量子力学讲义34

1、第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 表示Â把函数u变成 v， Â就是这种变换的算符。为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“”号。但在不会引起误解的地方，也常把“”略去。二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符 其中c1, c2是任意复常数，y1, y2是任意两个波函数。例如：动量算符，单位算符I是线性算符。2、算符相等若两个算符Â、对体系的任何波函数y的运算结果都相同，即，则算符Â和算符相等记为。3、算符之和 若两个算符Â

2、;、对体系的任何波函数y有：，则称为算符之和。 ，4、算符之积 算符Â与之积，记为，定义为y是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即。5、对易关系若，则称Â与不对易。若，则称Â与对易。若算符满足， 则称和反对易。例如：算符x, 不对易证明：(1) (2) 显然二者结果不相等，所以： 因为y是体系的任意波函数，所以 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ，但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ， ， ，写成通式(概括起来)： (1) 其中或量子力学中最基本的对易关系。注意：当Â与对易，与对易，不能推知Â与对易与否。6、

3、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： 不难证明对易括号满足下列代数恒等式：1) 2) 3) ，4) 称为 Jacobi 恒等式。角动量的对易式：(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系角动量算符在直角坐标中的三个分量可表示为 ， （要求会证明） 是角动量算符的定义式。 式中eabg称淡Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下： 其中或证明：或 或 (2)在球坐标系中角动量算符的对易关系 只与q,j 有关，与r 无关，而且只与j 有关。 或 其中，可称为径向动量算符。 (

4、3)角动量升降阶算符(I) 定义，显然有如下性质， 这两个算符不是厄密算符。(II) 对易关系， ，7、逆算符(1). 定义: 设Ây=f, 能够唯一的解出y， 则可定义算符Â之逆Â-1为: (2).性质I: 若算符Â之逆Â-1存在，则, (3).性质II: 若Â,均存在逆算符, 则 8、算符函数设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛 则可定义算符Â的函数F(Â)为: 补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) y与j的“标积” 是指对体系的全部空间坐标进行积分，dt是坐标空间体积元。例如 对于

5、一维粒子： 对于三维粒子：可以证明 9、转置算符 算符Â的转置算符定义为即 式中y和j是两个任意波函数。例如：（证明）可以证明：10、复共轭算符算符Â的复共轭算符Â*就是把Â表达式中的所有量换成其复共轭。但应注意，算符Â的表达式与表象有关。11、厄米共轭算符 算符Â之厄米共轭算符Â+定义为： 或 厄密共轭算符亦可写成： 可以证明: 12、厄米算符 (自共轭算符)(1). 定义： 满足下列关系的算符称为厄米算符. 或 (2). 性质性质 I：两个厄密算符之和仍是厄密算符。性质 II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算

6、符对易。 三、算符的本征方程 如果算符Â作用于函数y的结果，等于某一常数l乘以y，即 (2)那么称l为算符Â的本征值，y为算符Â的属于本征值l的本征函数。方程(2)称为算符Â的本征方程。§2 动量算符和角动量算符一、动量算符 1、动量算符的厄密性（证明）2、动量算符本征方程 ，即采用分离变量法，令：代入动量本征方程 Þ (1)可取任意实数值，即动量算符的本征值组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的，这正是自由粒子的de Broglie波的空间部分波函数。归一化系数的确定 、归一化为 d 函数取，则归一化为函数， (2) （3）一

7、维情况：、箱归一化箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为d函数方法对任何连续谱都适用。二、角动量算符1、角动量算符的形式(1)、直角坐标系它在直角坐标系中的三个分量是： 角动量平方算符 (2)、球坐标利用上述变换关系可以得到在球坐标中的表示式是 只与q,j 有关，与r 无关，而且只与j 有关。2、的本征值和本征函数 为了求出的本征值lz和本征函数y(j)，我们解下列本征方程： Þ 的本征值为： 式中的m习惯上称为磁量子数。 相应本征函数：角动量在空间的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是0,±, ±2, ¼，而不能是其他的值。3、的本征值和本征函数

8、设的本征值为，本征函数为Y(q,j)，本征方程为 在球坐标系中，只与q, j有关，所以，则 (6)令，其中Q(q)只是q的函数，y(j)只是j的函数，由(6)式可得 Þ 的本征值为l(l+1)2，所属的本征函数为Ylm(q,j)， ；Ylm(q,j) 正交归一条件为：说明：(1)、由上面结果可知的本征值为l(l+1)2，所属的本征函数为Ylm(q,j)， ， 显然，只能取一系列离散值，由于l是表征角动量的大小，所以称l为角量子数。(2)、 Ylm(q,j)即是的本征函数，也是的本征函数，其相应的本征值分别为l(l+1)2，m。即球谐函数Ylm(q,j)是的共同本征态 (3)、我们把一

9、个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。的本征值是(2l+1)度简并的。(4)、通常把的态，依次称为态，而把处于这些态的粒子称为粒子。4、平面转子的能量本征值与本征态： 绕z轴转动的平面转子的能量经典表达式为，I为转动惯量，lz为角动量。能量本征方程表为 Þ 的本征值为：相应的本征函数为： ，5、空间转子的能量本征值与本征态： 绕一固定点转动的空间转子的能量经典表达式为，I为转动惯量，l为角动量。Þ 的本征值为：相应的本征函数为：， ；例：证明例：证明在lz本征态Ylm下，

10、§3 厄米算符的本征值与本征函数一、厄米算符的平均值定理I：体系任何状态y下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明）逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明）推论：设Â为厄米算符，则在任意态y之下 二、厄米算符的本征方程1、涨落 涨落定义为证明2、力学量的本征方程若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量A所得结果是唯一确定的，即： 则称这种状态为力学量A的本征态。 或 可把常数记为An，把状态记为yn，于是得： (1)其中An,yn分别称为算符Â的本征值和相应的本征态，式(1)即算符Â的本征方程。定理II：厄米算符的本征值必为实。（证明

11、）三、量子力学中的力学量用线性厄米算符表示1、表示力学量的算符必为线性算符；2、表示力学量的算符必为厄密算符。例1： （为实数）例2： 例3：证明为厄密算符综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。3、力学量算符和力学量之间的关系测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符Â的本征值An（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符Â的本征方程 当体系处于Â的本征态yn时，则每次测量所得结果都是完全确定的，即An。四、厄米算符的本征函数的正交性 1、 正交性的定义如果两函数y1和y2满足关系式，则称y1和y2相互正交。2

12、、定理III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）3、分立谱、连续谱正交归一表示式 (1). 分立谱正交归一条件分别为： 归一化条件 正交性引用dmn称为克朗内克（Kronecker）符号，它具有如下性质： 把(3)与(4)式合写为 (2). 连续谱正交归一条件表示为：(3). 正交归一系满足上式的函数系yn或yl称为正交归一（函数）系4、简并情况如果Â的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：yna，a=1,2,¼, fn满足本征方程： 一般说来，这些函数并不一定正交。但是可以证明由这 fn 个函数可以线性组合成fn 个独立的新函数，它们

13、仍属于本征值An且满足正交归一化条件。 算符Â本征值An简并的本质是：当An确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，Â算符与这些算符两两对易，其本征值与An一起共同确定状态。综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。五、实例 （1）动量本征函数组成正交归一系 当时，即属于动量算符不同本征值的两个本征函数与相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共有的。（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 线性谐振子的能量本征函数 组成正交归一系：

14、（3）角动量本征函数组成正交归一系1. lz 本征函数 角动量算符的本征函数 组成正交归一系： (7)2. 本征函数角动量平方算符属于本征值的本征函数 组成正交归一系： (8) (7)和(8)可合写为 (9)§4 算符与力学量的关系一、力学量的可能值及其几率有两点问题：. 测得每个本征值An的几率是多少？ . 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。1、 力学量算符本征函数组成完备系(1)、函数的完备性有一组函数yn(x) (n=1,2,.)，如果任意函数y (x)可以按这组函数展开：则称这组函数yn(x)是完备的。 (2)、力学量算符的本征函数组成完备系若力学量算符

15、94; 则任意函数y (x)可按yn(x)展开： 量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。2、力学量的可能值和相应几率 由于yn(x)组成完备系，所以体系任一状态y (x)可按其展开： 展开系数an与x无关。（证明）|an|2具有几率的意义，an称为几率振幅。我们知道|y (x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，| c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|an|2则表示A取An的几率。讨论： y (x)是坐标空间的波函数； c(p)是动量空间的波函数；则an则是A空间的波函数，三者完全等价。|y (x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，| c(p)|2表示粒子具有动量p的

16、几率，那末同样，|an|2则表示A取An的几率。证明：当y (x)已归一时，c(p)也是归一的，同样an也是归一的。（证明）量子力学基本假定：任何力学量算符A的本征函数yn(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态y (x)中测量力学量A得到本征值An的几率等于y (x)按yn(x)展开式： 中对应本征函数yn(x)前的系数an的|an|2。分析：(1)、根据态迭加原理，由(1) y1® |a1|2 y2® |a2|2 yn® |a n |2 (2)、根据前面的假设 y1® A1 y2® A2 yn® An (3)、A1® |

17、a1|2 A2® |a2|2 ¼¼ An® |a n |2 3、力学量有确定值的条件推论：当体系处于y (x) 态时，测量力学量A具有确定值的充要条件是y (x)必须是算符Â的一个本征态。二、力学量的平均值在任一态y (x)中测量某力学量A的平均值可写为： 此式等价于以前的平均值公式。（证明）这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的如果波函数未归一化,则 ，三、连续谱的情况 分立谱 连续谱 ： ， 例1、设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，若其状态由波函数描述，求粒子能量的可能取值和相应的几率及其平均值。解： ，（） 的可能取值： 相应

18、几率： 注意： 例2：线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态： 式中yn(x)表示谐振子第n个定态波函数，求(1) 系数a5=？(2) 写出t时刻的波函数；(3) t=0时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值；(4) t= t时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值；解： （1）（2）（3）t=0时， ，能量E可能值：，相应几率w：， （4）t= t时刻谐振子能量的可能值、相应几率、平均值与t=0时刻相同。§5 两力学量同时有确定值的条件 不确定度关系一、两力学量同时有确定值的条件当在y态中测量力学量A和B时，如果同时具有确定值，那么y必是二力学量共同本征函数。

19、二、两算符对易的物理含义定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。（证明）逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。（仅考虑非简并情况）（证明）定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。例 1：动量算符：两两对易，共同完备本征函数系： 同量有确定值：例2：定轴转子：，相互对易共同完备本征函数系： 同量有确定值： ， 例 3：定间转子：，两两对易共同完备本征函数系： 同量有确定值： ， 小结：两个力学量同时有确定值的条件(1)、(2)、体系恰好处在其共同本征态上。三、力学量完全集合1、定义：为完全确定状态所需要的一

20、组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 设有一组彼此对易，且函数独立的厄米算符Â(Â1,Â2, .)，它们的共同本征函数记为yk，k是一组量子数的笼统记号。设给定k之后就能够确定体系的一个可能状态，则称(Â1,Â2, .)构成体系的一组力学量完全集。例 1：三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：例 2：一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：2、力学量完全集中力学量的个数并不一定等于自由度的数目。一般说来，力学量完全集中力学量的个数³体系的自由度数目。3、体系的任何态总可以用包含在内的

21、一组力学量完全集的共同本征态来展开。四、测不准(不确定度)关系的严格证明不确定度：测量值An与平均值的偏差的大小。1、测不准关系的严格证明（证明） (3)其中均方偏差或简记为 (4)这就是任意两个力学量A与B在任意量子态下的涨落必须满足的关系式，即不确定度关系。 由式(4)可以看出，若两个力学量A与B不对易，则一般说来DA与DB不能同时为零，即A与B不能同时测定，或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符Â与对易，则可以找出这样的态，使DA=0与DB=0同时满足，即可以找出它们的共同本征态。2、坐标和动量的测不准关系(1)、测不准关系 简记之： ， 表明：坐标与动量的均方偏差不

22、能同时为零，其一越小，另一就越大。这说明Dx与Dpx不能同时为零，x的均方偏差愈小，则与它共轭的动量px的均方偏差愈大。 x有确定值，Dx =0，Dpx ®¥ (2)、利用测不准关系求线性谐振子的零点能3、角动量的测不准关系 当体系处于本征态Ylm 当Ylm为Y00时，m=0 （） 同时有确定的本征值lx、ly例1：利用测不准关系证明，在本征态Ylm下，（证明）例2： 共同本征态Ylm下，求测不准关系：综上所述，量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来表达，其含义包括下列几方面：(a) 实验上观测A的可能值，必为算符Â的某一本征值；(b) 在量子态y之下，力学量A

23、的平均值由下式确定， (c) 力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反映出来。§6 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为m的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：，与经典力学中一样，角动量也是守恒量，即 ；构成力学量完全集，存在共同本征态；定态薛定谔(能量本征方程)：上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。取y为共同本征态，即：是共同本征态：，分离变量：径向方程可写为：， (1)为求解径向方程，引入变换：；径向方程简化为： (2)不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或cl(r)，它们由中心势V(r)的性质决定

24、。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l+1重简并的。在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数nr， 二、 径向波函数在r®0邻域的渐近行为：假定V(r)满足：薛定谔方程在邻域表示为：； (3)在正则奇点r=0邻域，设，代入(3)式，得：；Þ解出：，或，即当r®0时,或根据波函数平方可积条件，因此要求：r®0时，的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解满足 三、两体问题化为单体问题两个质量分别为m1和m2的粒

25、子，相互作用只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为： (5)ET为体系的总能量。引入质心坐标和相对坐标 可以证明 其中体系的总质量，约化质量或折合质量 ，（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商）二粒子体系的能量本征方程(5)化为： (6)此方程可分离变量，令代入(6)式，得 (7) (8)式(7)描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动，就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。式(8)描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m理解为

26、约化质量，E理解为相对运动能量。§7 氢原子氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）这是一个两体问题。按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程： (1)及边条件 式中m为电子的约化质量，me和mp分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在计算过程中令，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。 (1)r=0,¥是微分方程的两个奇点。r®0时，；，或只有®0是满足要求的，所以r®0，r®¥时，考虑束缚态，E<

27、;0，考虑到平方可积性，；试探解为：，代入径向薛定谔方程，并化简：变量变换：，得到：（合流超几何方程）即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式：，参数：，；解的一般形式：， n®¥时，无穷级数解：发散（可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，即可满足中断条件；即：， ，即：，；一、氢原子的能级氢原子的能量本征值：， (2)玻尔半径：，主量子数：n，二、氢原子的波函数与En相应的径向波函数可表示为 归一化的径向波函数为，氢原子的束缚态能量本征函数为 ；。 定态波函数是氢原子体系、和的共同本征函数。 能级简并度 电子的能级只与主

28、量子数有关，而波函数却与三个量子数，有关，因此能级是简并的（除外）。给定，可能共个；给定，可取共个。因此，对应于第个能级的波函数就有 个，也就是说，电子的第个能级是度简并的。例1、设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方、角动量分量的可能值及其几率，并求其平均值。三、氢原子核外电子的几率分布当氢原子处于ynlm态时，在点周围的体积元内发现电子的几率为 人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云”1、在(r, r+dr)球壳中找到电子的几率径向分布 即，称为径向几率密度或径向分布函数。使取最大值的半径称为最可几半径。 例子： 氢原子处于基态，求最可几半径。 解： 令 经检验时为最大值

29、所以是最可几半径讨论：<1>、旧量子论与量子力学（关于描述氢原子核外电子分布问题的区别和联系）不同之处：电子在核外作轨道运动 由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子 核外电子是以几率 分布的形式出现。联系之处：当氢原子处于1s ,2p,3d,¼ 态时，旧量子论认为电子运动的轨道半径分别为，而量子力学计算的结果表明，当r分别为a, 4a, 9a时找到电子的几率最大。对于l¹n-1态很难找到相似之处。<2>、氢原子的第一玻尔轨道半径，从量子力学几率分布的观点解释a的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比较： 当氢原子处于1s态时，在r=a处找到

30、电子的几率最大，在r<a和r>a的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。而玻尔的旧量子论却认为当氢原子处于1s态时，核外电子绕原子核作轨道运动，其轨道半径为a。显然这两种图象是截然不同的。2、在方向的立体角中找到电子的几率角向分布 角向几率分布 可见，角分布与j无关，即几率分布对z轴是旋转对称的。四、类氢离子 以上结果对于类氢离子（He+，Li+，Be+等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e换为+Ze（Z是核所带正电荷数），而m换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为 ，§8 力学量随时间的演化一、力学量平均值随时间的变化 在波函数y所描写

31、的态中，力学量A的平均值为 (1)因为y是时间的函数Â也可能显含时间，所以通常是时间t的函数。为了求出随时间的变化，(1)式两边对t求导 (2)由薛定谔方程，Þ 因为是厄密算符 (3) 这就是力学量平均值随时间变化的公式。若Â不显含t，即，则有 (4)二、守恒量 如果Â既不显含时间，又与对易（Â, =0），则由上式有 (5)即这种力学量在任何态y之下的平均值都不随时间改变。证明：在任意态y下A的概率分布也不随时间改变。概括起来讲，对于Hamilton量不含时的量子体系，如果力学量A与对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测

32、量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系的一个守恒量。即A的平均值不随时间改变，我们称满足(5)式的力学量A为运动恒量或守恒量。守恒量有两个特点：(1). 在任何态y(t)之下的平均值都不随时间改变； (2). 在任意态y(t)下A的概率分布不随时间改变。 应当强调，量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不尽相同。这实质上是不确定度关系的反映。(a) 与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初条件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量A具有确定值，则以后任何时刻它都具有

33、确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。但是，若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即y(0)并非Â的本征态，则以后的状态也不是Â的本征态，即A也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。(b) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守性，但由于不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l=0的态除外）三、举例1、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符，所以自由粒子的动量是守恒量。2、 粒子在中心力场中运动：角动量守恒 皆不显含时间，又，

34、所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量都是守恒量。3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。一、坐标表象波函数y(x,t) 1、y(x,t)2、表示体系处在y(x,t)所描述的态中，在x®x+dx范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在y(x,t)所描述的态中，测量坐标x这个力学量所得值在x®x+dx这个范围内的几率。3、4、动量为的自由粒子的本征函数 5、x在坐标表象中对应于本征值的本征函数，即

35、，二、动量表象波函数动量本征函数：组成完备系，任一状态y可按其展开 (1)展开系数 (2)y(x,t)与c(p,t)互为Fourier（付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。认为c(p,t)和y(x,t)描述同一个状态。y(x,t)是这个状态在坐标表象中的波函数，c(p,t)是同一个状态在动量表象中的波函数。1、 状态波函数2、表示体系处在c(p,t)所描述的态中测量动量这个力学量p所得结果为p®p+dp范围内的几率。3、命题：假设y(x,t)是归一化波函数，则c(p,t)也是归一。(在第一章中已经证明)4、的本征函数（具有确定动量的自由粒子的态）若y(x,t)描写的态是具

36、有确定动量 p'的自由粒子态，即：则相应动量表象中的波函数： 所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p为变量的d函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个d函数。三、力学量表象问题：那末，在任一力学量F表象中，y(x,t)所描写的态又如何表示呢？1、分立谱的情况 设算符的本征值为： F1, F 2, ., F n,.， 相应本征函数为：y1(x), y 2(x),., yn(x),.。将y(x,t)按的本征函数展开： 若y(x,t), u n(x)都是归一化的，则an(t)也是归一化的。(在第三章中已经证明)由此可知，| an| 2 表示在y(x,t)所

37、描述的状态中测量F得Fn的几率。 展开系数组成的数列与y(x,t)是一一对应关系， an(t)与y(x,t)描述体系的同一个态，y(x,t)是这一状态在坐标表象中的表示，而数列an(t)是这同一状态在F表象中的表示。我们可以把数列an(t)写成列矩阵的形式，用yF标记：(1)、体系态 列矩阵为y(x,t)所描写的态在F表象中的表示并把矩阵yF称为y(x,t)所描写的状态在F表象中的波函数。yF的共轭矩阵是一个行矩阵，用y+F标记 (2)、| an| 2 表示在y(x,t)所描述的状态中测量F得Fn的几率。(3)、若y(x,t)已归一化，则有。若用矩阵表示(4)、本征值为的本征函数。 （ 第为1

38、，其余为零）2、连续谱的情况 f 连续矩阵（一般用表示即可）(1) (2) 在所描述的态中，测量力学量f，所得结果为f®f+df的几率 (3) 综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。所取表象不同，波函数的形式也不同。我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。下面举个例子说明。例：分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无限深势阱中基态粒子的波函数。四、Hilbert（希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间 同一个态在不同表象中有不同的表述方式 量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。在量子力学

39、中，我们可以建立一个n维（n可以是无穷大）空间，把波函数y看成是这个空间中的一个矢量，称为态矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。 F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。§2 力学量算符的矩阵表示一、矩阵简介1、 定义 方阵：行数与列数相等的矩阵。2、两矩阵相等 （行列数相等）3、两矩阵相加 （行列数相等）4、两矩阵相乘 （ 一个l列的矩阵A与一个l行的矩阵B相乘） A B C(1) 称A、B矩阵

40、相互不对易； 称A、B矩阵相互对易（2）(3) (4) ，但B=C不一定成立 (5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立 (6) A2=0，但A=0不一定成立5、对角矩阵 除对角元外其余为零6、单位矩阵 即 单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转置矩阵。 m列n行n列m行 共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数8、厄密矩阵： 如果，则称A矩阵为厄密矩阵（如果一个矩阵A和它的共轭矩阵相等）例如，则 二、F表象中的算符表示 设量子态y经过算符运算后变成另一个态f A、分立谱的情况在以力学

41、量完全集F的本征态yk为基矢的表象（F表象）中，上式表成 (1)以左乘上式两边并对x积分，积分范围是x变化的整个区域得 (2)式中,将(2)表成矩阵的形式则为 (3)式(3)即式(1)在F表象中的矩阵表示，左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数f和波函数y在F表象中的矩阵表示，而矩阵即算符在F表象中的表示。它的第n列元素 用表示这个矩阵，表示左边的一列矩阵，表示右边的列矩阵，则(3)为 讨论：F表象中力学量算符的性质1、力学量算符在自身表象中的形式 若，则 结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。（要会证明）2、力学量算符用厄密矩阵表示 即L矩阵的第m列第n行的矩阵元等于第n列第m行矩阵元的共