构造法在中学数学中的应用

1、构造法在中学数学中的应用杨佳铜(吉林师范大学数学学院2020级1班吉林四平136000)指导教师：付军(教授)摘要：构造法是解决数学问题的一种重要方式，往往能达到化危为易的成效.构造法是一种制造性思维活动，是培育学生创新思维的有效途径,在中学数学教学中有着普遍的应用.本文依照构造法的形式，别离从构造函数，构造方程，构造图形，构造向量，构造数列和构造宣数法等六个方面来讲明构造法在中学教学中的应用.关键词：构造法进展中学应用意义中图分类号：Yangjiadi(Class1Grade2020,CollegeofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin

2、136000)DirectiveTeacher:FuJun(Professor)Abstract：Theconstructionmethodisanimportantmethodofsolvingmathematicalproblemsandusuallycanmaketheproblemseasy.Theconstructionmethodisakindofcreativethinkingactivity,istheeffectiveapproachestocultivatestudents'innovativethinkingandhasawiderangeofapplicatio

3、nsmmiddleschoolmathematics.Accordingtotheformofconstructionmethod,thispaperillustratesitsapplicationinmiddleschoolmathematicswithsixaspects.Theyareconstructor,structureequation,structuregraphs,structurevector,tectonicsequenceandconstructplural.Keywords：ConstructionmethodDevelopmentMiddleschoolApplic

4、ationMeaning一、引言构造法能够说是在数学产生之时便存在了，直至19世纪末直觉主义学派基于数学可信性的考虑，提出了“存在必需是被构造”的闻名观点，第一次提出了“构造法”那个术语并推动了构造法的进展.构造法大致经历了三个时期,第一时期是直觉数学时期:第二时期是算法数学时期，以马尔科夫的算法数学为代表：第三时期是“现代构造数学”时期，以1867年美国数学家比肖泊发表的构造性分析一书为开端.伴随着历史的进展，古今中外有很多闻名的数学家都曾经用构造法成功的解决过数学上的难题，例如欧几里得用构造法巧妙地证明了“素数的个数是无穷的”，欧拉通过构造数学模型成功解决了闻名的哥尼斯保七桥问题，又如我国

5、九章算术中的开方术等等.时至今日，构造法及其应用在数学界仍有着极为重要的地位与作用.构造法是一种制造性的思维方式，它的实质确实是依照题目的结构特点和内在规律，把原问题转化为与之等价的比较简单或易于求解的新问题，使问题柳暗花明、豁然爽朗.灵活的运用构造法需要有丰硕的知识、较强的观看能力和综合运用能力.基于构造法的这种性质，它对培育学生观看问题，分析问题，解决问题的能力有着重要的作用，更能培育学生的制造性思维，开拓思路，加深学生对数学的明白得，体验数学美，激发学生的数学学习爱好，因此构造法在中学数学中有着相当重要的地位与作用.构造法是一种灵活的思维方式，没有固定的模式和方式，在中学数学中经常使用的

6、几种构造法有构造函数法，构造方程法，构造图形法，构造数列法，构造向量法，构造复数法等.二、经常使用的构造法一、构造函数法函数是中学数学的主体内容，能够说是贯穿整个中学时期，函数与中学数学的很多内容都紧密相关，如代数式、方程、不等式和数列等.构造函数法是中学数学中经常使用的一种思想方式,它的实质确实是依照问题的本质特点构造一种新的辅助函数，从而使问题简单化，再依照函数的性质加以解决.这种思想方式能够训练学生的思维，增强学生的思维灵活性、开拓性、制造性和综合运用能力.在中学数学的学习中，咱们常常会碰到一些看似复杂，无从下手的难题，现在咱们假设能看透问题本质，依照题设条件巧妙地构造一个新的函数，常能

7、取得“柳暗花明”“豁然爽朗”的成效.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关犍步骤，大体可分为下面两个步骤:（1）依照题意成立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题：（2）依照需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.例1：试求证,'J-K1+k+M1+闷+网分析：此题用常规的证明不等式的方式来证明会很困难，咱们观看发觉不等式左右两边式子、Y的形式相同，从而咱们能够构造一个一样的函数形式：/（X）=，再利用函数的单调v7+X性来证明.xeO,-Hc).解：构造函数/（X）=亡则“'=77、5（1+X）即函数/（工）=£在概念域内单调递增,又因为|a+4

8、W4+W，因此/(,+)</(同+例)£ a+h-1 +同+网从而命题得证.二、构造方程法方程是数学解题中的一个重要工具，是联系已知量和未知量的桥梁，是整个数学知识体系中必不可少的基石.构造方程法是多种构造法中不可不提及的一种重要的思想方式，它是中学数学中的大体方式之一，简单来讲，构造方程法确实是在解题时依照问题的结构特点和数量关系，找出相等关系，再运用数学符号将这种相等关系转化为方程，使问题中的隐含关系明朗化，再通过解方程使问题迅速获解.灵活的运用构造方程法的关键是要擅长观看、擅长发觉，认真分析，不断提高对数字及数量关系的灵敏度.在运用构造方程法解题时只要能成功建构符合题意的

9、方程或方程组，那么离成功解决问题就只有一步愈甚者是半步之遥了.构造方程法在中学数学中的应用十分普遍，用法超级灵活，咱们在此仅举个别具有代表性的例子加以说明.例2：试问是不是存在周长为6,面积为整数的直角三角形？假设不存在，请给出证明；假设存在，请证明并说明有几个.分析：题目是关于三角形的问题，有着明显的数量关系，咱们能够试着从方程的角度去解决问题.解：如此的直角三角形有且只有一个.设那个直角三角形的两直角边别离为斜边为c,面积为S,a+b+c=6.a+h=6-c那么有，），取得6/2+Z?2=c2c心=188显而易见，泊是方程/一（6办;+（18&）=0的两个实根，因此，A=（6-c4

10、（186c）20解得0之&756.2.4又因为。<。+8=6。，因此c<3因为s=l=9-女是整数，因此女是整数.2又由7.2w3cv9知女=7或女=8当女=7时，5=2,方程组JX"+"）="无解，因此女工7.ab=4，小父什1"切+）=1°俨知5-R.5+77813c=8时，5=I>有'7,解得。=,b=,c=-ab=2333综上，如此的直角三角形有且只有一个.例3：已知竺二=1,求证。-4a分析：这道题用一样的方式，通过放缩也能够解决，可是稍显繁琐，若是能够构造方程来证明，那么一目了然.证明：至j

11、3;=l等价于a-22+2+c=0（aW0）显然那个一元二次方程有实根-=那么有=一4。之0,即之44c3、构造图形法恩格斯曾说“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”.“数”与“形”是数学的大体研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系.我国闻名数学家华罗庚教授也曾说过：”数与形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事非.”当咱们解决较为抽象的代数问题时，能够通过构造图形将它合理转化为几何问题，如此能够增强问题的直观性，使解答事半功倍.构造图形法是指依照题设条件中的数量关系的几何意义，启发思维，构造某种图形，使题设中的数量关系以直观、形象

12、的方式在图形中取得表现,进而利用几何性质解决问题.假假想将构造图形法运用自如,第一咱们要熟悉、把握一些大体的几何构图，然后调整思维视角，观看条件的本质特点再加以合理的联想.巧用构造图形法不仅能够使代数与几何知识彼此渗透，还能够培育学生分析、解决问题的能力，综合运用能力，探讨能力和建模能力，而且对学生制造性思维的开发与培育也大有裨益，使学生在数学学习中获益匪浅.例4：试求J1+Y+14+(4-+,(0«44)的最小值.分析：这道题若是用一样方式解决，很难找到切入点.咱们观看这道“难题”，依照式子的特点构造直角三角形，将问题简化.解：如图1,作AB=4,AC_L4及8OJ_AB,且AC=

13、1,BD=2,P为AB上一动点.设=那么0C=Jl+x?,p0="+(4*)2.假设使V1+x2+4+(4-x)2,(0<x<4)的值最小，只需使得PC+PD的值最小即可.如图2,作C关于AB的对称点C',连接CZ>交A8于P.X14易想AaAC'T-p,从网有匚:2,解得X="那么解得。C+0。的最小值为5,即Jl+x2+j4+(4-x,(O«xW4)的最小值为5.4、构造数列法等差数列、等比数列是中学数学的要紧内容之一，不仅数列本身能够自成题目，有时咱们还能够运用数列解决看似非数列的问题，这种方式即是构造数列法.构造数列法是指

14、在解题时，通过联想，将题设条件和结论联系起来，恰本地构造一个能帮忙解决问题的辅助数列,并利用那个数列的相关性质达到解题的目的.解题的进程包括着多次思维的转化进程，在用从条件到结论的定向性直接思维解题时碰到困难，若是咱们分析问题所提供的信息明白它的本质结构与数列有关，就能够够考虑用构造数列法加以解决，往往能达到意想不到的成效.例5：求方程组,4+打口=5的实数解xy-x=36分析：此题假设用解方程的方式循序渐进的来解会很麻烦，咱们咱们通过构造数列来求解方程.解：因为«+后二1=5,因此有，7,1,后口成等差数列.设此等差数列公差为d,那么有，？=1，/，尸？=+"(、2/-、

15、2将上式代人xy-x=36取得工(了-1)=-d+d=36<2/2>，5yi即-I"2=6,求得c/=±uJ2当”=!时，x=4,y=10；2当”=-_L时，x=9,y=52-y-4ii-9故原方程组的解为4一或I一.y=10y=5例6：求证端+3C；+5C；+(2?+1用；=(a+1)2”分析：咱们能够将等式左侧看做是一个数列的前项和，再运用倒序相加法加以解决.解：设S“=+3C：+5C".+(2h+1片,S”=(27+1)0+5盘+n+£；=伽+1内+5C；T+3C：t+G，两项相加得，珥,=2(/+D6+c+c+c)=2(n+l)-2n

16、因此S”=(+l>2",即问题得证.五、构造向量法向量是高中数学的必修内容之一，它融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是联系代数与几何的桥梁和纽带，是中学数学知识的交汇点，是联系众多知识的媒介.利用向量这一工具解决函数、三角函数、不等式、解析几何、立体几何等类型的题目，能够使问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向''定量”研究，使一些复杂的问题简单化，从而能够简练、巧妙地解决问题.构造向量法是一种新颖、独特的思维方式,灵活自如地运用向量法需要咱们熟悉把握向量的相关知识，对数学知识有全面系统的把握与熟悉，了解什么样的问题能够用构造向量

17、法来解决.构造向量法为中学数学增添了新的活力,为咱们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角，是高层次思维的反映.应用构造法解题能够进展学生思维，提高学生综合运用知识的能力，更能挖掘学生的潜力.例7：如图，在AA8C中，点M是8C中点，AN=2NC,AW与8N的交点是P,求AP.PM的值.分析：在中学数学中咱们常常会用平面向量的知识来解决关于三角形的问题，从而使问题简单化，易于明白得AP=/L4M=-3历一鸡，BP=rBN=2即产岫则BA=BP-AP=(3A+(X+2/)%；又因为丽=反+巨I依照平面向量大体定理，有,"+"=3,解得2+2/=2因此而=金丽7,即AP:PjW=

18、4:1例8：如图，四棱锥。一ABCD中，底而ABCD是平行四边形，NDAB=60,AB=2AD,PDlABCD.(1)证明PA_LP£：（2）若夕。=AO,求二面角A一-C的余弦值.分析：立体几何的问题咱们用一样方式能够解决，可是有时可能比较麻烦乃至是无法解决,若是咱们能成立适合的空间直角坐标系，用向量的方式加以解决，往往易于明白得，思路清楚.解：（1）因为NOA8=60,=由余弦定理得BD=6AD.从而BD2+AD2=AB2故3。_LAO又PO_L底面ABCD，可得5。1PD因此1.平面PAD.因此PA18。.（2）如右图，以。为坐标原点，AO的长为单位长，QA所在直线为x轴成立空

19、间直角坐标系。一型，则A（l,0,0）8（0,疯0）,C卜P（0,0,l）,AB=（-1,73,0）,方=（0,6,一1）BC（-l,0,0）*，设平面PA3的法向量为=（My,z），那么,.一=，iPB=0即卜:因此可令=（6,i,g）5，-z=o'7设平面P3C的法向量为?，那么，m-PB = Om- BC = 0则cos(mji)=S=_”,即二而角A-P3C的余弦值为-里.'/2"77六、构造复数法复数由意大利米兰学者卡当在十六世纪第一次引入，通过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等数学家的工作，复数的概念慢慢为大家所同意.复数是中学数学的重要内容之一，它有很多表示

20、法，如向量表示、三角表示、指数表示等，它的多种表现形式决定了复数应用的普遍性，复数沟通了数学的各个分支.复数在中学数学中与其他内容有着普遍而紧密的联系.复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题能够通过观看、联想转化为复数问题，尽管数的结构会变复杂，但常常会使问题简单化，利用复数的表示形式及其性质能够很容易的解决，正所谓是“退一步开阔天空”.构造复数法是一种独特的数学方式，它具有简练、易懂、令人线人一新的特点.例9：求证Ja？+0_匕)2N2豆，其中a,Z?e(O,l)分析：这是一道表面看起来很复杂的题，乍看之下恍如没有一颔首绪，只要咱们认真观看不难发觉，根号里的式子都是两个数的平方和，令咱们联想到复数的模.证明：令4=4+切，Z2=a+(i-b)i,z3=(-a)+bi,z4=(1-)+(1-/7)/则同=4厂+b-，|z2|=yja2+(1-Z?),|1=+b,|z41=(1-6/)+(1-Z?)因为同+同+同引&+Z2+Z3+4，且+Z?+号+4=|2+2，|=25/5因此上|+卜2|+同+匕|N20l即J+#+(1叫2+("/+(l-«)2+(l-Z?)2>2y/2三、终止语波利亚曾说：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从能够接近它的方向去接近堡垒”.这说