第十二章 概率与统计 - 阳光互联

1、第十三章第十三章 概率与统计概率与统计第一部分第一部分 五年高考荟萃五年高考荟萃20092009 年高考题年高考题一、选择题1.1.（0909 山东山东 1111）在区间1,1上随机取一个数x,cos2x的值介于 0 到12之间的概率为 （ ）A13 B2 C 12 D 23 【解析】在区间-1，1上随机取一个数 x,即 1,1x 时,要使cos2x的值介于 0 到21之间,需使223x 或322x213x 或213x，区间长度为32，由几何概型知cos2x的值介于 0 到21之间的概率为31232.故选 A.答案 A2.(09.(09 山东文山东文) )在区间,2 2 上随机取一个数 x，c

2、osx的值介于 0 到21之间的概率为( ).A.31 B.2 C.21 D.32 【解析】在区间,2 2 上随机取一个数 x,即,2 2x 时,要使cosx的值介于 0到21之间,需使23x 或32x，区间长度为3，由几何概型知cosx的值介于 0 到21之间的概率为313.故选 A. 答案 A3.（0909 安徽卷理）安徽卷理）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A175 B 275 C375 D475【解析】如图，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个

3、点中任意选两个点连成直线，共有226615 15225CCABCDEF种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有/,/,/,ACDB ADCB AEBF/,/,/AFBE CEFD CFED 共 12 对，所以所求概率为12422575p ，选 D答案D.（20092009 安徽卷文）安徽卷文）考察正方体 6 个面的中心，从中任意选 3 个点连成三角形，再把剩下的 3 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 （ ） A.1 B. C. D. 0 【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有36C个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为 1，选 A

4、。 答案 A5 5、 （2009 江西卷文）江西卷文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A16 B14 C13 D12【解析】所有可能的比赛分组情况共有22424122!C C种，甲乙相遇的分组情况恰好有 6种，故选D. 答案 D6.（2009 江西卷理）江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A3181 B3381 C4881 D5081 【解析】5553(3 23)

5、50381P故选 D答案 D7.（2009 四川卷文）四川卷文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足ba618. 0215，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值 0.618 比较，正确结论是（ ） A.甲批次的总体平均数与标准值更接近 B.乙批次的总体平均数与标准值更接近 C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D.两个

6、批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析解析】甲批次的平均数为 0.617，乙批次的平均数为 0.613答案 A8.（20092009 辽宁卷文）辽宁卷文）ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为（ ）A4 B14 C8 D18 【解析】长方形面积为 2,以 O 为圆心,1 为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为224 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为14答案 B.（2009 年上海卷理）年上海卷理）若事件E与F相互独立，且 14P EP

7、F，则P EFI的值等于（ ）A0 B116 C14 D12【解析】P EFI 1144P EP F116答案 B二、填空题10.（2009 广广东东卷卷 理理）已知离散型随机变量X的分布列如右表若0EX ，1DX ，则a ，b 【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.答案 11.（20092009 安徽卷理）安徽卷理）若随机变量2( ,)XN ，则()P X=_.答案 1212.（20092009 安徽卷文）安徽卷文）从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_。【解析】依据四条边长可得满

8、足条件的三角形有三种情况:2、3、4 或 3、4、5 或2、4、5，故34334PC=0.75. 答案 0.7513.（2009 江苏卷）江苏卷）现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m答案 0.214.（2009 江苏卷）江苏卷）某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： 学

9、生1 号2 号3 号4 号5 号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为2s= . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为 7，故方差222222(67)00(87)0255s 答案 15.（2009 湖北卷文）湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。【解析】三人均达标为 0.80.60.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76答案 0.24 0.7616.（20092009 福建卷文）福建卷文）点 A 为周长等于 3

10、 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB 的长度小于 1 的概率为 。【解析】如图可设1AB ,则1AB ,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23。 答案 231717 （2009 重庆卷文）重庆卷文）从一堆苹果中任取 5 只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127 则该样本标准差s （克） （用数字作答） 【解析】因为样本平均数1(125 124 121 123 127)1245x ，则样本方差2222221(1313 )4,5sO所以2s 答案 2三、解答题18、 （2009 浙江卷理）浙江卷理） （本题满分 14 分）在1,2

11、,3,9这9个自然数中，任取3个数 （I）求这3个数中恰有1个是偶数的概率； （II）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时的值是2） 求随机变量的分布列及其数学期望E解（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则12453910( )21C CP AC； （II）随机变量的取值为0,1,2,的分布列为012P51212112所以的数学期望为5112012122123E 19、 （2009 北京卷文）北京卷文） （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13

12、，遇到红灯时停留的时间都是 2 min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 的概率. 解（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 11141133327P A .（）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4min 为事件 B，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件0,1,2kBk .则由题意，得 40216381P B， 132212142412321224,33813

13、381P BCP BC .由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯” ，事件 B 的概率为 01289P BP BP BP B.20、 （2009 北京卷理）北京卷理） （本小题共 13 分）某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2min.（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.解 （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路

14、口遇到红灯” ，所以事件 A 的概率为 11141133327P A .（）由题意，可得可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）.事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯” （k 0，1，2，3，4） ，441220,1,2,3,433kkkPkCk ，即的分布列是02468P16813281827881181的期望是163288180246881812781813E .21、(2009(2009 山东卷理山东卷理) )(本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得3分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之

15、和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q2，该同学选择先在 A处投一球，以后都在 B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1）求 q2的值； （2）求随机变量的数学期望 E;（3）试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。解 （1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25,( )0.75P A , P(B)= q2,2( )1P

16、 Bq . 根据分布列知: =0 时22()( ) ( ) ( )0.75(1)P ABBP A P B P Bq=0.03,所以210.2q，q2=0.8.（2）当=2 时, P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP )()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75 q2( 21 q)2=1.5 q2( 21 q)=0.24当=3 时, P2 =22()( ) ( ) ( )0.25(1)P ABBP A P B P Bq=0.01,当=4 时, P3=22()( ) ( ) ( )0.75P ABBP A P B P Bq=0.48,当=5 时, P4=()()()P A

17、BBABP ABBP AB222( ) ( ) ( )( ) ( )0.25(1)0.25P A P B P BP A P Bqqq=0.24所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量的数学期望0 0.032 0.243 0.014 0.485 0.243.63E （3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为()P BBBBBBBB()()()P BBBP BBBP BB222222(1)0.896q qq;该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在 B 处

18、投篮得分超过 3 分的概率大.22、 （20092009 安徽卷理）安徽卷理） （本小题满分（本小题满分 12 分）分）12.同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D 中直接受 A感染的人数 X 就是一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值（即数学期望）.本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分 12 分。解 随机变量 X 的分布列是X123P131216X 的均值为11111

19、1233266EX 附：X 的分布列的一种求法共有如下 6 种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是16：ABCDABCDABCDABDCACDB在情形和之下，A 直接感染了一个人；在情形、之下，A 直接感染了两个人；在情形之下，A 直接感染了三个人。23、 （2009 江西卷理）江西卷理） （本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ，则不予资助，令表示该公司

20、的资助总额 (1) 写出的分布列； (2) 求数学期望E 解（1）的所有取值为0,5,10,15,20,25,30 1(0)64P 3(5)32P 15(10)64P 5(15)16P 15(20)64P 3(25)32P 1(30)64P（2）315515315101520253015326416643264E . 24、(2009(2009 湖北卷理湖北卷理) )（本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 2，3，4，5；另一个盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数 3，4，5，6

21、。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为 x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为 y，记随机变量xy，求的分布列和数学期望。 解 依题意，可分别取5、6、11 取，则有1123(5), (6), (7)4 41616164321(8), (9), (10), (11)16161616ppppppp 的分布列为567891011p116216 3164163162161161234321567891011816161616161616E .25、 （2009 辽宁卷理）辽宁卷理） （本小题满分 12 分）某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一

22、、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（）若目标被击中 2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2次” ，求 P（A） 解（）依题意 X 的分列为 （）设 A1表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2.依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，11111122AA BA BA BA B,所求的概率为11111122( )()()()P AP A BP A

23、 BP A BP A B（） 11111122()() () ()() ()P A BP A P BP A P BP A P B（ 0.1 0.90.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.30.28 26、 （2009 湖南卷文）湖南卷文） （本小题满分 12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率.解 记第i名工人选择的项目属于基础设施

24、工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,iiiA B Ci=1，2，3.由题意知123,A A A相互独立，123,B B B相互独立，123,C C C相互独立，,ijkA B C（i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且111(), (), ().236iiiP AP BP C （）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=1233! ()P AB C1236 () () ()P A P B P C11116.2366 （）至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率 P=1231()P B B B1231() () ()P B P B P B 31191 (1).32

25、7 2727、 （20092009 全国卷全国卷文）文） （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。（）求再赛 2 局结束这次比赛的概率；（）求甲获得这次比赛胜利的概率。【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。解 记“第i局甲获胜”为事件)5 , 4 , 3( iAi， “第j局甲获胜”为事件)5 , 4 , 3( jBi

26、。（）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则4343BBAAA ，由于各局比赛结果相互独立，故)()()()()()()()(434343434343BPBPAPAPBBPAAPBBAAPAP 52. 04 . 04 . 06 . 06 . 0 。（）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而54354343ABAAABAAB ，由于各局比赛结果相互独立，故)()(54354343ABAAABAAPBP 648. 06 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0)(

27、)()()()()()()()()()(5435434354354343 APBPAPAPAPBPAPAPABAPAABPAAP 28、 （2009 陕西卷文）陕西卷文） （本小题满分 12 分）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1() 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过 1 次的概率；（）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。解 解答 1（）设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内被投诉的次数为 1”所以()( )( )0.40.50.9P

28、ABP AP B（）设事件iA表示“第i个月被投诉的次数为 0”事件iB表示“第i个月被投诉的次数为 1”事件iC表示“第i个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次”所以()0.4, ()0.5, ()0.1(1,2)iiiP AP BP Ci所以两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为1221()P ACA C一、二月份均被投诉 1 次的概率为12()P B B所以122112122112()()()()()()P DP ACA CP B BP ACP A CP B B由事件的独立性的()0.4 0.1 0.1 0.40.5 0.50.33p D

29、解答 2（）设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次”设事件 B 表示“一个月内被投诉的次数不超过 1 次”所以( )0.1,( )1( )1 0.10.9p AP BP A ()同解答 1（）29、(2009 湖南卷理湖南卷理)（本小题满分 12 分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.12、13、16，现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。

30、解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 1A,1B,1C，i=1，2，3.由题意知1A23A A相互独立，1B23B B相互独立，1C23C C相互独立，1A,1B,1C（i，j，k=1，2，3，且 i，j，k 互不相同）相互独立，且 P（1A）=，P（1B）=13，P（1C）=16（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（1A2B3C）=6P（1A）P（2B）P（3C）=6121316=16(2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，13） ，且=3。所以 P（=0）=P（=3）=13C31( )

31、3=127， P（=1）=P（=2）= 23C31( )3 2( )3= 29 P（=2）=P（=1）=13C1( )322( )3=49P（=3）=P（=0）= 03C 32( )3= 827故的分布是0123P1272949827的数学期望 E=0127+129+249+3827=2解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件1D，i=1,2,3 ，由此已知，1DD，1D相互独立，且P（1D）-（1A，1C）= P（1A）+P（1C）=12+16=23 所以-2(3, )3B,既3321()( ) ( )33KKKPKC，0,1,2,3.k 故的分布列是0123p12

32、729498273030、 （20092009 四川卷理）四川卷理） （本小题满分 12 分）为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司 组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。 在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。 （I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望E。

33、本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡。设事件B为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” ， 事件1A为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡” ， 事件2A为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡” 。 12( )()()P BP AP A 121119219621333636C CC C CCC 92734170 3685 所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且

34、持银卡者少于 2 人的概率是3685。6 分（）的可能取值为 0，1，2，3 33391(0)84CPC, 1263393(1)14C CPC 21633915(2)28C CPC，363915(3)21CPC， 所以的分布列为0123P1843141528521 所以131550123284142821E ， 12 分 31、 （2009 重庆卷理）重庆卷理） （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：（）两种大树各成活 1 株的概

35、率；（）成活的株数的分布列与期望 解解 设kA表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2lB表示乙种大树成活 l 株，l0，1，2则kA，lB独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 2221()( ) ( )33kkkkP AC , 2211()( ) ( )22llllP BC . 据此算得01()9P A , 14()9P A , 24()9P A . 01()4P B , 11()2P B , 21()4P B . () 所求概率为2111412()()()929P ABP AP B. () 解法一：的所有可能值为 0，1，2，3，4，且 0000111(0)()()()9436PP

36、ABP AP B , 011011411(1)()()92946PP ABP AB , 021120114141(2)()()()949294PP ABP ABP AB=1336 , 122141411(3)()()94923PP ABP AB . 22411(4)()949PP AB .综上知有分布列01234P1/361/613/361/31/9从而，的期望为111311012343663639E 73（株）解法二：分布列的求法同上令12，分别表示甲乙两种树成活的株数，则12:21B(2,)，B(2,)32故有121EE 241=2= ，2332 从而知1273EEE32、 （2009 重

37、庆卷文）重庆卷文） （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中： （）至少有 1 株成活的概率；（）两种大树各成活 1 株的概率解 设kA表示第k株甲种大树成活, 1,2k ; 设lB表示第l株乙种大树成活, 1,2l 则1212,A A B B独立,且121254()(), ()()65P AP AP BP B（）至少有 1 株成活的概率为: 2212121212118991()1()()()()1 ( ) ( )65900P A A

38、B BP AP AP BP B （）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活 1 株的概率为:11225 14 110846 65 5362545PCC 2005200520082008 年高考题年高考题一、选择题1 1(2008(2008 年全国年全国理理 6)6)从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）A929 B1029 C1929 D2029【解析解析】2920330110220210120CCCCCP答案 D2、 （2007 年辽宁理）年辽宁理）一个坛子里有编号为 1，2，12 的 12 个大小相

39、同的球，其中 1 到6 号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率是（ ）A122B111C322D211答案 D3、(2007 年湖北理年湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量()mn，a =与向量(11)，b的夹角为，则0，的概率是（ ）A512B12C712D56答案 C4、 （2007 年浙江理年浙江理 5）已知随机变量服从正态分布2(2)N，(4)0.84P，则(0)P（ ）A0.16B0.32C0.68D，0.84答案 A5 5、 （20072007年安徽理）年安徽理）以)(x表示标准正态总体在区间（x,）内取值的

40、概率，若随机变量服从正态分布),(2N，则概率)(P等于（A）)(-)(（B）) 1() 1 (（C）)1(（D）)(2答案 B、 （2006 江苏）江苏）某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，则xy的值为 （ ）A1 B2 C3 D4【解析】由题意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出 x、y，只要求出yx ，设 x=10+t, y=10-t, 24xyt，选 D答案 D二、填空题7、 （2007 天津文天津文 15）随机变量的分布列如下：101Pab

41、c其中abc，成等差数列，若13E，则D的值是 答案 598、 （2007 年湖北理）年湖北理）某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球 10 次，恰好投进 3个球的概率 （用数值作答）答案 151289 9、 （20072007 年全国年全国理理 1414）在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（1，2） （0） ，若 在（0，1）内取值的概率为 0.4，则 在（0，2）内取值的概率为 。答案 0.8【解析】在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（1，2） （0） ，正态分布图象的对称轴为 x=1， 在（0，1）内取值的概率为 0.4，可知，随机变量 在(1，2)内取值的概率于 在(

42、0，1)内取值的概率相同，也为 0.4，这样随机变量 在(0，2)内取值的概率为 0.8。1010、 （20052005 年全国年全国理理 1515）设l为平面上过点01 ，的直线，l的斜率等可能地取552 2303 2 222，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望E 。答案 47【解析】随机变量可能的取值为 x1=13,x2=12,x3=23,x4=1,它们的概率分别为p1=27,p2=27,p3=27,p4=17,随机变量 的数学期望 E=2 11 12 2117 37 27 37=47三、解答题1111、 （20082008 年全国年全国理理理理 1818）购买某种保险，每个投

43、保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999（）求一投保人在一年度内出险的概率p；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的 10 000 人中出险的人数为，则4(10)Bp，（）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 00

44、0 元赔偿金，则A发生当且仅当0，2 分( )1( )P AP A 1(0)P 4101 (1)p ，又410( )1 0.999P A ，故0.001p 5 分（）该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 10 00050 000，盈利 10 000(10 00050 000)a，盈利的期望为 10 00010 00050 000EaE，9 分由43(10 10 )B，知，310 000 10E，44410105 10EaE 44434101010105 10a 0E4441010105 100a 1050a15a（元） 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元 12

45、分1212、 （20082008 年全国年全国理理 1818）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999（）求一投保人在一年度内出险的概率p；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的 10 000 人中出险

46、的人数为，则4(10)Bp，（）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则A发生当且仅当0，( )1( )P AP A 1(0)P 4101 (1)p ，又410( )1 0.999P A ，故0.001p （）该险种总收入为10 000a元，支出是赔偿金总额与成本的和支出 10 00050 000，盈利 10 000(10 00050 000)a，盈利的期望为 10 00010 00050 000EaE，由43(10 10 )B，知，310 000 10E，44410105 10EaE 44434101010105 10a 0E4441010105 100a 1050

47、a15a（元） 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元13、 （2007 年福建文）年福建文）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率解：记“甲第i次试跳成功”为事件iA， “乙第i次试跳成功”为事件iB，依题意得()0.7iP A ，()0.6iP B，且iA，iB（12 3i ，）相互独立（） “甲第三次试跳才成功”为事件123A A A，且三次试跳相互独立，123123()() (

48、) ()0.3 0.3 0.70.063P A A AP A P A P A答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063（） “甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C解法一：111111CA BABAB，且11A B，11AB，11AB彼此互斥，111111( )()()()P CP A BP A BP A B111111() ()() ()() ()P A P BP A P BP A P B0.7 0.40.3 0.60.7 0.60.88解法二：11( )1()()1 0.3 0.40.88P CP AP B 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88（）设“甲在两次

49、试跳中成功i次”为事件(012)iM i ，“乙在两次试跳中成功i次”为事件(012)iN i ，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021M NM N，且10M N，21M N为互斥事件，所求的概率为10211021()()()P M NM NP M NP M N1021() ()() ()P M P NP MP N1221220.7 0.3 0.40.70.6 0.4CC0.06720.23520.3024答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.30241414、 （20072007 年全国年全国文文 1919）从某批产品中，有放回地抽取产品

50、二次，每次随机抽取 1 件，假设事件A：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率( )0.96P A （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率p；（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件B：“取出的 2 件产品中至少有一件二等品”的概率( )P B（1）记0A表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ，1A表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则01AA，互斥，且01AAA，故01( )()P AP AA012122()()(1)C(1)1P AP Apppp 于是20.961p 解得120.20.2pp ，（舍去） （2）记0B表示事件“取

51、出的 2 件产品中无二等品” ， 则0BB若该批产品共 100 件，由（1）知其中二等品有100 0.220件，故28002100C316()C495P B00316179( )()1()1495495P BP BP B 1515、 （20072007 重庆理）重庆理）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900 元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次） ，设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（）获赔的概率；（）获赔金额的分布列与期望

52、（18） （本小题 13 分）解：设kA表示第k辆车在一年内发生此种事故，12 3k ，由题意知1A，2A，3A独立，且11()9P A ，21()10P A，31()11P A（）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1() () ()19101111P A A AP A P A P A （）的所有可能值为0，9000，18000，2700012312389108(0)()() () ()9101111PP A A AP A P A P A，123123123(9000)()()()PP A A AP A A AP A A A123123123() () ()() () ()(

53、) () ()P A P A P AP A P A P AP A P A P A191081108919101191011910112421199045，123123123(18000)()()()PP A A AP A A AP A A A123123123() () ()() () ()() () ()P A P A P AP A P A P AP A P A P A1110191811910119101191011273990110，123123(27000)()() () ()PP A A AP A P A P A111191011990综上知，的分布列为090001800027000

54、P811114531101990求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得811310900018000270001145110990E299002718.1811（元） 解法二：设k表示第k辆车一年内的获赔金额，12 3k ，则1有分布列109000P8919故11900010009E同理得21900090010E，319000818.1811E综上有1231000900818.182718.18EEEE（元） 1616、 （20062006 北京卷北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两

55、门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：()该应聘者用方案一考试通过的概率；()该应聘者用方案二考试通过的概率.解：解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B,C，则 P(A)=0.5，P(B)0.6，P(C)=0.9.() 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.50.60.1+0.50.60.9+0.50.40.9+0.50.60.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.() 应聘者用方案二考试通过的概率 p2

56、=31P(AB)+31P(BC)+ 31P(AC) =31(0.50.6+0.60.9+0.50.9)=311.29=0.431717、 （20062006 年全国年全国理理 1818）某批产品成箱包装，每箱 5 件一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有 0件、1 件、2 件二等品，其余为一等品（）用表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批图 1产品级用户拒绝的概率解(1.) 0,1,2,322342255189P(

57、0)=10050CCCC 211123324422225555C24P( 1 )=C50CC CCCCC11122324422222555515(2)50C CCCCPCCCC 124222552(3)50CCPCC 所以的分布列为0123P95024501550250的数学期望 E()=92415201231.250505050 (2)P(2)=15217(2)(3)505050PP第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编20092009 年联考题年联考题一、选择题1 1、 （20092009 年山东省乐陵一中高三模拟）年山东省乐陵一中高三模拟）一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000

58、个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是 （ ） A121 B101 C253 D12512答案 D2、 （2009 广东江门市模拟）广东江门市模拟）如图 1，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )A.24 B.22 C.44 D.42答案3 3、( (湖北省武汉二中湖北省武汉二中 20092009 届高三届高三 3 3 月测试题月测试题) )某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为(80)22001( )()210

59、xf xexR,则下列命题中不正确的是 ( )A. 该市这次考试的数学平均成绩为 80 分B. 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同C. 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同D. 该市这次考试的数学成绩标准差为 10答案 B4、（2009 宁波十校联考）宁波十校联考）将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为, b c，则方程20 xbxc有实根的概率为（ ）A 1936 B 12 C 59 D 1736答案 A5、 （2009 和平区一模）和平区一模）在面积为 S 的ABC 的边 AB 上任取一点 P，则PBC 的面积大于4S的概率是（ ）(A

60、)14 (B)12 (C)34 (D)23答案 C二、填空题6、 （2009 广东中山市一模）广东中山市一模）若数据123,nx xxx的平均数x=5，方差22，则数据12331,31,31,31nxxxx的平均数为 ，方差为 .答案7、 （2009 福建厦门一中）福建厦门一中）设,(0,1)a b，则关于220 xxaxb的方程在(,) 上有两个不同的零点的概率为_答案 138 8、( (湖北省孝感市湖北省孝感市 20092009 届高三届高三 3 3 月统考理月统考理) ) 设三个正态分布211,N （10） 、222,N （20） 、233,N （30）的密度函数图象如图所示，则1、2、