉及到数形结合的思想。如：集合与简易逻辑中集合的表示法；函数中函数的图象；数列中数列的图象；三角函数中单位圆，三角函数线，图象；平面向量中向量的表示；直线和圆的方程，圆锥曲线方程中各自的图形；立体几何中的几何体；等等。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角

4、坐标系或单位圆来定义的。然而有些纯代数问题对于学生来说，不容易想到用数形结合的思想来解决。接下来我简单地谈一下数形结合思想在纯代数问题的应用。主要是以举例的形式来作一下说明：例1有100名学生参加数、理、化三科竞赛，其中不及格的人数为：数学物理化学数理数化理化数理化1513164853试问有多少学生三科都及格？ 6 7 数学 1 物理 3 5 2 化学6 （图1）解：借助韦恩图（如图1）来解，由题意可知，总人数100人，即可得，三科都及格的人数为：100-30=70（人）。评注：本题是关于集合的交、并、补的运算，若从代数的方法来解，比较抽象，较难获得答案，借助文氏（韦恩）图，答案一目了然，既直

5、观又好理解。例2若方程有2个不等实根，且满足，求实数的取值范围。 y解：记，则由图象可知：如图2 0 1 2 x只需 图2得评注：本题是关于二次方程根的分布问题。若用韦达定理来求解，则显得较为烦琐，利用函数图象与轴的交点来解则更简单，形象，直观。例3求不等式的解集。解：用数轴标根法（穿针引线法）如图3原不等式的解集为： -3 -2 0 2 5评注：本题若用分情况讨论，则需分 图3多种情况，相当烦琐，用数轴标根法则显得非常容易，直观，此方法适用于解高次不等式。例4方程的实根的个数为_.解：这种方程很难把实根求出来， y但利用图象来解决这类题目很方便。 记，则这两个函数的图象（如图4） 2从图象知

6、：两个函数图象有2个交点， 1所以方程的实根的个数为2个。 4 3 0 x评注：这里求解方程的个数问题经常利用函数图象的交点来解决。 图4 y 6 x -6 （图5）例5.直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是_,恰有两个公共点时，的取值范围是_。解：分别作出直线与曲线的图象（图5），由图象可知，或直线与圆相切时-3 O 3恰有一个公共点，此时或；恰有两个公共点时，。评注：“动”是绝对的，“静”是相对的，这是自然规律，也是一条重要的数学思想。通过平移直线，运用点到直线的距离公式，就得出所求的值。例6求函数的值域。 y N O x M A （图6）解：可把看作点和点的直线的斜率，设该直线的方程

7、为，而点在圆上，当直线与圆相切时，取得最值（图6），由点到直线的距离公式得：，所以,从而，。评注：这里利用两点的斜率的形式来求解，通过图形，从图形中分析出斜率的取值范围。例7.实数、满足 y，求的最值。解：如图7， o x的图象是以为圆心，半径为1的圆，设是该圆上任一点， 图7令，则，直线的斜率为且在轴上的截距为,当且仅当直线与圆相切时取得最大或最小值。由点到直线的距离公式得：， ,因此，。评注：本题解题的关键是赋予截距几何意义斜率为的直线在轴上的截距。例8求函数的最小值。解： B y A O x （图8）可以看成是点到两点、距离之和（图8），可先求 点关于轴的对称点，则为所求。评注：这是一个

8、运用数形结合法的典型例题，把抽象的函数关系转化为直观的两点距离，解题思路独特。例9已知复数的模为2，则的最大值是（ ）。 y O x(图9)（A）1 （B）2 （C） （D）3解：如图9，表示圆心在原点，半径为2的圆，由复数加减法的三角形法则和模的定义知：。评注：其实，原式。本题运用“数形结合法”，把复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。 例10证明基本不等式：解：构造直角三角形,如图10 A,B,C的对应边依次为，E是AB的中点

9、， CD是斜边AB边上的高，则 ， 显然，于是，即， 图10 而，故，当且仅当时取等号。评注：本题有多种证法，其它方法也许更简单，但我们这里通过构造图形的思想，从而使问题又有了一种新的求解方法。这就体现了数形结合的思想无处不在，使我们的纯代数问题有了一个新的亮点。例11设方程的根为，设方程 y A B x（图11）的根为，则_。解：如图11，分别画出函数的图象，它们与直线的交点为、，则，因为和互为反函数，由互为反函数的图象性质可知，因此。评注：一些特殊图形用常规方法难以求解，使用“数形结合法”往往迎刃而解。以上的例题看似与图形毫无关系，然而我们恰恰就是利用图形来解决问题，而且有的例题通过图形来解显得更加简单，直观，这就充分印证