中值定理证明文档良心出品

1、中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,那么对于A与B之间的任意一个数 C,在开区间(a,b)内至少有一点E使得 f( E )=C(a< E <b).Ps:c是介于A、B之间的,结论中的E取开区间.介值定理的推论：设函数 f(x)在闭区间a,b上连续,那么f(x)在a,b上有最大值 M,最小值 m,假设m w Cw M,那么必存在七£ a,b, 使得f( E尸C.(闭区间上的连续函数必取得介于 最大值M与最小值m之间的任何值.此条推论运用较多)Ps：当题目中提到某个函数f

2、(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续,那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值,必存在一个变量使得该值等于变量处函数值.2、 零点定理：设函数 f(x)在闭区间a,b上连续且f(a)与f(b)异号,即f(a).f(b)<0,那么在开区 间内至少存在一点E使得 f( )=0.Ps注意条件是闭区间连续,端点函数值异号,结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数 f(x)满足：(1)、在闭区间a,b上连续；(2)、在开区间(a,b)内可导;(3)、在区间端点处函数值相等,即 f(a)=f(b).那么在(a,b

3、)内至少有一点七(<a七<b),使得f'(x)=0;4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：(1)、在闭区间a,b上连续；(2)、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点七(<a七<b),使得f(b)-f(a)=f'(七).(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足(1)、在闭区间a,b上连续；(2)、在开区间(a,b)内可导;(3)、对任一 x(a<x<b),g'(x)w 0, 那么在(a,b)内至少存在一点E ,使得f(b) f(a) f'() g(b) g(a) g'()Ps：

4、对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值.6、积分中值定理：假设函数f(x)在a,b上连续,那么至少存在一点 a,b使得bf (x)dx f ( )(b a) aPs：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立.但是在开区间上也是满足的,下面我们来证实下其在开区间内也成立,即定理变为：假设函数f(x)在a,b上连续,那么至少b存在一点(a, b)使得 f (x)dx f ( )(b a)ax证实：设 F(x) f(x)dx, x a,b a由于f(x)在闭区间上连续,那么 F(x)在闭区间上连续且在开区间上可导(导函数即为 f (x).b3 f(x)dxb a那么对F(x)

5、由拉格朗日中值定理有：(a,b)使得 F'()b a而 F'( ) f()b所以 (a,b)使得 f(x)dx f( )(b a). a在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运 用拉格朗日中值定理来证实下使其在开区间内成立即可.千万不可直接运用,由于 课本给的定理是闭区间.定理运用：21、设f(x)在0,3上连续,在(0,3)内存在二阶导函数,且2f(0)0f(x)dx f(2)f(3)证实：(1)(0,2)使 f ( ) 0)(2)(0,3)使 f''( ) 0证实：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问

6、题就是积分中值定理是针对闭区间的.有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分.具体证实方法在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合. x(1)、令0 f(t)dt F(x),x 0,2那么由题意可知F(x)在0,2上连续,(0,2)内可导.那么对F(x)由拉格朗日中值定理有：(0,2)使F'( ) 土220f出f( )-f(0),(0,2)2(2)、对于证实题而言,特别是真题第一问证实出来的结论,往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证实出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：

7、第二问是要证实存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证实零点问题,如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证实出来了一个等式,如果有f(a)=f(b)=f(c),那么问题就解决了.第一问中已经在(0,2)内找到一点,那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢,有了这 样想法,就得往下寻找了,2 f (0) f (2) f (3),看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证实：f (x)在0,3上连续,那么在2,3上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值, 分别设为M,m;那么 m f (2) M,m f (3) M.从而,m f

8、2-皿 M ,那么由介值定理就有：2c 2,3,使f(c) f f(3)f(0)2f(0) f( )f(c),(0,2),c 2,3那么有罗尔定理可知：1(0, ), f'( l) 0,2( ,c), f'( 2) 0(1. 2)(0,3), f''() 0Ps：此题记得好似是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理, 最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来.2、设 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1.证实：(1)、(0,1)使得f( ) 1(2)、两个不同点、(0,1),使得f'( )

9、f'( ) 1此题第一问较简单,用零点定理证实即可.(1)、首先构造函数:F(x) f(x) x 1,x 0,1F(0)f(0) 11F(1)f(1)1F(0) F(1)1 0由零点定理知：(0,1)使得F( ) 0,即f( ) 1(2)、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用.在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理, 从第二问的结论来看, 也更本不涉及什么积分问题, 证实此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就

10、换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没想法,便无从下手.另外在说一点,在历年证实题中,柯西中值定理考的最少.此题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为 1 (你题目做多了,肯定就知道事实就是这样).并且第一问中0与1之间夹了个 ,如果我们在 0与, 与1上 对f (x)运用拉格朗日中值定理似乎有些线索.写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了：将第一问中 f ()代入即可.f'()f() f(0) 1f'()f(1) f()1(0,)(,1)f'( ) f'( ) 1,(0, )(0,1),( ,1)(0,1)Ps：此题是05年数一的一

11、道真题,第一问是根本问题,送分的,第二问有一定区分度,对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法.做任何题,最重要的不是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下 手.3、设函数f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3.1 1证实：(0,1),(1,1),使得：f'( ) f'( )222 2对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把、 放在两个范围内,不像上一题中直接来

12、个、(0,1),这个分界点1/2的作用是干吗的.很可能也是把1/2当做某一个点就像上一题中的,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是我们的一个想法.那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,f'( ) f'( )22我们把等式变一下：f'( )2 f'( )2 0, f'( )2这个不就是f( ) 1 3关3于 的导数(而且题目中f(1)=1/3,貌似这样有点想法了),此题会不会也像上一题那样,运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢,有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：1 3吗也 1F(x) f(x) -x3,F(0) 0, F(1) 0

13、,F'() 2- 2F(-) 3221F (1) F (R1F'()产2F(-)1 22F'( ) F'( )0刚好证实出来.Ps：此题是近几年数二的一道真题, 只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出发, 如何构造出函数是关键.做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了,如果只给(0,1),那就更难了 得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理.说明真题出的还是很有技巧的.一般设计难一点的中值定理证实,往往得用拉格朗日定理来证实,两个变量,都涉及到导数问题,这是由于拉格朗日中值定理条件要

14、少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用.4.设f(x)在区间Ha,a(a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0(1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式3 a(2)、证实在Ha,a上至少存在一点使得a f''( ) 3 f(x)dxa第一问课本上记住了写出来就行,考的很根底(1)、f (x) f (0) fxf ()x2f'(0) x f ()x21!2!2!(2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来a f''( )2f (x)dxx2dx, f ()此处不能直接拿到积分号外面,由于他不是与a

15、 2关的数.做到这儿,我们想方法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求 方法.题目中说道f(x)有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最小值,往往会接着和介值定理一起运用.所以有：由于f(x)有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为M,m那么对于区间-a,a,m f''(x)M, mx2f''(23 a 2 ama m x dxf''(3a a3 a .m - f(x)dx M a a所以由介值定理有结论成立.)x2 Mx22a 223)x dx M x dx - Ma a 3Ps：此题是以前的一道真题,具体

16、哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用.题目中 说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用.、设 f(x)在0,上连续,且 0 f (x)dx 0, 0 f (x) cosxdx 0.证实：在(0,)内至少存在两个不同点1、2使得f( 1) f( 2) 0此题看似很简洁,但做起来去不容易.结论是证实等式成立且为0 ,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值相等,那么是不是就能有些思路了呢.x令：F(x) ° f (t)dt,x 0, , F(0) F( ) 0°

17、; sin x F (x)dx 0似乎只需在找出一点F(c)=0即可.,如果一切如我们所想,证实也就完成了.f (x) cosxdx ° cosxdF(x) cosx F (x) 0o sin x F (x)dx 0似乎已经找到这个点了.但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用x拉格朗日中值定理来证实其在开区间内成立.构造函数G(x) o sint F(t)dt,x 0,具体的证实步骤和上面涉及到的一样,自己去证.证完后就得到c (0,),使得G'(c) 0,即sinc F(c) 0,所以F(c) 0所以有：F(0) F(c) F( ) 0,c (0,)接下

18、来的证实就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证实了,自己证,关键掌握方法, 思路.Ps：此题是02年左右的数一一道证实题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运 用不熟练,还是不好弄出来.此题中涉及到积分,而且又要证实等式成立且为0,容易想到积分中值定理,以及罗尔定理.但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,只能自己构造函数来证实其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证实直接用,估计一半的分都没了.此题关键的就是寻找这个点C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键点,那得分点也肯定最多了,你不证实这个点,直接套用课本中定理(如果用的话,得分类 讨论了),硬是说C点就成立,

19、那估计一半的分都没了.对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考.下面来讲讲对于证实题中的,函数如何来构造：根本上都是从结论出发, 运用求导或是积分,或是求微分方程,解出来也可.本人自己总结了一些东西,与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数根本方法：一、要证实的等式是一阶导数与原函数之间的关系：般都会构造出g(x) XXX ex或者e x或者xn, n为任意常数1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有ex或者e xf'(x) f (x)可以构造 g(x) f (x) ef'(x) f (x) 0可构造 g(x) f(x) exf

20、 '(x) f (x) 可构造 g(x) f (x) exexg(x)xJt)dtxf (t)dtf (x)这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数af'(x)(f(x) x) 1先将其变形下:f'(x) f (x) 1x左边是导函数与原函数关系可构造:f(x) e x右边可以看成是x' x也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造:- x ,x e 从而要构造的函数就是:g(x) (f (x) x)e x2、如果还涉及到变量X,想想构造xnxf'(x)f (x) 0可构造g(x)f(x) xf(x)2f区可构造g(x) xf(x) x2xf'(

21、x)nf (x) 0可构造 g(x)f (x) xn3、另外还可以解微分方程来构造函数:如 xf(x)f'(x) 0f'(x)f(x)x,In f (x)2ln f 2(x)f2(x) e1 : x2x2e2x C2所以构造函数g(x)f (x) e二、二阶导数与原函数之间关系 构造带有ex或者e xf''(x) f(x)如何构造如下:f''(x)f'(x)f'(x) f(x)对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数(只不过原函数是x _xf'(x)

22、之间关系,从而等式左边可以构造f'(x) e等式右边可以构造 f(x) e总的构造出来函数为：g(x) (f'(x) f (x) ex另：如果这样变形：(f''(x)f'(x) (f'(x) f(x) 0构造函数如下：g(x) (f'(x) f (x) e x,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的.从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了.如果题目给了f'(x) f(x)为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了f'(x) f(x),那么可以考虑第二种构造方法.f''( )

23、3f'( ) 2f ( ) 0先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系f''( ) 2f'( ) f'( ) 2f()f'(x) e 2x f(x) e2x所以构造的函数为：G(x) (f'(x) f(x) e2xf''(x) f(x) 0这个函数确实不好构造,如果用微分方程来求会遇到复数根. 22G(x) f2(x) (f'(x)2 G'(x) 2f'(x) (f''(x) f(x)实际做的时候还得看题目是否给了f'(x)的一些条件,如果在某个开区间内不为0,而构造出来的函数

24、在闭区间端点取值相等,便可用罗而定理来证实.具体来看看题目：1、设f (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f=0,f(1/2)=1证实：,1(1)、存在(一,1),使得 f ()2(2)、存在 (0,),使得f'( ) f ( )1(1)、对一问直接构造函数用零点定理：F(x) f (x) x具体详细步骤就不写了.(2)、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造：f'( ) f( )1先变形f'( ) f( ) 1 f(x) e x x e x构造函数为G(x) (f(x) x) e x另：用微分方程求解法来求出要构造的函数f'( ) 1 f()(f(x) x)' f (x) x ln( f (x) x) x c x c x f (x) x e e C(f (x) x) e x C把常数退换掉之后就是要构造的函数G(x) (f(x) x) e x函数构造出来了,具体步骤自己去做.2、设 f'(x)在a,b上连续,f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0, a f (x)dx 0证实：(1)存在 i,