椭圆经典解题思路

1、.专业.专注.椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆mx2 +3y2 6m =0的一个焦点为(0, 2)求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程 ，由c = 2,根据关系a2 = b2+c2可求出m的值.22解：方程变形为 ±+-y-=1.因为焦点在y轴上，所以2mA6,解得m>3.6 2m又 c=2,所以 2m-6=22, m=5 适合.故 m=5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0), a=3b,求椭圆的标准方程分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法22求出参数a和b (或a和b)的值，即可求得椭圆的标准方程22解：当焦点在x轴上

2、时，设其方程为x-+-=1(a>b>0 ).a2b22，yj-90.oo由椭圆过点P(3,0 ),知f+f=1.又a=3b,代入得b2 =1 , a2 =9,故椭圆的方程为 a b22当焦点在y轴上时，设其方程为 4 + 22=1(aAb>0 ). a b90. 22由椭圆过点P(3,0),知 一十0=1.又a = 3b,联立解得a2=81, b2=9,故椭圆的方程为 a b22y x十=1 .819例3 AABC的底边BC=16, AC和AB两边上中线长之和为 30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点 A的轨迹.分析：(1)由已知可得 GC+GB=20,再利用椭圆定义求解.(2

3、)由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.解：(1)以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为(x, y ),由GC +GB=20,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a=10, c = 8,有b = 6,22故其方程为3 +匕=1(y#0 ).100 36(2)设 A(x, y), G(x', y'),则"+匕=i(y0 ).100 36由题意有x3代入，得A的轨迹方程为y3900 324= 1(y#0),其轨迹是椭圆(除去x轴上两word可编辑点).4、. 52.5例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上

4、 ，点P到两焦点的距离分别为 和，过P点作焦点所在轴 的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点解：设两焦点为F1、F2 ,且4遍PF1 =，32. 5-.从椭圆定义知2a= PF1 + PF2 =2,5 .即3从 PFi >|PF2 知 PF?可求出. pf1f2 =垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPFzFi中，sin/PFiF2 =一 ,2c = PF71 cos =厂66 U3,从而b22210=a - c =3PFi12'2 c 2- 22x3y,、3xy，所求椭圆万程为 一+一 =1或+"=151010522M焦点为Fi, F2, P例5已知椭圆方程 +4=1(a>

5、b>0 ),长轴端点为A, a b是椭圆上一点，NAPA2=e, /FiPF2=a.求：AFiPFz的面积(用a、b、口表示).1 一，一分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用Sa =absinC求面:2积.解：如图，设P(x, y),由椭圆的对称性，不妨设P(x, y),由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦2_ 2_ 2 _2定理知：F1F2 =|PFi +|PF2 -2PF1 PF2 costt = 4c2 .、 小2b2由椭圆定义知：PF1 + PF2 =2a ，则2 得 PF1 PF2 =1 + cosa拓1故 s西PF2 =21pFiPF2 Sinasi

6、n :,2,：=b tan - .2例6已知动圆P过定点A( 3,0),且在定圆B:(x3 2+y2 =64的内部与其相内切 求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M .动点P到两定点，即定点A(-3,0冽定圆圆心B(3,0陛离之和恰好等于定圆半径，即PA+|PB = PM|+|PB =|BM| =8. .点P的轨迹是以 A, B为两焦点，22半长轴为4,半短轴长为b =T'42 32 = J7的椭圆的方程：= 1 .167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨 迹

7、方程的一种重要思想方法 .X2/11、例7已知椭圆二+ y2 =1 , (1)求过点P -,1 .且被P平分的弦所在直线的方程；2<2 2)(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程 ；(3)过A(2,1 )引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4)椭圆上有两点P、Q, O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP kOQ = -，2求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M (x1,y1 ), N(x2, y2 ),线段MN的中点R(x, y ),则2- 2X +2% =2, x2 +2y2 =2, Xf x2 =2

8、x, % y2 =2y,一得 XiX2 Xi -X22 yiy2 4y = 0 x1 -lX2? 由题意知X1/x2,则上式两端同除以X1 x2 ,有(X1 + x22(y1 + y2)y1 + y2 = 0 ,将代入得x+2y y1 i = 0.X1 -'X2一 ccci将代入椭圆方程 X2 +2y2 =2得6y2 6y 14一八1八“人升一八八八， = 364父6父一A0符合题意，2x + 4y 3 = 0为所4(2)将江隹 =2代入得所求轨迹方程为： X1 - X2(3)将"B2 = Yz1代入得所求轨迹方程为x - X2x - 2x+4y = 0 .(椭圆内部分)X2

9、 +2y2 _2x _ 2y =0 .(椭圆内部分)(4)由+得22X1X2+(y；+ y2)=2,将平方并整理得22,2 c_X| +X2 =4x -2X1X2,22,2 八y1 +丫2 =4y 2yy2,将代入得:24x - 2x1x24y2 -2y1 y2)= 2 ,再将 y1y2-1 八、一一 X1X2代入式得2c 2,22x - x1x2 4 y1! c-2 -X1X2 =2 ,I 2)2即 x2+2=1.12(1)将x=l, y =-代入，得比二yZ = )，故所求直线方程为：2x + 4y 3 = 0. 22x1 -x22此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用

10、其它方法解决 例8已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x + m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？I(2)若直线被椭圆截得的弦长为2,求直线的方程5解：(1)把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得4x2+(x+m )2 =1 ,即 5x2 2mx m2 -1 = 0 =(2m 2 -4 5(m2 -1 )=-16m2 +20 2 0 ,解得-£2mm2 -1（2）设直线与椭圆的两个父点的横坐标为x1 , x2,由（1）得x1+x2=, x1x2 =552根据弦长公式得：Tl+?m 12.10=.解得 m = 0.万程为 y = x .说明：处理有关直线与椭圆的位置关

11、系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.22例9以椭圆 上+匕=1的焦点为焦点，过直线l： x y+9=0上一点M作椭圆，要 123使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可22解：如图所示，椭圆 巳+匕=1的焦点为F，3,0 ）, F2（3,0 ）.123点Fl关于直

12、线l: xy+9=0的对称点F的坐标为（一9, 6）,直线FF2的方程为x + 2y 3 = 0.'x+2y3=0 _7 得交点M的坐标为（5, 4）.此时MF1 + MF2最小. x-y +9 = 0所求椭圆的长轴：2a = MF1 +MF2=FF2 =6J5 ,，a =3后，又 c = 3,_22.b2 =a2 c2 =（3J5，32 = 36.因此，所求椭圆的方程为 人+上=1.45 3622例10 已知方程 +»= 1表示椭圆，求k的取值范围.k 5 31kk -5 <0,例11 解：由彳3k<0, 得 3 < k <5,且 k=4.k 55

13、= 3 -'k,.满足条件的k的取值范围是3<k<5,且k=4.说明：本题易出现如下错解：由k5<0,得3<k <5,故k的取值范围是3<k<5.3-k <0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b>0这个条件，当a = b时，并不表示椭圆.例12 已知x2sina y2cosct =1 (0 Mot En)表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围.分析：依据已知条件确定 a的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出a的取值范围11 八>> 0 .cos 二sin ;22解：方程可化为 x+y=1.因为焦

14、点在y轴上，所以 11sin 二 cos 二3 、因此 sina >0且 tana < 1 从而 a w (，一冗).2 41 -1说明：(1)由椭圆的标准万程知 >0, ->0 ,这是容易忽视的地方.sin r cos.：:2 1, 21(2)由焦点在y轴上，知a =, b = .(3)求口的取值范围时，应注意题目中的条件cos -sin -0 <a <n .例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(t3,-2)和B(-2/3,1)两点的椭圆方程.分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见可设其方程为 mx2 +

15、ny2 = 1(m >0, n > 0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程解：设所求椭圆方程为 mx2+ny2 =1(m >0, n >0),由A(J3 , 2)和B(2,1)两点在椭圆上可得'2 ._ 2，m 仆'3) +n(2) =1即*22m (-2<3)2 +n 12 =1,3m +4n =1,寸11一 、， x 】y所以m=，n =.故所求的椭圆方程为 一+工=1.12m + n=1,15515 5例13 知圆x2 +y2 =1 ,从这个圆上任意一点 P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹.分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹

16、问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹解：设点M的坐标为(xy),点 P 的坐标为(x0 , y0)，则 x = x0 , y = y0 2因为 P(x0 , y0)在圆 x2+y2=1 上，所以 x02+y02=1.将 x0 =2x， y0 = y 代入方程 x02 + y02 = 1 得 4x2 + y2 = 1 .所以点M的轨迹是一个椭圆224x + y =1 说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为 （x, y）,设已知轨迹上的点的坐标为（x0,y0）,然后根据题目要求，使x, y与x0, y0建立等式关系，从而由这些等式关系

17、求出 xc和心代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x, v的方程， xo y 0y化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握.例14已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为三的直线交椭圆于3A, B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式 AB =/1+k2|x1x2 = %：'（1+k2）（x1+x2）24x1x2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解b=3,所以c=3Y$ .因为焦点在AB =5 +k2 % -x2 =、；(1+k2)(x1+x2)24x1

18、x2 .因为 a =6,22所以椭圆方程为土+匕=1,左焦点F（33,0）,从而直线方程为y=J3x + 9.369由直线方程与椭圆方程联立得:13x2+72V3x+36M8 = 0.设 ” ,x2为方程两根，所以x1 x272 . 313x1x2 = 一13从而AB:22248=1k xi -x2 = (1 k )(x1 x2) -4x1x213（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求解22由题意可知椭圆方程为 + L=1 设AF1|=m BF1 =n ,则AF2 =12 m, BF2 =12-n . 36911.2221n22l1在 AAF1F2 中，AF2=AF1+F1F22 AF1F1F2

19、cos,即(12 m) =m +36 3-2 m-6V3-;326 6_,48所以m=,同理在ABF1F2中，用余弦定理得n=广，所以AB = m + n =.4 -V347313（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2+72，3x+36M8 = 0求出方程的两根 不，x2,它们分别是A, B的横坐再根据焦半径 AF1| =a+e, BF1= a+ex2,从而求出 AB =|AF1 + BF1 .xx2y2 ，入一 一一 . 一 .一 例15 椭圆 一+匚=1上的点M到焦点F1的距离为2, N为MF1的中点，则ON （O为坐标原点）的值为259A. 4B. 2C. 83D.2

20、解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F2 ,由椭圆第一定义得|MFj + |MF2| = 2a=10,所以 |MF2| =10 |MF1| = 10 2 = 8 , 1.又因为ON为AMF1F2的中位线，所以ON =- MF2 = 4,故答案为A.2说明：（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆（2）椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MFj+|MF2 =2a,利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有22x y例16已知椭圆C: 一 + <=1,试确定m的取值范围，使得对于直线l: y = 4x + m,椭圆C上有不同的两点43关于该直线对称分析

21、：若设椭圆上 A, B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：（1）直线AB_Ll; （2）弦AB的中点M在l利用上述条件建立m的不等式即可求得 m的取值范围解：（法1）设椭圆上A（x1,yJ, B（x2, y2）两点关于直线l对称，直线AB与l交于M（Xo, y0）点. l的斜率kl =4,，、一1，设直线AB的万程为y = -x+n.由万程组 4y 二x . n,422消去y得xy+ =1工4313x28nx+16n2-48 =0。，K+x2=8n.于是 x0=x-x2 = 4n , y0 =-1 x0 + n = 12n ,132134134n 12n-4n13即点M的坐标为（，）.,点M

22、在直线y=4x*m上，.,.n = 4x:+ m.解得n = - m .13 13134将式代入式得13x2 +26mx+169m2 48 = 0.A, B 是椭圆上的两点，.=(26m)2 _4 M13(169m2 _48) >0 .解得名身 < m < 2113 131313413(法 2)向斛法 1 付出 n = m , X0 = ( m) = m ,4134即M点坐标为(一m , -3m).113113y0 =-x0 - - m = M(m) -m = -3m , 4444. A, B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，.m- + (-3m) <1 .解得生13

23、cm生13 . 431313(法3)设A(X1 , yj , B(X2 , y)是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x° , y°).2222A , B 在椭圆上，卫+红=1, 且+互=1. 两式相减得43433(X1 +X2)(X1 -X2) +4(y +y2)(y1 y?) =0 ,即 3 2X0(X1 -X2) +4 2y0(y _y2)= 0 . . .yy = (X ¥ X2) .X1 -X24y03Xn一又.直线 AB _Ll , .kAB kl = -1， - 4 = 1 ,即 y0 = 3x0 。4 y°又M点在直线l

24、上，. y0 =4X0+m 。由，得M点的坐标为(-m , -3m).以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点 A, B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式A>0,建立参数方程.22(2)利用弦AB的中点M(X0,y。)在椭圆内部，满足 迎+牛<1,将X。，y。利用参数表示，建立参数不等式.1例17在面积为1的APMN中，tanM =, tan N =-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P 2点的椭圆方程.则解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y).=-2, x c«上,x +c 2cy =1.5 x =3c即P(25y =-c& c323, 3),J12a2215/曰 a 二一得 4b2 =3.22.所求椭圆方程为1534x y +2例18已知P(4,2)是直线l被椭圆 上 +L =1所截得的线段的中点，求直线l的方程.369分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方