王式安考研概率强化讲义啊

1、第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解：样本空间的概念理解：掌握：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。§ 1 随机事件与样本空间一、随机试验： E1）可重复2）知道所有可能结果3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点所有样本点全体样本空间三、随机事件样本空间的子集随机事件ABC样本点基本事件， 随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件出现发生， 出现如果组成事件 A 的基本事件出现A发生，A出

2、现必然事件不可能事件§ 2事件间的关系与运算.事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二事件间的运算:并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图 三事件的文字叙述与符号表示例2从一批产品中每次一件抽取三次，用Ai(i 1,2,3)表示事件:“第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件:(2)AAA ；(1) Ai Az 7 Az A3 J Ai A3 ；(3) A1UA2UA3 ；再用Ai,A2,A3表示下列事件:(5)都取到正品；(7)只有一件次品；(4) AA2A3 AiA2AJAi A2A3 ；(6)至少有一件次品；(8)取

3、到次品不多于一件。一.公理化定义§ 3概率、条件概率、事件独立性、五大公式,A,P P(A) 0QP( ) 1P(aUaU.'.IAUt P(A) P(A2)P(代)AiAj,i j二. 性质(1)P( ) 0(2)JA2UIJaJ)P(A) p(A2)小 P(人),i P(A) 1 P(A)(4) A B,P(A) P(B) 0 P(A) 1三. 条件概率与事件独立性(1) P(A) 0,P(B|A) PAB",事件A发生条件下事件发生的条件概率; P(AB) P(A)P(B),事件 A, B独立,A, B独立 m A, B独立 A, B独立 A, B独立;P(A

4、) 0 时,A,B 独立匚P(bA) P(B)；P (Ai,A2,|Aik) P(Ai) P(A2川 I P(Ak)1 i1i2(Iik n称 a,A2,|a相互独立,(c2 c； IIIcn 2n1个等式)相互独立两两独立。四. 五大公式(1)加法公式：P(AUB)P(A)P(B)P(AB)P(AUBJc) P(A)P(B)P(C)P(AB)P (BC) P (AC) P (ABC)P(A1 A2 . An)减法公式：P A BP AB(3)乘法公式：P(A) 0,P (AB)P(A)P(B A)P(AA2.Ani) 0时，P(AA.A) P(A)P(A2|A)P(A|AA2)|p(A|AA

5、2.Ani)(4)全概率公式：Bi,B2.,Bn是完全事件组，且 P(B) 0，i 1,nP(A)P(Bi) P(A|Bi)i 1贝叶斯公式：Bi,B2,，Bn是完全事件组,P(A) 0,P (Bi) 0,i1川,nP(Bj A)PQRABj)nP(Bi) P(A|Bi)i 1j 1,2,., n§ 4古典型概率和伯努利概率.古典型概率P(A)互nA所包含的样本点数 样本点总数二几何型概率P(A)L( a)L()A的几何度量的几何度量三.独立重复试验独立各试验间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变 四伯努利试验试验只有两个结果A和 A伯努利试验n重伯努利试验二项概率公式C：P k

6、(1 P )nkk 0,1,.,n P(A) p§ 5典型例题分析例1设A, B为两事件，且满足条件 AB AB，则 P(AB)例2.A,B为任意两事件，则事件 （A B） （BC）等于事件aU(b C)C (A B) C(AUB) BC随机事件A, B，满足P(A) P(B)1和P (aNb) 1则有2乜UBB ABP(A B) 1P(A B) 0P(B A) P(B A)则必有CP(AB) P(A) P(B)DP (AB)P(A) P(B)例5 (06)设A、B为随机事件，且P(B)0,P(A B)1，则必有AP (aUb)P(A)BP(AUB)P (B)CP (aUb)P(A)

7、DP(AUB)P (B)例6 试证对任意两个事件A与B ,如果P(A)0 ,则有P(AB)P(AB)P(A B) P(A B)P(B| A) 1P(B)P(A)半白球,例7 有两个盒子，第一盒中装有 2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球, 现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：(1) 这个球是红球的概率；(2) 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例&假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装 30件,其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：（1）先取出的零件是一等品的概率P ；（2）在

8、先取的零件是一等品的条件下， 第二次取出的零件仍为一等品的条件概率q .例9 袋中装有个白球和个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率:(1)从袋中取出的第k个球是白球（1 k(2)从袋中取出a b个球中，恰含a个白球和b个黑球(a ,b )例10.随机地向半圆 （x,y）0 y JOXX2 （其中a 0,是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与 x轴的夹角小于一的概率为4例11.在伯努利试验中，每次试验成功的概率为P，求在第n次成功之前恰失败了 m次的概率。例12.四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三 封信放入同一个邮筒的概率为

9、13.已知A,B,C三事件中A与B相互独立，P(C)0，则A,B,C三事件相互独立不一定两两独立B 两两独立，但不一定相互独立D 一定不两两独立14. 10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取 一等品，则原先售出1台为二等品的概率为A 310C 102台发现均为15.甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球, 任取1球混合后，A 15今从甲袋中任取2球，从乙袋中16. 10件产品中含有 也是次品的概率。17.两盒火柴各率。(R从中任取 1球为白球的概率B 254件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件N根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概

10、N)18. (05)从数数记为丫 ,则 P(Y 2)第二讲随机变量及其概率分布考试要求：理解：掌握：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度分布函数性质： 0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布， 正态分布，指数分布及它们的应用会计算：与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变 量简单函数的概率分布。数学一，了解;数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件§ 1 随机变量及其分布函数一随机变量样本空间 上的实值函数X X( ) ，。常用 X,Y,Z 表示二随机变量的分布函数对于任意实数 x ，记函数F(x)P(X x) ，称F(x)为随机

11、变量X的分布函数;F(x) 的值等于随机变量 X 在,x 内取值的概率。三分布函数的性质1)lim F(x) 0 ，记为F(4)lim F(x) 1，记为F(x) 是单调非减，即F(x1F(X) 是右连续，即 F(X对任意 X1 X2 ，有 P(X11。X2 时，F(Xi) F(X2)0)对任意 X， P(X X) F(X)F(X)X2) F(X2) F(X1)F(X 0)性质(1)( 3)是F(x)成为分布函数的充要条件。,X 0 X,X 0Ax例设随机变量X的分布函数为F (x)10其中A是常数，求常数 A及P(1 X 2)。§ 2离散型随机变量和连续型随机变量.离散型随机变量随

12、机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。.离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X的可能取值是X1,X2,.,Xn,.称 P(X Xk) Pk,k 1,2，为X的概率分布或分布律分布律性质：(1)Pk0., k 1,2,.Pk 1分布律也可表示为X1X2XkPkP2三.离散型随机变量分布函数F(X)X<P(X Xk)x<Pk，XP(X a) F(a) F(a 0)例1.X123P11326X求 F(x)四连续型随机变量及其概率密度设X的分布函数F(x)，如存在非负可积函数f (X)，有xF(x) f (t)dt ,称X为连续型随机变量，f (x)为概率密度。概率密度性质:(1

13、)f(x) 0 ；xX1X2, PX Xx2)f (t)dt ；x1f(x)的连续点处有F'(x) f (x)。例已知f(x)和 f(x)fl(x)均为概率密度，则f1必满足f1 (x)dx1,f1(x) 0f1 (x)dx1,f1(x)f(x)f1 (x)dx0,f1(x)f1 (x)dx0,f1(x)f(x)常用分布.(0 1)分布二.二项分布P(X k) c：k 0,1,., n.0X Mb(n,p)三.超几何分布P(X k)k c n k CM CN McNk l1,., l2 ,X N H (n,M ,N)四泊松分布kP(X k)订°，k0,1,2,xNp()例 设

14、某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为则这段时间内至少有两辆车通过的概率为五均匀分布f（x）其他xNua, b例 设随机变量在（1,6）上服从均匀分布,则方程x2有实根的概率是六.指数分布 f （x）七.正态分布f（x）(X )22 2xNn(2),X Nn（o,i）标准正态分布(x)(x)e'dt如果X N N(2），则-Mn（o,1）(1)(x)(x)(2)(x)1(x)(3)1(0)2(4)P(|X|a) 2 (a) 1, XNQI)N( , 2)，且 (3)0.9987，则 P(X§ 4随机变量X的函数Yg(X)的分布.离散型随机变量的函

15、数分布设X的分布律P(X xk) pk, k1,2,则丫 g(X)的分布律P(Y g(xk)Pk , k 1,2,(如果g(xk)相同值，取相应概率之和为 丫取该值概率)二.连续型随机变量的函数分布1.公式法：X的密度fx(x), y g(x)单调，导数不为零可导,h(y)是其反函数，则 Y g(X)的密度为fY(y)h'(y) fx(h(y)0y其他其中(，)是函数g(x)在X可能取值的区间上值域。2定义法:先求FY(y)P(Y y) P(g(X) y)g(x)yfx(x)dx然后 fY(y) Fy (y)。§ 5典型例题分析例1 .设随机变量的分布函数F(X)a (1C求

16、a,b,c的值。例2 .设随机变量X的分布律为P(Xk 1,2,.,0试确定常数C的值。例3 .汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口, 以X表示汽车所遇红灯个数，求各信号灯相互独立， X的分布及分布函数。且红绿显示时间相等,例4. (04)设随机变量 X服从正态分布N(0,1)，对给定的 (01)数U满足P(X U )，若 P(X X)，则X等于A U&B U1ZU1_"2D U1例5.在区间a,b上任意投掷一点,X为这点坐标，设该点落在a,b中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求X的概率密度。X U2,5，对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。(06)设随

17、机变量X服从正态分布2 2N( 1, 1 ) , 丫服从正态分布N( 2, 2 )且PXX的密度f(x)设X服从参数为1 PYAe * x1，则必有x)，试求常数2的指数分布，证明：随机变量 丫 12 Xe 2X 服从 U (0,1)。例10.已知X的密度为f(x) 1e'x , ( x ),求丫 X2的概率密度。11.设随机变量X的密度（X）满足（X）（X）,F（x）是X的分布函数,则对任意实数A F( a)C F( a)12.设随机变量Xa有a10 (x)dxF(a)的分布函数为F3(x)1 F( X)和 F/x)AF1(x), F2(x)C F3(x),F4(x)13.设14.设

18、xNn(单调增大保持不变15.证明X与 XF(F(a)a)F（x），引入函数F1（x）F(x2)且 P(2 x4)2），则随 的增大,1 a1 0 (x)dx2F(a) 12F(ax) , F2(x) F (x),a），则可以确定也是分布函数为0.3，则F2(x), F3(x)F2(x), F4(x)P(X 0)概率P（X具有相同密度，则其分布函数单调减小非单调变化F(x) 一定满足 F(x) F( x) 1 o1 1例 16. U(a,b), (a 0)且 P(0 X 3)-, P(X 4)-求：(1) X的概率密度;(2) P(1 X 5)。第三讲多维随机变量及其概率分布考试要求理解：随机

19、变量及其联合分布，离散型联合概率分布， 边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。 边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量§ 1二维随机变量及其联合分布函数.二维随机变量设X X( ), Y Y()是定义在样本空间上的两个随机变量,则称向量(X,Y)为二维随机变量或随机向量。二二维随机变量的联合分布函数定义：F(x,y) P(X x,Y y)性质：(1)0 F (x, y) 1 ；F( ,y) F(x,)F()0，F(F(x, y)关于x和关于y单调不减;F(x, y)关于x和关于y右连续。例1设二维随机变量(X, Y)的分布

20、函数为F(x,y)，则随机变量(Y,X)的分布函数 F1(x,y) =三.二维随机变量的边缘分布函数Fx(x) P(X x) P(X x,Y )F(x,FY(y) P(Y y) P(X,Y y)F(,y)例2.设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(x, y)(1e2x)(10ey)0,y 0其他试求 Fx(x), FY(y).联合概率分布性质：（1） pj二维离散型随机变量§ 2P(X例设随机变量ijX在1 , 2, 3三个数字中等可能取值，随机变量 丫在1 X中等可能的取一整数值，求（X,Y）的概率分布。二.边缘概率分布Pi| P(XXi)P(X x,Y yj)jPij , i

21、1,2, jP|jP(Yyj) P(X Xi, 丫iYj) Pij， ji1,2,P(Y yj) 0, P(xXYP(X Xi)0, P(Yyj XX Y01例设分布律为0ab1c0.5三.条件概率分布yj)x)，已知P(X Xi, 丫 yj)P(丫 yj)P(X Xi,Y yj)P(X Xi)1P(Y 1X 0) 2PijPijPi|,P(X求 a,b,c§ 3二维连续型随机变量概率密度i 1,2,.j 1,2,.1 Y 0)F(x,y)yf(u, )dudf (x, y)概率密度性质：(1)f(x,y) 0(2)f(X, y)dxdy例 f (x, y)ke (2x y), x

22、0,y0 其他二.边缘密度fx(x)f (x, y)dy ,fY(y)f (x, y)dx三.条件概率密度1条件分布FyIxWx)lim P(Y yFx|y(x y) lim P(X x y2.条件概率密度fY|x(y X)f(x,y)fx(x)fx|Y(x y)f(x, y)fY(y)fx(x)fY(y)§ 4随机变量的独立性定义：对任意x,yP(XX, Y y) P(X x)P(Y y)F(x, y) Fx(x)FY(y)离散型PjPi|P|j连续型f (x, y) fx(x)fY(y)例1 .设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合概率分布及关于X和Y的

23、边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处XYy 1y 2y 3Pi)Xi118X 281pr 1,孑例2 .判断X与丫是否独立X Y1231100311206631119992)F(x，y) (1 V 其他0§ 5二维均匀分布和二维正态分布.二维均匀分布1f (x, y) A0(x,y) GA是G的面积其他例 设二维随机变量（X,Y）在xOy平面上由曲线X和y x2所围成的区域上服从均匀分布，则概率p(o1,0二.二维正态分布， N（1, 2f(x, y)2 1亍exp（X1)2212 (x 1)( y 2)(y 2)222性质：（1）xNn( 1, 12),2,；）(2)X

24、与Y相互独立的充分必要条件是aX bY H N(a 1 b 2,a2 2 b22ab 1 2 )§ 6两个随机变量函数的分布二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似。二.二维连续型随机变量的函数Z g(X, Y)的分布求法，可用公式FZ (z) P(Zz) P(g(X,Y) z)f (x,y)dxdyg(x,y) z当 Z X Y 时，FZ(z)zxdx f (x,y)dyzydy f (x,y)dxFZ(z)f (z y,y)dy特别，当 X,Y 相互独立时，fZ(z)fX(x)fY(z x)dxfZ (z)fX(z y) fY(y)dy三简单函数通常包括线形函数，初等函数

25、，最大值，最小值，绝对值等。例 设X,丫相互独立，分布函数为 Fx(x), FY(y)，试求1) Mmax(X,Y) 的分布函数 FM(z) ；2) Nmin(X,Y) 得分布函数 FN(z)。§ 7 典型例题分析例 1 从 1 ， 2，3 三个数字中一次任取两数，第一个数为 X ，第二个数为 Y ，记max(X,Y)，试求(X, Y)和(X,)的分布律及其边缘分布。则 P(X1X2)xi101P111424例2 .设随机变量Xi N,i 1,2，且 P(X1X20)1，Pmax(X, Y) 1O例3设某班车起点站上车人数 X服从参数 (0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(

26、0 P 1)，且他们在中途下车与否是相互独立的，用丫表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率;(2) 二维随机向量(X,Y)的概率分布。2例4.设随机变量(X,Y)的密度为f(x,y)Axy ; 0 x 2,0 y 10;其他求(1)常数A ;(2)边缘密度;(3) X,Y是否独立。例5.1设随机变量Xi(i 1,2,3, 4)相互独立，均服从分布B(1-),2求行列式XX1X2X3X4的概率分布。设相互独立随机变量 X与Y分别服从N(0,1)和N(1,1)，则A P(X Y 0)C P(X Y 0)12121P(X Y 1)-21P(X Y 1)-2

27、设(X,Y)N N(,2 2,;0)，则 P(XY)设两随机变量X与Y相互独立且同分布,P(X 1) P(Y 1)1，则成立2(06)P(XP(X1Y) 2Y 0)设两个随机变量B P(X Y) 1D P(XY 1)14X与丫相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则10.设 f(x,y) e0y X 0其他试求(1) fx(x)和fY(y) , X,Y是否独立;(2)fxY(x y)和 fY|x (y x)。11. X,Y相互独立，服从参数为的泊松分布，证明 Z X Y服从参数为2的泊松分布。12. (04)设随机变量 X在区间(0, 1)上服从均匀分布，在 X X (0 X 1)的条件下

28、，随机变量 丫在区间(0, X)上服从均匀分布，求: (I)随机变量X和Y的联合概率密度;(II) Y的概率密度;(III )概率 P(X Y 1)。例13. (05)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y) 1， 0 xy 2x0,其他求(I) (X,Y)的边缘概率密度fx(x), fY(y)；(II) Z 2X Y的概率密度fZ(z)；1(川)P(Y 1X2)。2连续型：f(x) 当xf (x)dx绝对收敛第四讲随机变量的数字特征考试要求：数学一，数学三，数学四,要求一致理解：随机变量数字特征：数学期望,方差，标准差， 矩，协方差，相关系数。掌握：常用分布的数字特征会计算：用数

29、字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。1随机变量的数学期望.定义1.离散型：P(X Xk)Pk k1,2,当Xk Pk绝对收敛k 1E(X)XkPkk 1二性质1)2)E(X)xf (x ) dxE(C) CE(CX ) CE(X )E(X Y) E(X )E(Y)X和丫相互独立，则E(XY) E(X )E(Y)例 将一均匀骰子独立抛掷三次，求掷得三数之和 X 的数学期望。三随机变量 X 的函数 丫 g(X) 的数学期望1)离散型P(Xxk)pk ， k 1,2,.当k1g(Xk) Pk 绝对收敛，E(Y) E(g(X)g(xk)Pkk12

30、)连续型f (x)，当 g(x) f (x)dx绝对收敛E(Y) E(g(X)g(X) f (X)dX四.随机变量(X,Y)的函数Z g(X,Y)的数学期望1)离散型 P(X Xi,Yyj)Pij ， i, j1,2,.当i1jg(xi,yj )Pij1绝对收敛E(Z)Eg(X,Y)g(xi, yj )Piji1 j 12)连续型f(x,y)，当g(x, y) f (x, y)dxdy 绝对收敛E(Z) Eg(X, Y)g(x, y)f(x,y)dxdy例1商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商店的需求量 丫是相互独立的随机变量，且都在区间10,20上服从均匀分布。商店每售出一单位商

31、品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位 商品获利500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。§ 2随机变量的方差.定义：D(X) E(X EX )2方差标准差，均方差二.计算方差的公式:D(X)2 2E(X ) (EX),2 2E(X ) (EX)三.性质:(1) D(C)0,反之D(X)0不能得出X为常数;(2) D(aXb) a2D(X)；(3) X,丫相互独立 D(XY)DX DY。例随机变量X的概率密度为f(x)4xe2x0,x 0x 0则 D(2X 1)§ 3常用随机变量的数学期望和方差一.(0 1)分布EX

32、p, DX pq二.二项分布EXnp, DXnpq三.泊松分布EX,DX四.均匀分布EXa b,DX2(ba)22五.指数分布EX丄,DX12六.正态分布N( , 2),EXDX2(X, y)Nn( 1,22 , 12,2 ；)EX1 , EY2 ,DX12, DY例npq22已知随机变量X N B( n,p),试证D(X)设随机变量X肿()，试证E(X)原点矩E(X),E(X2)中心矩E(XEX)2混合矩E(XY)混合中心矩E(XEX )(Y EY)§ 5协方差和相关系数一.协方差定义:cov(X, Y) EX E(X) Y E( Y) E(X Y) E(X)E( Y)公式:D(X

33、 Y) D(X) D(Y) 2cov( X,Y)性质:(1) cov(X, Y) cov(Y,X)；(2) cov(aX,bY) abcov(X ,Y);(3) cov(X1 X2,Y) cov(X1,Y) cov(X2,Y)二.相关系数定义： XYcov(X,Y)不相关:XY 0X,Y相互独立X ,Y不相关性质：（1）XY(2)XY1 P(aX bY 1) 1 ab 0 ；(3)设（X,Y）Nn（1, 2, 12, I；)，则XY ，且X ,Y相互独立X ,Y不相关0。例 对随机变量X,Y，证明下列关系是等价的cov(X, Y) 0X与Y不相关E(X Y) E(X)E( Y)D(X Y) D

34、(X) D(Y)§ 6典型例题分析1)(X 2)1 ,例1.设随机变量 X服从P()分布，且已知E(X例2.已知N件产品中含有 M件次品，从中任意取出n件(n N)，设这n件产品中的次品件数为X，试求E(X)。例3. (04)设随机变量 X服从参数为的指数分布,例4 .设随机变量X的概率密度函数为X2Bxf (X) Ae 2其中A,B为常数，已知 E(X) D(X)，试求A,B和E(X) o例 5. (04)设随机变量 Xi,X2，Xn (n 1)独立同分布，且其方差为(A)(C)cov(Xi, Y)D(Xi Y)(B)(D)cov( Xi, Y)D(Xi Y)例6.在伯努利试验中，

35、已知 P(A)重复地进行试验直到出现A为止，令X表示所需进行的试验次数，试求E(X)和D(X)。例7.设随机变量 X和丫的联合分布在以点0,1 , 1,0 , 1,1为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U =X +Y的方差。例8 .设随机变量X的概率分布密度为 f（X）1e'x2(1)求X的E（x）和D（X）X的协方差，问X与X是否不相关?例9已知随机变量(1)X是否相互独立？为什么?(X,Y)服从 N(1,0,9,16;求Z的E(Z)和D(Z)12)，设 Z求XZ问Z,X是否相互独立？为什么?例10.设随机变量（X,Y）在D : X2 y21内服从均匀分布，则X和丫的相关

36、系数XY例11.随机变量 X 和 Y均服从正态分布，则(A) X+Y 定服从正态分布(B) X 和Y不相关与独立等价(C) (X,Y) 定服从正态分布(D) (X, Y)未必服从正态分布例12.在n次独立重复试验中，X和Y分别表示成功和失败的次数，则X和Y的相关系数等于(A)1(B) 0(D) 1B出现B出现例13.设A和B是两个随机事件，定义两个随机变量如下:1A出现1X 和 Y0A出现0证明：X与Y不相关的充分必要条件是A与 B相互独立。例14.已知随机变量 X的分布P(X k)k 0,1,2,其中C为常数，则随机变量 丫 2X3的 D(Y)11 x 0例15.(04)设A B为两个随机事

37、件，且P(A)令X 1A发生0A不发生14B发生B不发生-,P(B|A) - , P(A|B)430求(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布;(II ) X与丫的相关系数XY ；(III ) Z X2 Y2的概率分布。例16.(06)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为其中a, b, c为常数，且X的数字期望E(x)0.2, (Y 0|x 0)0.5 ,X Y011a00.200.1b0.210.1c求(I) a,b,c 的值；(II) Z 的概率分布；(III) P(X Z)。210x2例17. (06)设随机变量 X的概率密度为fx(x)-40,其它令丫 X2, F( x,y)为二维随机变

38、量(X, Y)的分布函数，求(I) Y 的概率度 fY(y) ；(II) cov(X, Y);1(III ) F( -,4).2第五讲大数定律和中心极限定理考试要求：数学一:了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣 莫弗一拉普拉斯定理，列维 一林德伯格定理数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗 定理，列维一林德伯格定理-拉普拉斯数学三：掌握：切比雪夫不等式数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。数学四：了解：切比雪夫不等式§ 1切比雪夫不等式和依概率收敛一.切比雪夫不等式P X E(X)D(X)2二.依概率收敛lim P(

39、Xn A0 记作Xn P A例设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计P(X E(X) 2)§ 2大数定律切比雪夫大数定律设X1,X2，Xn,.两两不相关,E(Xi)和D(Xi)存在且存在常数 C，使D(Xi) C(i 1,2,.)则对任意nlim P(nE(Xi)i 1二.伯努利大数定律Xn A B(n, p)，则对任意X lim p( J p 'n三.辛钦大数定律设X1,X2，Xn,独立同分布,E(Xi)，则对任意 0 ,lim P(1' n iXi§ 3中心极限定理.棣莫弗一拉普拉斯定理设Xn N B(n, p)，则对任意lim P(产 np

40、 ： x) (x) nJnp(1 p)二列维一林德伯格定理2设 X1,X2,.,Xn,.独立同分布，E(Xi), D(Xi)则对任意xnlimnXi nP( X) (X)§ 4典型例题分析例1 .设随机变量X 和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4，而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式P（X Y 6）例2 .将一枚骰子重复掷n次，则当n 于时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛且均服从参数为例3. （05）设X1,X2,.,Xn,.为独立同分布的随机变量列,指数分布，记（X）为标准正态分布函数，则(A) limnPnXi ni 1nXi nx(X)(B)limnX（X）(C) l

41、im、/ nPnXii 1X（X）(D)limnnXiprX(X)第六讲数理统计第一章基本概念考试要求：数学一、三统计量，样本均值理解：总体，简单随机样本,样本方差和样本矩数学一了解：2分布，t分布，F分布，分位数并会查表计算,正态总体的常用抽样分布 数学三2了解：产生 变量，t变量，F变量的典型模式理解：标准正态,2分布，t分布，F分布的分位数并会查表计算，经验分布掌握：正态分布的常用抽样分布§ 1总体和样本一.总体：所研究对象的某项数量指标X全体。0,%（X）二.样本，如果 Xi,X2,., Xn相互独立且都与总体X同分布，则称 Xi,X2,.,Xn为来自总体的简单随机样本，简称

42、样本。 样本容量，样本值，观测值xMf(x) ，则Xi,X2,., Xn的联合分布F(Xi,X2,.,Xn)nF(X)i 1X M f(X)，则 Xi,X2,.,Xn 的联合密度f (Xi,X2，Xn)nf (Xi)i 1例设总体xNe()，则来自总体X的样本Xi,X2,., Xn的联合概率密度f(Xi,X2,., Xn)§ 2统计量和样本数字特征.统计量样本（Xi,X2,.,Xn）的不含未知参数的函数T T（Xi,X2，Xn）。如果X1,X2,.,Xn是样本X1,X2,.,Xn的样本值，则数值口为恥,，Xn）为统计量T(X1,X2,.,Xn)的观测值。二.样本数字特征1.样本均值2

43、.样本方差S2七(Xi X)2,n 1 i 1样本标准差(Xi1X)2 ；3样本k阶原点矩Xik k1,2 ;4.样本二阶中心矩B2-n(Xin i 1X)2E(X) E(X)D(X)D(X)2-,E(S2)nD(X)如果E(Xk)Xik例 设总体X的概率密度为f（X）2x,0 X 1其他，来自总体X的样本为X1,X2,X3,X4 贝 y X max(X1,X2,X3,X4) 的§ 3常用统计抽样分布常用统计抽样分布：正态分布，2分布，t分布和F分布。除正态分布外不必记忆这些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲线示意图和分位数，会查表。2分布1.典型模式：X1,X2,.Xn相互独立且均服从 N(0,1)，则称2 xjX222Xn服从自由度为n的2分布，记2 N 2(n)f(x)1 nx22 A20,E( 2)D(2) 2n ；2.可加性:12N2(n1),2(n2)，且i2和22相互独立12 +2(ni门2)；3上 分位点 2(n)：设2 N 2(n)，对于给定的(01)，称满足条件2 2 2 2P(n) 的点 (n)为 (n)分布的上分位点。2 2 2例已知 N (n)，则E()=二. t