第十一节圆锥曲线综合问题—定点、定值、探索性问题

1、第十一节 圆锥曲线的综合问题定点、定值、探索性问题例1、已知椭圆1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1) 求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点.例2、如图，已知双曲线C：y21(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在

2、C上移动时，恒为定值，并求此定值.例3、一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1) 求曲线C的方程；(2) 设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.例4、椭圆C：1(a&g

3、t;b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值.第十一节 课堂练习1、如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)

4、求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由.3、已知椭圆E：1(a>b>0)以抛物线y28x的焦点为顶点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆E相交于A，B两点，与直线x4相交于Q点，P是

5、椭圆E上一点且满足(其中O为坐标原点)，试问在x轴上是否存在一点T，使得·为定值？若存在，求出点T的坐标及·的值；若不存在，请说明理由.4、已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过x轴上一定点5、已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得·0.若存在，求出点M的坐标

6、；若不存在，说明理由6、已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2y23相切(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k，求证：k·k为定值7、已知椭圆1(ab0)的左焦点F1(1,0)，长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若mn，求证：为定值8、如图，椭圆E：1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，

7、且·1.(1)求椭圆E的方程(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得··为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由9、已知椭圆C1：1(ab0)的离心率为，且直线yxb是抛物线C2：y24x的一条切线(1)求椭圆C1的方程(2)过点S的动直线l交椭圆C1于A，B两点试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由第十一节 课后作业1.(2015·四川)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·1. (1)求椭圆E的

8、方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数，使得··为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.2.已知椭圆C：1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.3.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2，0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.4.设椭圆C：1(a>b>0)的离心率e，左顶点M到直线1的距离d，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.5、已知双曲线E：1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y2