概率论与数理统计公式考试专用

1、第1章随机事件及其概率(1)排列组合公式Pmn，从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(mn)!Cmm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来无成，则这件事口由mxn种方法来无成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验

2、在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这组事件，它具肩如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是的子集。为必然事件，？为/、可能事件。不可能事件(？)的概率为零，而

3、概率为零的事件/、一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必后事件B发生)：AB如果同时有AB,BA,则称事件A匕事件B等价，或称A等于B：A=BA、B中至少有一个发生的事件：AB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。AB同时发生：AB,或者ARAB=?,则表示A与B不可能同时发生，称事件A匕事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事

4、件，记为Ao它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)Ai百_德摩根率：i1i1ABAB,ABAB(7)概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足卜列三个条件：1°0<P(A)<1,2P(Q)=130对于两两互不相容的事件A1,A2,有常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1 1,2n,2 P(1)P(2)P(n)-0n设任一事件A,它是由1,2m组成的，则有P(A)

5、=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)(9)几何概型若随机试验的结果为无限/、可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A).。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L()(10)力口法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Q时，P(B)=1-P(B)(条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称吆目为事件A发生条P(A)

6、件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A)且胆。P(A)条件概率是概率的一种，所后概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1P(b/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)更一般地，对事件A,A人,若P(AAA-1)>0,则有P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)/0(14)独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B)，则称事件a、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0,则有若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、K与E也都相互独立。必然事件和不可能事件

7、？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件B1,B2,，Bn满足1。B1,B2,Bn两两9/、相容,P(Bi)0(i1,2,n),nABi2i1，则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。(16)贝叶斯公式设事件B1,B2,Bn及A满足1°B1,B2,，Bn两两互/、相容,P(Bi

8、)>0,i1,2,，n,nABi2i1P(A)0则c/c，八P(Bi)P(A/Bi).。P(Bi/A)n'"',i=1,2,-noP(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(i1,2,，n),通常叫先验概率。P(BJA),(i1,2,，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只启两种可能结果，A发生或A不发生；门次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是立耳、影响的。这种试验称为伯

9、努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1Pq，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0kn)次的概率，Pn(k)C：Pkqnk,k0,1,2,no第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为兑(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=K)的概率为P(X=x<)=pk,k=1,2,，则称上式为离目攵型随机艾重X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：Xx1,x2,xk,P(Xxk)p1,p2,pk,o显然分布律应满足卜列条件：Pk1(1)pk0,k1,2,(2)k1。(2)连续型随机变量的分布密度设F

10、(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数x,有xF(x)f(x)dx则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有卜间4个性质：1。f(x)00f(x)dx12o(3)离散与连续型随机变量的关系积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-8,x内的概率。分布函数具肩如

11、下性质：1°0F(x)1,x;2F(x)是单调/、减的函数，即xix2时，有F(xi)F(x2)；3°F()limF(x)0,F()limF(x)1;xx4°F(x0)F(x),即F(x)是右连续的；5°P(Xx)F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x)Pk;xkxx对于连续型随机变量，F(x)f(x)dxo八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,n。P(Xk)Pn(k)Ckpkqnk,其中q1P,0P1,k0,1,2,n

12、,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为XB(n,p)。当n1时，P(Xk)pkq1k,k0.1,这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(Xk)e,0,k0,1,2,k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X()或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=x,n-oo)0超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(Xk)qk1p,k1,2,3,其中p>0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度函数f(x)在a

13、,b上为常数，即ba1a<x<bf(X)ba其他，u,则称随机变量X在a,b上服从均匀分布，记为XU(a,b)。分布函数为?00,x<a,XxaF(x)f(x)dx,1°噂>式&x<b当a&x1<x2&b时，X落在区|前(x1,x2)内的概率为P(x1Xx2)x21x1。ba指数分布xf(x)?e,x0,?典¥0,0,则称随机变量x服从参数为的指数分布。X的分布函数为11ex,x0,F(x)1?地位0分公式：«-r30止态分布设随机变量X的密度函数为1(x2)2f(x)-=-e2,x,22其中、0为常数，

14、则称随机变量X服从参数为、的正态分布或图斯(Gauss)分布，XN(,2)。f(x)具肩如下性质：1°f(x)的图形是关于x对称的；2。当x时，f()二匚为最大值；2V2若XN(1,小X的分布函数为F(x)-.=e2dt记为我参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1),其密度函数记为(x)ee2<2,x,分布函数为xt21x-(x)-,e2dt0(x)是不可.求积函数，具函数值，已编制成表可供查用。(-x)=1-(x)且(0)二。,m0iX2如果XN(,2),贝N(0,1)oP(x1Xx2)X10(6)分位数下分位表：P(X)=;上分位表：P(X)=。函数分布离

15、散型已知X的夕oX、布列为Xi,x2,xn,P(XxiYg(X)Y)至cP1,P2,Pn,J分布列(yig(xi)立/、相等)如下：J(x1),g(x2),g(xn),P(Yyi)若由某些概率。g(xp1,相交'则应将郎的Pi相加作为g(xi)的连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数F(y)=P(g(X)<y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章二维随机变量及其分布(1)联合 分布离散型连续型如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。设=(X,Y)的所有可能取值为(xyj)(i,j1,2,)，且事件=(为

16、)的概率为pj,称为=(X,Y)的分布彳t或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：y1y2yjXiP11P12P1jx2P21P22P2jXiPi1这里pj具有下面两个性质:(1) Pj>0(i,j=1,2,)；(2) Pj1.对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(x,y),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y)>0

17、;(2) f(x,y)dxdy1.(2)二维随机变量的本质(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平向为其定义域，以事件(1,2)|X(1)x,Y(2)y的概率为函数值的一个实信函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1) 0F(x,y)1;(2) F(x,y)分别对x和y是非减的，即当x2>x1时,有F(x2,y)>F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分别对x和y是右连续的，即(4) F

18、(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5)对于x1x2，y1y2，F(x2,y2)F(x2,y1)F(xb口)F(xby1)0.(4)离散型与连续型的关系(5)边缘分布离散型X的边缘分布为Pi?P(Xxi)Pj(i,j1,2,);Y的边缘分布为P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=y的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(x|y)g；fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为"性一M型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)

19、离散型后零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离义量正概率密度区间为矩形(8)二维 均匀分布(9)二维 正态分布二维正态 分布随机变量 的函数若X,X2,汽Xm+1,X4目互独立，h,g为连续函数，则: h (X, X 淘 和g (Xm+1,X)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。设随机向量(X, Y)的分布密度函数为其中Sd为区域D的面积，则称(X, Y)服从D上的均匀分布，记为 (X, Y)U (D)。例如图3.1、图3.2和图3.3。y f1D01图O 图 y d cI3.1Oi

20、abx3.3D3设随机向量(X, Y)的分布密度函数为其中 1，2, 10，20，II 1是5个参数，则称(X, Y)服从二维正态分布，记为(X, Y) -N ( 1，2,12,2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN ( 1,i2),yn( 2, ；).但是若XN (1,12),YN(2,22),(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z)P(Zz)P(XYz)对于连续型，fz(z)=f(x,zx)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,12)。n个相互独立的止态分布的线性组合，仍服从止态分布。C2C22J

21、i,JiZ=max,min(Xl,X2,Xn)若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x),Fx?(x)Fxn(x),则Z=max,min(X1,X2，X)的分布函数为：2分布设n个随机变量X1,X2,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布酱度为我们称随机变量WK从自由度为n的2分布，记为M2(n),其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设则t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为丁t(n)。F分布设X2(njY23),且*与丫独立，可以

22、证明F'的概率餐'度函数为Y/n2我们称随机变量F服从第一个自由度为m,第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1»).第四章随机变量的数字特征(1)I离散型I连续型一维随机变量的数字特征期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P(Xxk)=pk,k=1,2,n,(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)、.、.广.力左D(X)=EX-E(X)2,标准差(X)jD(X),矩对于正整数k,称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即Vk=E(X>xkpi,k=1,2,.对

23、于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幕的数学期望为X的k阶中心矩，记为k,即=(XiE(X)kpi,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X的k次幕的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即vk=E(Xk)=xkf(x)dx,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幕的数学期望为X的k阶中心矩，记为即k=(xE(X)f(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)二，方差D(X)=(/,则对于任意正数e,后卜列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况卜，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。(2)期望的性质(1) E(C)=C(2

24、) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),E(GXi)GE(Xi)i1i1(4) E(XY)=E(X)E(Y),充分条件：*和YJS立；充要条件：X和Y不相关。(3)、.、.广.力左的性质(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X±Y尸D(X)+D(Y),充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),无

25、条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)期望、.、.广.力左常见分布的期望和、.、.广.力克0-1分布B(1,p)p二项分布B(n,p)np泊松分布P()几何分布G(p)超几何分布H(n,M,N)均匀分布U(a,b)指数分布e()止态分布N(,2)n2nt分布0(n>2)n2(5)二维随机变量的数字特征期望函数的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=、.、.广.力左协方差对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩ii为X与Y的协力差或相关矩,记为xy或cov(X,Y),即与记号xy相对应，X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为XX与YY0相关系数对于随机变量X与

26、Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,则称为X与Y的相关系数，记作xy(有时可简记为)。|尸1,当|=1时，称X与Y完全相关：P(XaYb)1士人相¥正相关，当1时(a0)，兀全相夫._.zj负相关，当1时(a0),而当0时，称X与Y不相关。以卜五个命题是等价的： XY0； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(XkYl)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为k；k+l阶混合中心矩记为：(6)协方差的性质(i) cov(X,Y)=co

27、v(Y,X);(ii) cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii) cov(Xi+X2,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).和不相关(i)若随机变量X与Y相互独立，则xy0;反之不真。(ii)若(X,Y)-N(1，2，2，；，),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章大数定律和中心极限定理(1)大数定律切比定律设随机变量X,X相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D(X)<C(i=1,2,)，则对于任意的正数£,有特殊情形：若X,X2,具肩相同的数学期望E(X)=礼,则上式成为努大定

28、伯利数律设仙是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦定律设X,X，X,是相互独立同分布的随机变量序歹1，且E(Xn)二仙，则对于任意的正数e有(2)中心极限定理列维林德伯格定理设随机变量Xi,X,相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(XQ,D(Xk)20(k1,2,),则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗一拉普定理设随机变量Xn为具有参数n,p(

29、0<p<1)的二项分布，则对于任意实数X,有(3)二项定理若当N时,Mp(n,k不变)，则N超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理右当n时，np0,则其中k=0,1,2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布(1)数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体)。样本我们把从总体中抽取的部分样品X1,X2,Xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且

30、与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指於次抽取的结果时，x1,x2,xn表小n个随机变量(样本)；在具体的一次抽取之后，x1,x2,xn表示n个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。样本国数和统力里设Xi,X2,Xn为总体的一个样本，称(Xi,X2,Xn)为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称(Xi,X2,Xn)为一个统同。常见统计量及其性质1n样本均值X2Xi.ni1样本方差1nS2(XiX)2.n1i1咻标gSJ-(XiX)2.nn1i1样本k阶原点矩样本k阶中心矩2E(X),D(X),n_22_2n12E(S),E(S*),n01n

31、o一一其中S*(XiX)，为二阶中心矩。ni1(2)正态总体下的四大分布正态分布设X1,X2,Xn为来自正态思体N(,)的一个样本，M样本函数t分布设X1,X2,Xn为来自正态思体N(,)的一个样本，M样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设X1,X2,Xn为来自正态思体N(,)的一个样本，M样本函数其中2(n1)表示自由度为n-1的2分布。F分布设X1，X2,Xn为来自正态思体N(,1)的一个样本，而y1，y2,yn为来自正态思体n(,2)的一个样本，M样本函数其中F(n11,n21)表示第一自由度为n11,第二自由度为n21的F分布。(3)正态总体下分布的性质X与S2独立。极

32、大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x1,2,m),其中1,2,m为未知参数。又设Xi,X2,Xn为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PXXp(x；1,2,m),则称为样本的似然函数。若似然函数L(X1,X2,Xn；1,2,m)在1,2,m处取到最大值，则称1,2,m分别为1,2,m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估同。若为的极大似然估计，g(X)为单调函数，则g(?)为g()的极大似然估计。(2)估计量的评选标准无偏性设(小,*2,Xn)为未知参数的估计量。右E()=,则称为的无偏估“MoE(X)=E(X),E

33、(S2)=D(X)后效性设11(X1,X,2,Xn)和22(X1,X,2,Xn)是未知参数的两个无偏估计量。若D(1)D(2),则称1比2有效。T性设n是的一串估同，如果对于任意的正数，都有则称n为的一致估沙里(或相合估订里)。若为的无偏估计，且D(?)0(n，则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估同。(3)区间估计置信区问和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本Xi,X,2,Xn出发，找出两个统计里ii(Xi,X,2,Xn)与22(Xi,X,2,Xn)(i2),使得区间1,2】以1(01)的概率包含这个待估参数，即那么称区间1,2为的