方向导数与梯度

1、WOR酷式-专业学习资料-可编辑方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.一、方向导数的定义讨论函数2=/)在一点沿某一方向的变化率问j-学习资料分享设函数z=/(x,y)在点P(x,y)的某一邻域U(尸)内有定义，自点尸引射线人设工轴正向到射线，的转角为q，并设Px+Ar,j+Ay)为I上的另一点且PZU(

2、p).WOR酷式-专业学习资料-可编辑IPP'1=P=；3）2+（回）2,且Az=/（x+Ar,y+Ay）-/（工,7）,考虑名，当P，沿着/趋于P时，Plim+每)一/("")是否存在?夕一0定义函数的增量/(x+Av)-/(x,y)与PP9两点间的距离=、(Ar)2+(回)2之比值,当P'沿着，趋于尸时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点尸沿方向/的方向导数.口4讲v/(%+Ar，y+Ax)一/(占了)记为=limdl。-。p依定义，函数/(x,y)在牌沿着轴正向再=1,0、y轴正向心=0工的方向导数分别为£,人；沿着“轴负向、y轴负向的

3、方向导数是方向导数的几何意义如Wo)=)im/(/+4,盟+即一/(+0，盟)dl小-。o-学习资料分享过直线I x = x0 +I j = j0 + 4y作平行于Z轴的平面乃与曲面z=f(x,y)所交的曲线记为(在泥土考察C就的方向与对应/(/+血典+4)一/(”0)表示C的割线向量及尸与的交角的正切值即KP关于7的斜率当夕fo时即(所+小,加+小)T(%,%)割线转化为切线上式极限存在就意味着当点（所+曲儿+4）趋于点（与,凡）曲线。在点P。有唯一的切线它关于I方向的斜率就是方向导数索0,）UIWOR洛式-专业学习资料-可编辑定理如果函数z=/（x,y）在点P（x,y）是可微分的，那末函数

4、在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有dfdfdf.=-CGS(D+Sill67,dldxdy平其中。为X轴到方向L的转角.证明由于函数可微，则增量可表示为/（"39）寸（”，）二凯+凯+。（。）两边同除以夕，得到/(x+Axy+Ay)-f(x3y)dfdx故有方向导数dlPT。pdfdf.例1求函数2=加2在点pq,0)处沿从点P(1,O)到点。(2,-1)的方向的方向导数这里方就即为尸故”轴到方向的转角中二-:dz dx, 2j=e(1,0)=1*JL.(1,0)所求方向导数dzSy=2xe2y(1,0)-学习资料分享一-1=C8(q)+2sin(q)例2求函数/(x,y) =

5、 x一孙+ ）2在点（L 1）沿与轴方向夹角为a的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解由方向导数的计算公式知更dl= /x(l,l)cosa + / (1,1) sin a(1,1)= (2x-j)(Li)cosa + (2y7)|g)sina,=cosa+sina=<2sin(a+-),rr4冗(1)当a=时，方向导数达到最大值2;4当时，方向导数达到最小值-也(3)当0=孙和。=江时，方向导数等于0.44WOR酷式-专业学习资料-可编辑推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数=y,z),它在空间一点P(x,y,z)沿着方向L

6、的方向导数，可定义为更=lim/(%+，y+Ay*+&)-/(x，y，z)dlp。p'(其中,二，(ArV+CAyy+cG)1)设方向L的方向角为a,yAr=pcosa,Ay=2cosM=pcos/,同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有dl= a +dx或 8s0+ 或 cosy, dy dz-学习资料分享WOR酷式-专业学习资料-可编辑例3设万是曲面2/ + 3V +/ ：=6在点尸(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数1士=(67+8/)2在此处沿方向而的方向z导数.解令尸(号丁遥)=2/+3/+/_6,"I尸=4川尸=4

7、用|尸=6引尸=6,娉|p=2/=2,故而=此，耳,叩=他6,2,n=V42+62+22=2v14,方向余弦为231C°S(X=rj-Z，C°SP=，COSYrV14V14'“4-学习资料分享du8y8dyp4二+8322714?dudzpdudiipJexr+Sy2J14.,dudu-du、=(-cosa+cosp+cos/)dx6vdzdxWOR洛式-专业学习资料-可编辑二、梯度的概念问题：函数在点P沿哪一方向增加的速度最快?定义设函数z=/(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)£。，都可定出一个向量gf+gj,这向量称为

8、函数dxdy2=/(%")在点尸(占7)的梯度，记为gradf(x.y)=雪1+物oxoy设，=cos"+sin/是方向I上的单位向量，由方向导数公式知df dfdx dy红或“+比而夕=匣包.cos仍sin0dldxdydxdy=gradf(x,y)-e=gradf(x,y)cos0,其中e=(gM/(x,y)G)分F函数在某点的梯度是这样一个向量，它的当cos(gradf(x9y),e)=lt次有最大值. gradfx,y)=dx2+m方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为当行不为零时轴到梯度的转角的正切为tan.=在几何上z=/(x,

9、y)表示一个曲面-学习资料分享一-曲面被平面z=c所截得z=f(x,y)z=c所得曲线在xoy面上投影如图gradfx.y)f(x,y)=cyfy)=c2X梯度为等高线上的法向量等高线WOR酷式-专业学习资料-可编辑-学习资料分享等高线的画法例如，函数z=sin孙图形及其等高线图形.一梯度与等高线的关系:函数z=/(x,y)在点P(x,y)的梯度的方向与点尸的等高线八目7)=。在这点的法线的一个方向相同，月从数值较低的等高线指向等值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.此时沿该法线方向的方向导数为前一人了高一"?短=|gra<|>0故应从数值较低的等高

10、线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。WOR酷式-专业学习资料-可编辑-学习资料分享三元函数 =在空间区域G内具有都可定义一个向量（梯度）dfdf梯度的概念可以推广到三元函数k.、第；df；dfgradf(x.y.z)=三】+专1+三dxdydz类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.类似地设曲面=c为函数=/(x,y,Z)的等量面，此函数在点p(x,y,z)的梯度的方向与过点P的等量面/(x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等

11、量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例4求函数u-x1+2y2+3z2+3x-2y在点(1,1,2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得,/xduxdudurgradu(x.y.z)=J+小dxOydz=«2x+3)i+(4j-2j+6*故gradui14,2)=5i+2j+12k.m1在心(-；,0)处梯度为0.WOR酷式-专业学习资料-可编辑例5求函数z=l-(E+&在点(受，与处ab7z.沿曲线M+R=i的内法线方向的方向导数a2b2解一用方向导数计算公式即要求出从X轴正向沿逆时针 转到内法线方向的转角=1两边对X求导2x2ydyn不H-5

12、=0abdx-学习资料分享解得?=_皑dxay故法线斜率为dx八atan。=bt（切线斜率）COS='TO得?=OXdz2xdz 2yh ! !1 i -. 二 一/'dyb2V2b内法线方向的方向余弦为bcosa=)而由z=l-(+)abdz=dxdzcos,dy12(/+/)dzdz=cosa+dldx解一Tirr*用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值，即梯度是函数在这点增长最快的方向从等高线的角度来看，在点P的梯度方向与过点P的等高线f(x=C在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线22若 G

13、vC2=> i-q>i-c22Y2 即A大于椭圆z=/(&)=1-汽+等高线为)=cab221因此AA】在点备，刍处的内法线恰好是梯度方向WOR酷式-专业学习资料-可编辑,&L.1:/uZ、2/Ss、2故/即如=啜）+（加）可微二=二方向导数存在二二二二偏导数存在-学习资料分享一-WOR好式-专业学习资料-可编辑三、小结1、方向导数的概念(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)2、梯度的概念(注意梯度是一个向量)3、方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数/(x,y)在这点增长最快的方向.思考题讨论函数z=/(x,j)=二y在0,0)点处的偏导数是否存在？方向导数是否存

14、在?学习资料分学-一WOR酷式-专业学习资料-可编辑思考题解答dzdx(0,0) -/(Ar,0)-/(0,0)_. lArllull Ar-Ax同理储他。产时卷故两个偏导数均不触沿任意方向，=x,y,z的方向导数，因./(Ar,Ay)-/(O,O)京(。，。)=%p加+(”=1°A/(Ax)2+(Ay)2故沿任意方向的方向导数均存在且相等.练习题、填空题:1、函数Z=X?+y2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+6)的方向的方向导数为.2、设i=x1+2y2+3z2+xy+3x-2y-,则g"(0Q0)=3、，则“沿场的梯度22已知场=t+tt+-abc方向的方向导数是(*，y，z)的梯度有关系4、称向量场。为有势场，是指向却 与某个函数二、求函数-百十,在点（各勺处沿曲线w+4=1在这点的内法线方向的方向导数.ab三、设#都是x,y,z的函