复变函数第二章答案

1、第二章解析函数1.用导数定义，求下列函数的导数：1 1)f(x)zRez.解：因f (zlim 一z 03 N z) zRezlzm0zRe z zRez zRe zlim(Re zzRe z、Re z z)lim(Re zz 0Re z、z)zlim(Re zx 0y 0z),x i y当z0时，上述极限不存在，故导数不存在；当z0时，上述极限为0,故导数为0.2 .下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？(1) f(z)zz2.解：-2-2f(z)zzzzz|z|z22(xy)(xiy)2222x(xy)iy(xy),这里u(x,y)x(x2y2),v(x,y)y(x2y2)

2、.22c222c2Uxxy2x,Vyxy2y,Uy2xy,Vx2xy.要UxVy,UyVx,当且当xy0,而Ux,Uy,Vx,Vy均连续，故fZz2.仅在z0处可导，处处不解析.2 2)f(z)x33xy2i(3x2yy3).解：这里u(x,y)x33xy2,v(x,y)3x2yy3.ux3x23y2,22Uy6xy,Vx6xy,Vy3x3y,四个偏导数均连续且UxVy，UyVx处处成立，故f(z)在整个复平面上处处可导也处处解析.3 .确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数.(1)azb(c,d至少有一不为零).czd解：当c0时，f(z)空除zg外在复平面上处处解析，z。为奇点,czdc

3、cazbf(z)(一)czd(azb)(czd)(czd)(azb)(czd) .(cz d)a(czd)c(azb)adcb(czd)2u x u y则可推出u u 0,即uC (常数).故f(z)必为D中常数.当c0时，显然有d0,故f(z)azb在复平面上处处解析，且f(z)与dd4.若函数f(z)在区域D内解析，并满足下列条件之一，试证f(z)必为常数.f(z)在区域D内解析；vu2；(3) argf(z)在D内为常数；(4) aubvc(a,b,c为不全为零的实常数).证(1)因为f(z)在D中解析，所以?f足CR条件uvuv,xyyx又而uiv也在D中解析也满足CR条件u(v)u(

4、v),.xyyx从而应有上0恒成立，故在D中u,v为常数，f(z)为常数.xyxy(2)因f(z)在D中解析且有f(z)uiu2,由CR条件，有u2u,yu2ux(v/u)(v/u)(3)设f(z)uiv,由条件知arctanvC,从而x一20,y-20,u1(v/u)1(v/u)计算得2/ v u 2 u (uv) /u0,u 、/ 2 一 v)/ u_y2v0,化简，利用CR条件得0,0.u-ux所以上 x数.0,同理-v0,即在D中u,v为常数，故f(z)在D中为常xy法一：设a0,则u(cbv)/a,求导得ubvubv,xaxyay由CR条件ubuvbv,xayxay故u,v必为常数，

5、即f(z)在D中为常数.设a0,b0,c0则bvc,知v为常数，又由CR条件知u也必为常数，所以f(z)在D中为常数.法二：等式两边对x,y求偏导得：auxbvx0,由CR条件，我们有auybvy0auxbuy0即ab川0buxauy0,bauy'而a2b20,故uxuy0,从而u为常数，即有f(z)在D中为常数.225.设f(z)在区域D内解析，试证：(1)|f(z)|241f(z)|2.xy证：设f(z) uiv,I f(z)|2f (z) x，1f12u)2 x(-)2.y而2( x2 2-)I f(z)|2 y2-(u2 xv2)2(u yv2)u)2 x2uu 2x2v vx

6、(寸2uu 2yv 2(一)2y2v v y又f (z)解析,则实部u及虚部v均为调和函数.故2Vu u x0,Vv2v2 x0.2-)I f(z) I2 y4(-)2x(-)2)y4| f (z) |2.6.由下列条件求解解析函数f (z) uiv.2.2、u(xy)(x4xyy);解：因上-3x26xy3y2,所以xy22、.v(3x6xy3y)dy3x2y3xy2y3(x),又-v6xy3y2(x)，而-u3x26xy3y2,所以(x)3x2,则xx(x)x3C.故f(z)uiv(xy)(x24xyy2)i(3x2y3xy2y3x3C)2222(1i)x2(xiy)y2(1i)(xiy)

7、2x2y(1i)2xy2(1i)Ciz(1i)(x2y2)2xyiiz(1i)Ci(1i)z(x2y22xyi)Ci(1i)z3Civ2xy3x;解：因2y3,2x5f(z)解析，有xyuv-,2,、2x,u2xdxx(y).xy又-u2y3,而-u(y),所以(y)2y3,则(y)y23yC.yxy故f(z)x2y23yCi(2xy3x).u2(x1)y,f(2)i;解：因-u2y,2(x1),由f(z)的解析性，有2(x1),xyxy2v2(x1)dx(x1)2(y),又二上2y,而(y),所以(y)2y,(y)y2C,则yxyv(x1)2y2C,故f(z)2(x1)yi(x1)2y2C)

8、,由f(2)i得f(2)i(1C)i,推出C0.即_22_f(z)2(x1)yi(yx2x1)i(z22z1)i(z1)2.7.设vepxsiny,求p的值使v为调和函数，并求出解析函数f(z)uiv.解：要使v(x,y)为调和函数，则有vvxxvyy0.即2px.pxpesinyesiny0,vx .所以p1时,v为调和函数，要使f(z)解析，则有Uxvy,uy,、,px,1px,、u(x,y)uxdxecosydxecosy(y),p1,uyesiny(y)pesiny.p所以(y)(1p)epxsiny,(y)(p-)epxcosyC.PP即u(x,y)pepxcosyC,故xze(cosyisiny)CeC,p1,f(z)xze(cosyisiny)CeC,p1.8.试解方程：(1)ez1后；解:z一七2k)e13i2(cosisin)2e333ln2i(2k_)e3,k0,1,2.故z ln2 i(2k(2) lnz f3), k 0, 1, 2.解：Ln( 3 4i) ln5iArg ( 3 4i)ln5 i(2k,4、 arctan-).-i解：ze Ln( 3 4i);cosisini.229.求下列各式的值。cosi;i(i)i(i)解cosi2(1i)T解：(1ie(1i)Ln(1i)(1i)In.2i(72k)4eln.2_2kiI