分形理论的发展概况及研究现状

1、科技信息 SCIENCE INFORMATION 2007年 第 15期0. 引言分形理论创始于二十世纪七十年代初期 , 其研究对象为自然界和 现实生活中广泛存在的非规则而具有自相似特性的几何形态 。 所生活 的自然界是丰富多彩的 , 天空中飘浮着的变幻莫测的云团 , 辽阔无际 的地貌 , 海洋上风起云涌时的巨大海浪 , 各种犬牙交错的海岸线 , 以及 身边无处不在的花草 、 树木等等 。 对于这么多的千变万化的不规则的 形态 , 多少年来 , 人们习惯于用传统的欧几里得几何理论来描述 , 主要 是用直线段 、 圆弧 、 平面 、 及曲面等手段来对他们进行分析 。 这种用规 则的几何理论去描述

2、非规则的几何形态所得到的结果应该说是有巨 大差异的 , 有时甚至是不可能的 。 一方面是自然界中无处不在的非规 则几何形体 , 另一方面是很难确切地来描述它 , 这给带来了极大的困 惑 。 分形几何学的创立 , 为准确地描述非规则的几何形态提供了强有 力的工具 。一 、 分形理论的产生和发展分形的发展大致经历了三个阶段 :二 、 分形的基本概念到底什么是分形呢 ? 开始时 , Mandelbrot 把那些 Hausdorff 维数不 是整数的集合称为分形 。 按这个定义 , 某些看来应该是分形成员的 , 例 如著名的 Pcano 曲线 , 就被排除在外 , 于是 Mandelbrot 又修改了

3、原来 的定义 , 说分形是那些局部和整体按某种方式相似的集合 , 这是目前 关于分形定义普遍被接受的说法 。 研究分形 , 似乎如同研究生命一样 , 先弄清楚定义再研究 , 还是在研究 、 发展之中给出科学的定义 , 看来还 是后者更有道理 。到目前为止 , 分形尚无最后的定义 。 对分形的定义 , 可以用生物学 中对 “ 生命 ” 定义的办法 。“ 生命 ” 是很难定义的 , 但却可以给出一系列 生命对象的特征 , 例如繁殖能力 , 运动能力 。 除了有些对象例外 , 大部 分情形都能因此而得到分类 , 于是就不会因为暂时没有严格的定义而 停步不前 。 对分形似乎也宜于给出一系列特征性质 ,

4、 当集合具备这些 性质时就可以认为是分形 ; 当因此而排除掉一些自己的同类时 , 再作 特殊的研究 。 按这种观点 , 称集合 F 是分形 , 是指它具有下面典型的性 质 :(1F 具有精细的结构 , 也就是说 , 在任意小的尺度下 , 它总是有复 杂的细下 ;(2F 是不规整的 , 它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描 述 ;(3F 通常有自相似形式 , 这种自相似可以是近似的或统计意义 的 ;(4 一般地 , F 的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维数 ;(5 在大多数令人感兴趣的情形下 , F 以非常的方法确定 , 可能由 迭代过程产生 。分形是自然形态的几何抽象 , 如同自然界找

5、不到数学上所说的直 线和圆周一样 , 自然界也不存在 “ 真正的分形 ” 。 只要注意到分形包含 一个无穷小尺度的内涵 , 便可以知道自然形态只是停留在一定层次内 可以合理地按分形模型来考虑 。三 、 研究分形的一般方法利用分形方法模拟植物形态结构的方法主要有 L-系统法 、 迭代 函数系统 (IFS 法 、 受限扩散凝聚 (DLA 法 、 粒子系统法等 。1. 迭代函数系统法IFS (Iterated Function System 法 是 分 形 绘 制 的 典 型 方 法 。 它 是 Hutchinson(1981 和 Barnsley(l985 提出并发展起来的一种研究分形的 数学方法

6、 , IFS 的基本思想并不复杂 , 它认定几何对象的全貌与局部 , 在仿射变换的意义下 , 具有自相似结构 。 几何对象的整体被定义以后 , 选定若干仿射变换 , 将整体形态变换到局部 , 并且这一过程可以迭代 地进行下去 , 直到满意的造型 。 其理论依据及应用效果是基于著名的 压缩映射不变集定理和拼帖定理 。 IFS 可以定义为由一组满足一定条 件的映射函数 W i (例如压缩的仿射变换 及一组变换发生的概率 P i , 组 成 :IFS=(W i ,P i |I=1, 2.n, 利用 IFS 生成植物图像的方法是对初始植物 图像按照己知概率选择函数而实施的一种迭代变换 。 迭代函数系统

7、用 很少的数据就能完成图像的模拟 , 在图像压缩方面显示了很大优势 , 也是一个很诱人的研究领域 。 IFS 主要用于分形绘制和图像压缩 。 这方 面的研究主要集中在利用 IFS 码进行图像绘制和求已 (下转第 170页 分形理论的发展概况及研究现状尹玉亮 李培珍 康与云 顾宗磊(临沂师范学院工程学院 山东 临沂 276005摘要 :分形理论创始于二十世纪七十年代初期 , 其研究对象为自然界和现实生活中广泛存在的非规则而具有自相似特性的几何形态 。 本文 对分形理论的产生和发展 , 分形理论的基本概念 , 以及其主要研究方法包括 L-系统法 、 迭代函数系统 (IFS 法 、 受限扩散凝聚 (

8、DLA 法 、 粒子系统 法等做了介绍 , 并对对分形的研究领域及分形未来前景作了展望 。关键词 :分形理论 ; L-系统法 ; 迭代函数系统 (IFS 法 ; 受限扩散凝聚 (DLA 法 ; 粒子系统法 高校讲台 科技信息 SCIENCE INFORMATION 2007年 第 15期 科(上接第 172页 知图像的 IFS 码 , 以及图像压缩 。 2. 受限扩散凝聚法 受限扩散凝聚 (DLA 法是美国科学家 Witten 和 Sander 提出的 , 其 基本方法是 :在一个平面网格上选定一个静止的微粒作为种子 , 然后 在距种子较远的格点上产生一个微粒 , 令微粒沿网格上下左右的方向

9、随机行走 。 如果该微粒在行走过程中与种子相碰 , 就凝聚在种子上 ; 如 果微粒走到边界上 , 就被边界吸收而消失 。 如此重复上述步骤 , 就会以 种子为中心形成一个不断增长的凝聚集团 , 利用 DLA 或其修改的模 型可以对部分植物的形态结构进行计算机模拟 , 如植物根系的生长过 程模拟和海藻类植物的形态结构模拟等 。 DLA 模型主要用于模拟各种 分形生长和凝聚现象 。 3. 粒子系统法 粒子系统法的基本思想是用大量的 、 具有一定生命的粒子图元来 描述自然界不规则的模糊景物 。 每个粒子在任一时刻都具有随机的形 状 、 大小 、 颜色 、 透明度 、 运动方向和运动速度等属性 , 并

10、随时间推移发 生位置 、 形态的变化 。 每个粒子的属性及动力学性质均由一组预先定 义的随机过程来说明 。 粒子在系统内都要经过 “ 产生 ” 、 “ 活动 ” 和 “ 死 亡 ” 这三个具有随机性的阶段 , 在某一时刻所有存活粒子的集合就构 成了粒子系统的模型 。 粒子系统适合用来模拟山 、 水 、 树丛 、 草地等模 糊 、 随机图像 。 4.L-系统 美国植物学家 Arestid Lindenmayer 提出了著名的 L-系统法 , 成为 植物生长建模的主要方法之一 。 L-系统是一种字符串重写系统 , 通过 对植物对象生长过程的经验式概括和抽象 , 构造公理与产生式集 , 生 成字符发

11、展序列 , 表现植物的拓扑结构 。 它以形式化的语言描述植物 的结构和生长 , 在语言的终结符与植物结构对应时 , 由文法生成的句 子代表植物 , 而句子生成的中间过程是植物生长发育的过程 。 最简单 的 L-系统简称为 D0L-系统 , D 表示确定性 , 0表示与上下文无关 。 随 机 L-系统克服了确定性 L-系统只能生成规则分形图形的局限 , 可构 造随机的植物拓扑结构 。 参数化 L-系统使 L-系统能够模拟时延信 息 。 Smith 等人将 L-系统引入到植物模拟的分枝拓扑研究中 , 并称之 为文法构图 (Graftal 方法 。 L-系统法的特点 :它能简洁地描述植物的拓 扑结构

12、 , 例如枝条和花序结构 。 具有定义简单 、 结构化程度高 、 易于实 现等特点 。 综上所述 , 可以看出 :虽然说 IFS 法 、 DLA 法 、 粒子系统法和 L-系 统法都能用来模拟植物的形态结构 , 但是它们各有所长 , 利用 IFS 法 能生成各种植物 , 又能模拟各种山 、 水 、 云等 , 但合适的 IFS 码的选择 是一个令人非常头疼的问题 , IFS 在图像压缩方面具有很大的优势和 广阔的前景 。 DLA 法最适合模拟各种凝聚现象 。 粒子系统法在模拟森林 、 草地等方面具有其无可比拟的优点 。 而 L-系统法无疑是描述植物 拓扑结构的一种简洁 、 有效的方法 。 参考文

13、献1Prusinkiewicz P,Lindenmayer A. “ The Algorithmic beauty of plants ” .科由上 , 可以看到在提取水印的时候我们并没有用到原图像 , 所以 这种检测方法应称为盲检测 。 如果想要得到指示性数据 , 可采用相关 检测法来检测提取出的水印与原始水印的相关性 , 具体公式如下 :D=W×W/" (6其中 , W是检测出的水印 , W 是用于验证 的原水印 。 对于 D 我们 可以设定一个阀值 , 如果检测结果大于这个阀值就说明水印已经被检 测出来了 。4. 实验结果在实验中 , 我们采用的是 256×

14、256的灰度图像 , 如下图 a 所示 , 图 a 中的图片是我们即将加入数字水印的原始图片 , 图 b 中的图片是用 来作为水印的 60×110二值图像 。 将图片 a 和图片 b 作为我们的数字 水印算法的输入 , 将图片 b 作为水印嵌入到图片 a 中 , 生成了图片 c 。 图 c 是加入水印后的图像 。 可以看出 , 如果仅从视觉效果上来看 , 图 a 和图 c 是没有什么区别的 。 由此可知 :水印信号在宿主图像中是不可 见的 。图 d 是在没有任何攻击的情况下 , 从加入水印的图像中提取出来 的水印 。 为检验算法的鲁棒性 , 我们对已加入水印的图像做了一些比 较常见的

15、攻击 , 具体情况和实验结果如下图所示 。 通过图 1与图 2的 实验结果比较 , 我们可以看出 :本文提出的基于视觉模型的数字水印 算法是可行的 。 而且 , 从实验结果来看 , 当某些攻击已经造成图像质量 的严重下降时 , 水印的不可见性和鲁棒性之间的矛盾在这里得到了很 好的调和 , 该算法是有效的 。图 1本文算法的实验结果图 2基于 DCT 的数字水印算法实验结果 图 3加入噪音后的实验结果5. 小结本章通过对 HVS 模型中的两个局部特性 (亮度遮蔽和对比度遮 蔽 地充分利用 , 优化了水印分量在嵌入位置上的嵌入强度 , 使得在保 证了水印的不可见性的前提下 , 最大限度地嵌入水印分量 , 增强了水 印的鲁棒性 。 选取图像作为水印信息 , 使得水印的检测结果更具视觉 效果 。 实验证明 , 该算法简单 , 易行 , 有效 。 参考文献1武兵 . 数字水印技术浅析 . 中国科技信息 , 2006, 11.2翁敏嫦 , 谭兆信 . 数字水