《拉普拉斯变换》ppt课件

1、第第3单元单元 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 在工程学上的运用. 运用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数 方程，使问题得以处理。在工程学上，拉普拉斯变换的艰苦意义在于：将一个信号从时域 上，转换为复频域s域上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的运用。 3.1.1(3.1.1(义务义务8-1)8-1)拉氏变换的概念拉氏变换的概念设函数f(t)当 0时有定义，而且积分 0)(dtetfst s是一个复参量，在s的某一域内收敛，那么由此积分决议的函数可写为 ) 1 . 2(,)()(0dtetfsFst称 为 的拉普拉斯变换简称拉氏变换或象函数，记为 ，即)(sF)(tf)(

2、tfL)(tfLF(s)又称 为 的拉普拉斯逆变换简称为拉氏逆变换或象原函数，记 即)(tf)(sF)(1sF-L)()(1sFtf-L工程工程8 (3.1) 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念留意：(1) 定义中只要求)(tf在0t时有定义，为讨论的方便以后总假定0t时，0)(tf；即对给定的函数，用单位阶梯函数)(t去乘； (2) 拉氏变换中的参数p可在复数范围内取值，本章只讨论p为实数情形，但所得结论也适用于复数； (3) 求函数)(tf的拉氏变换就是通过广义积分dtetfpFpt)()(0把)(tf转化为)(pF的过程. 解解 根据拉氏变换的定义，有根据拉氏变换的定义，有pepdte

3、dtepFtpTTTptTpt1limlim)()(00L由 该 极 限 知 ，当0p时 ，广 义 积 分 收 敛 ，因此 单 位 阶 梯 函 数)(t的 拉 氏 变 换 为 )0(1)(pptLL0)(0)(dtedteepFetapptatat 这个积分在ap 时收敛，且有 L)(1apapeat. 00)(ptpttdepadtatepFatL)0(20200ppaepadtepaepatptptpt=在物理和工程技术中，经常遇到具有冲击性在物理和工程技术中，经常遇到具有冲击性质的量，即集中在某一瞬间内作用的量，案质的量，即集中在某一瞬间内作用的量，案案例如在机械系统中要研讨在冲击力作用

4、后案例如在机械系统中要研讨在冲击力作用后的运动形状，在线性电路中要研讨它在接受的运动形状，在线性电路中要研讨它在接受脉冲电压后所产生的电流分布等脉冲电压后所产生的电流分布等. 研讨此类问研讨此类问题都会涉及到单位脉冲函数题都会涉及到单位脉冲函数.设电路上的电量为)(tq，则 例 如 ， 在 原 来 电 流 为 0 的 电 路 中 ， 某 一 瞬间（ 设 为0t）进 入 一 单 位 电 量 的 脉 冲 ，求电 路 上 的 电 流)(ti. 0,10,0)(tttq由于电流强度是电量对时间的变化率，即由于电流强度是电量对时间的变化率，即ttqttqdtdqtit)()(lim)(0当0t时，)(t

5、i= 0；当0t时， )1(lim)0()0(lim)0(00ttqtqitt这种形状在通常意义下找不到一个函数去表示上这种形状在通常意义下找不到一个函数去表示上述电路中的电流强度，为此，引入如下广泛意义述电路中的电流强度，为此，引入如下广泛意义下的函数：下的函数：定义定义 设设tttt,00 ,10,0)(并认为当0时，)(t有极限，且称此极限为狄拉克（狄拉克（Dirac）函数）函数，简称函数函数或单位脉冲函数单位脉冲函数，记为)(t，即 )()(lim0tt 函数)(t是一个广义函数， 在通常意义下，)(lim0t是不存在，只有在广义意义下，这个极限才有效. 显然，对任何0，有 1)(li

6、m)(lim)(00dttdttdtt此积分的物理意义是：在0t时刻出现宽度无限小，幅度无限大，面积为 1 的脉冲， 函函数数的的拉拉氏氏变变换换为为 dtedtedtettptptpt0lim1lim)()(0000L11lim11lim11lim0000ppptpepeppe义务义务8-23.1.2 拉氏变换的性质拉氏变换的性质L)()(21tftfL)(1tfL)(2tf )(1pF)(2pF 性性质质 1（线性性质）设、均为常数，且 L)()(11pFtf，L)()(22pFtf则 L)(tfLaeat1a1L 1 a1Late 因为 L1 L)0(1)(ppt， Lateap 1)(

7、ap 故 L)(tf)(1111appappa. 性质性质 2（位移性质）设 L)()(pFtf，则有 L)()(apFtfeat )()()()()(00apFdtetfdtetfetfetapptatat证明：证明：由位移性质可知，)(tf乘以ate的拉氏变换等于其象函数作位移a. 解解 由 L2cos t42pp， 再由位移性质得 L2cos3tet4)3(32pp )3(p； 类 似 地 ， 可 得 ， L2sin3tet4) 3(22p )3(p 性性质质 3（延滞性质）设 L)()(pFtf，则 L)()(pFeatfat )0(a 例例 3 求 L)(at )0(a. 解解 因

8、Lpt1)(，故由延滞性质知，L)0(1)(ppeatap. 性性质质 4（微分性质）L)()(pFtf，且)(tf在), 0( 内可微，则)(tf 的拉氏变换存在，且 L)0()()(fppFtf 推论推论 若 L)()(pFtf，则有 L)0()0()0()()()1(21)(nnnnnffpfppFptf 特别地，当初值0)0()0()0()1(nfff时，有 L)()()(pFptfnn 解解 设ttfsin)(，则 0)0(f， ttfcos)(，)0(f，ttfsin)(2 由微分性质得由微分性质得 L)(tf 2p L)0()0()(fpftf2pL)(tf=2pLsint 又 L)(tf Ltsin22 Lsint 综合以上两式得 Lsin t22p 利用上述结果及ttsin1cos，可得 Lcos t1 L)(sintp Ltsin22p. 性质性质 5 （积分性质） 设 L