江苏省南通市2015届高三第三次调研测试数学试题（解析版）

1、南通市2015届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合A=3，m，B=3m，3，且A=B，则实数m的值是 【答案】0 考查集合相等的概念，集合的性质.2已知复数z=(i为虚数单位)，则z的实部为 【答案】3考查复数及模的概念与复数的运算，考查运算求解的能力.3已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是 【答案】-3考查简单的线性规划（第5题）开始输入xy5x<4yx2-2x+2输出y结束YN（第4题）时间（小时）频率组距0.0040.0080.0120.016050751001251504

2、为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50，150中，其频率分布直方图如图所示已知在中的频数为100，则n的值为 【答案】1000考查简单统计知识，直方图，频率、 5在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 【答案】-4考查算法流程图、简单的不等式运算，考查阅读图表的能力和计算能力.6从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 【答案】考查概率的基本概念及古典概型的基本计算方法.7在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 【答案】考查双曲线、抛物线的

3、标准方程及几何性质点到直线之间的距离公式 8在等差数列an中，若an+an+2=4n+6（nN*），则该数列的通项公式an= 【答案】2n+1考查等差数列，数列的通项公式，考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力9给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“coscos”的必要不充分条件；“a=0”是“函数f(x) = x3+ax2（xR）为奇函数”的充要条件其中正确命题的序号为 【答案】考查命题的概念，充要条件，指数函数，三角函数的性质，函数的奇偶性，考查学生分析问题解决问题的能力 10已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几

4、何体的体积V= cm3（第10题）ABCDEF（第11题）P【答案】空间几何体，几何体的展开图，棱柱、棱锥的体积11如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F若P为劣弧上的动点，则的最小值为 【答案】考查向量的概念，向量的数量积，向量的坐标运算知识，建系等 法一：设P(cos，sin)，0，D(0，2)，C(2，2)，则·(cos，2sin)·(2cos，2sin)52cos4sin52sin(+)52 法二：设PAB，·()·()2·4·+1 52cos4sin(下同一)·

5、 法三：设P(x，y)，则x2+y21，·(x，2y)·(2x，2y)52 x4y， 因为(x+2y)2(1+22)(x2+y2)5，所以，·5212已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 【答案】（-5，0）考查函数与方程、函数性质、分段函数、递推关系等基础知识. 考查数形结合和分类讨论的思想方法，考查抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力解:因为2x3+3x2+m在区间0,1上是增函数，所以mx+5在区间(1，)函数， f(1)0，f(0)0，得(5,0)13在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2

6、-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为 【答案】3或-2考查圆与直线的位置关系，直线方程，直线的斜率等知识，考查数形结合，式的恒等变换等数学思想方法提示：由条件，得，所以，点(1,0)在直线PC上，其中C是圆心由些可得a=3，或2又解：，两式相减由得代入上式又代入上式，得，求解后，检验。14已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 【答案】1，考查不等式的概念，基本不等式，求最值的取值范围 解法一：令xy=t，则x=，代入x+3y+10，得所以，10=，解得1t当时，得y=当t=1时，y=1，x=1；当t=时，y=，x=2 所以，1t

7、为所求 法二：提示由(1)可得(1+)x210x+2+3t=0，由1004(1+)(2+3t)0，得1t，以下同一二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤ABCDA1B1C1（第15题）E15（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1CAB，侧面BCC1B1为菱形（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE平面ABC1解：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1CBC12分ABCDA1B1C1（第15题答图）EF又B1CAB，且AB

8、，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C平面ABC1 5分因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1平面BCC1B1 7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE又D为A1C1的中点，故DFAC1，EFAB因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF面ABC1 10分同理，EF面ABC1因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF面ABC112分因DE平面DEF，故DE面ABC114分xyO2-2（第16题）16（本小题满分14分）已知函数（其中A，为常数，且A0，0，）的部分图象如图所示（1）求函数f(x)的解析式； （2）若，求的值解：（1）由图可知，A=2，2分T=，

9、故，所以，f(x) =4分又，且，故于是，f(x) =7分（2）由，得9分所以，12分=14分17（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(ab0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，)（1）求椭圆的方程及离心率； （2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4 yxOF1F2BC（第17题）D求k1k2的值；求OB2+OC2的值解：（1）方法一依题意，c=，a2=b2+3，2分由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，从而a2=4故所求椭圆方程为：

10、离心率e=5分方法二由椭圆的定义知，2a=4，即a=22分又因c=，故b2=1下略（2）设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，于是k1k2=8分方法一由知，k3k4=k1k2=，故x1x2=所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2=，所以，=411分又2=，故所以，OB2+OC2 =514分方法二由知，k3k4=k1k2=将直线y=k3x方程代入椭圆中，得9分同理，所以，=411分下同方法一18（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场规划设计如图：内接梯形ABCD区域为

11、运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CDAB；OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 mABCDPQ（第18题）O（1）试确定A，B的位置，使OAB的周长最大？（2）当OAB的周长最大时，设DOC=，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值解：（1）设，在中，即，2分所以，4分所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时周长取得最大值ABCDPQ（第18题答图）OEF答：当都为50 m时，的周长最大6分（2）当AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形过作OFCD交CD于F，交AB于E，则分别为AB，CD的

12、中点，所以，由，得8分在中，又在中，故10分所以，=，12分（一直没有交代范围扣2分）令，又y=及y=在上均为单调递减函数，故在上为单调递减函数因0，故0在上恒成立，于是，在上为单调递增函数 14分所以当时，有最大值，此时S有最大值为答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为 m216分19（本小题满分16分）已知数列an，bn中，a1=1，nN*，数列bn的前n项和为Sn（1）若，求Sn；（2）是否存在等比数列an，使对任意nN*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a1a2an，求证：0Sn2解：（1）当an=时，bn=2分所以，Sn=4分（2）满足

13、条件的数列an存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=证明：在中，令n=1，得b3=b1设an=，则bn=6分由b3=b1，得若q=，则bn=0，满足题设条件此时an=1和an=8分若q，则，即q2 =1，矛盾综上，满足条件的数列an存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=10分（3）因1=a1a2an，故，01，于是01所以，0，n=1，2，3，所以，Sn=b1+b2+bn013分又，=故，Sn=b1+b2+bn=2所以，0Sn216分20（本小题满分16分）已知函数（aR）（1）若a=2，求函数在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；

14、（3）若有两零点x1，x2(x1x2)，求证：2x1+x2-1解：（1）由题设，=，故在(1，e2)上单调递减2分所以在(1，e2)上至多只有一个零点又0，故函数在(1，e2)上只有一个零点4分（2）=，令=0，得x=1当x1时，0，在上单调递减；当0x1时，0，在(0，1)上单调递增，故=f(1)=a-16分当=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设；8分当0，即a1时，f(x)0恒成立，不合题设；当0，即a1时，一方面，1，0；另一方面，1，2a-ea0(易证：exex)，于是，f(x)有两零点，不合题设综上，a的取值集合为110分（3）证：先证x1+x22依题设，有a=，于是记=t，

15、t1，则，故于是，x1+x2=x1(t+1)=，x1+x2-2=记函数g(x)=，x1因0，故g(x)在上单调递增于是，t1时，g(t)g(1)=0又lnt0，所以，x1+x2213分再证x1+x2-1因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h(x)的两零点由=a-1-lnx=0，得x=(记p=)仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有 作函数h(x)=，则0，故h(x)单调递增故，当xp时，h(x)h(p)=0；当0xp时，h(x)0于是，ax1-1=x1lnx1整理，得0，即，0同理，0 故，于是，综上，2x1+x2-116分21【选做题】本题包括A、B、C、D

16、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）CABOP（第21（A）题）H如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AHPB于H求证：PA·AH=PC·HB证：连AC，AB因BC为圆O的直径，故ACAB又AHPB，故AH2=CH·HB，即5分CABOP（第21（A）题答图）H因PA为圆O的切线，故PAC=B在RtABC中，B+ACB=90°在RtACH中，CAH+ACB=90°所以，HAC

17、=B所以，PAC=CAH，所以，即所以，即PA·AH=PC·HB10分B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，求的面积解：因，即6分故10分C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r0）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值解：由，得，即直线l的方程为3分由得曲线的普通方程为，圆心坐标为，6分所

18、以，圆心到直线的距离，由，则10分D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：证：因abcd，故a-b0，b-c0，c-d0 故，6分所以，10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出ABCDA1B1C1D1（第22题） 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，（1）求与面所成角的正弦值；（2）点在侧棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值为，求的值解：（1）以为原点，DA，DC，DD1分别为轴，轴，轴，ABCDA1B1C1D1（第22题答图）xyz建

19、立如图所示空间直角坐标系D-xyz设，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2） 2分（1）设与面所成角的大小为，设平面的法向量为n=（x，y，z），则，即令，则，所以，所以与平面所成角的正弦值为6分（2）设E(1，0，)，02设平面的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面的法向量为n2=（x2，y2，z2），由，得，令，则，由，得，令z2=1，则x2=2，y2=-2，所以，得所以10分23（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程n次后，袋中白球