《数项级数教学》ppt课件

1、第一节第一节 数项级数数项级数第一节第一节 数项级数数项级数一一. 数项级数的概念数项级数的概念中学: 无穷等比级数就是无穷级数的一种.12naqaqaqa定义将其各项依次累加所得的式子称为数项无穷级数 nuuu21设有数列 ,21nuuu1nnu项通项问题:如何了解无穷个数相加?变化趋势1. 部分和:nnkknuuuuS 2112. 部分和数列: ,21nSSS3. 收敛:SSnnlim称级数收敛Sunn1nnSSr称为级数余项极限不存在,称级数发散例. 判别级数敛散性:(1). 1+2+3+n+2) 1(321 nnnSn)(n级数发散(2). ) 1(1321211nn111nnun)1

2、11()3121()211 () 1(1321211 nnnnSn111n)( 1n级数收敛=1(3). nnnaqaqaqaaq20q =1时 naSnq =-1时 aaaaSn极限不存在,级数发散级数发散1qqaqaaqaqaqaSnnn 112SqaSqn1, 1|nSq, 1|级数发散总之:, 1|q级数收敛1|q级数发散(4).)11ln(1nnnnnnunln) 1ln(1ln) 1ln( nSn)(n级数发散二二. 数项级数的性质数项级数的性质性质1假设级数 收敛于和 S, k 为常数,那么1nnukSukkunnnn11证nnnkSkukuku 21kSSkkSnnnnnnli

3、mlimlim推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减111)(nnnnnnnSvuvu性质3. 改动有限项不影响级数的敛散性证无妨设去掉前k 项,得级数 nkkkuuu21knknkkknSSuuu 21常数原级数部分和n时,nknS,同时敛散因此,不影响级数的敛散性.例:)3121(212n由于 和 都收敛1231n1221n级数收敛性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变证: 设收敛级数 nuuu21新级数 )()(54321uuuuu ,5221nmSSSSSnnmmlimlim留意: (1). 加括号后所得新级数

4、发散,那么原级数发散.(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.例如: (11)+ (11)+ (11)+.收敛而11+11+11+.发散.性质5.(级数收敛必要条件)假设级数 收敛,那么1nnu0limnnu证:)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS留意:(1). 假设 ,那么级数 发散1nnu0limnnu(2). 时,级数 不一定收敛0limnnu1nnu判别级数发散的第一步骤01limlimnunnn但可以证明级数发散假假设级数收敛,那么0)(lim2SSSSnnn但是,2121212121112 nnnnnSSnn矛盾例如:调和级数 n131211(2)11)1(nnnn1) 1(limlimnnunnnn不存在级数发散例. 判别级数敛散性:(1)11100nnn010011100limlimnnunnn级数发散思索.lim) 1()()()( 3)(2)(.)(,11112101231201111收敛存在则项和为的前记项和为的前记nnnnnnnnnnnnnnnn