人教版九年级数学上册《23章旋转数学活动》优质课教案_3

1、初三数学校本课程 2 归纳与发现 归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法， 也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段. 这里的归纳指 的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊 情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础， 分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题 的思考方法.下面举几个例题，以见一般. 例 1 如图 2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作 第一层； 第二层每边有两个点（相邻两边公用一个点）； 第三层每边有 三个点，这个六边形点阵共有 n 层，试问第 n 层有多少个点？这个 点阵共有多少个

2、点？ 分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵 第二层有点数：1 x 6;共有的点数. 第一层有点数：1; 第三层有点数：2 X6; 第四层有点数：3 X6; 第 n 层有点数：(n-1) X 6. 因此，这个点阵的第 n 层有点(n-1) X 6个.n 层共有点数为 1 + 1乂6 +2 *6 + 3X6+-1)X6 =1 +炖1 + 2+ + (n-l) 工，屮小)畑1) =2 - 2 - =l + 3(n-lX 例 2 在平面上有过同一点 P，并且半径相等的 n 个圆，其中任 何两个圆都有两个交点，任何三个圆除 P 点外无其他公共点，那么 试问： 图 2-100 (1)这

3、 n 个圆把平面划分成多少个平面区域? (2)这 n 个圆共有多少个交点? 分析与解 在图 2-100 中，设以 P 点为公共点的圆有 1,2,3 , 4, 5 个(取这 n 个特定的圆),观察平面被它们所分割成的平面区域有 多少个？为此，我们列出表 18 . 1. 表 18 . 1 匾1的于數I 2 3 A 3 + II 平面区域数片 2 4 7 11 16 | 1 由表 18. 1 易知 52- S1 =2, 53- S2 = 3, 54- S3 = 4 , S5-S4 = 5, 由此，不难推测 Sn-Sn-1 = n . 把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到 Sn-S = 2

4、 + 3 + 4+ + n , 因为 S1=2，所以S.-2+2+3 + +n= 1 + (l + 2+3+-+n) ! 这就证明了当社个圆过P点时，可把平面划分为口 :斗2个平面区域- - 下 面对 Sn-Sn-1 =n，即 Sn=Sn-1 + n 的正确性略作说明. 因为 Sn-1为 n-1 个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即 当n 个圆过定点 P 时，这个加上去的圆必与前 n-1 个圆相交，所以 这个圆就被前 n-1 个圆分成 n 部分，加在 Sn-1上，所以有 Sn=Sn-1 +n . 与(1) 一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此, 可列出表 18. 2. 表 18

5、 . 2 圆的亍黴k 1 2 3 4 5 11酌交直數业 1 2 4 7 11 由表 18. 2 容易发现 a1 =1, a2_a a3-a2= 2, a4-a3= 3, 85-84= 4, an-1 -an-2 = n-2 , an-ai = n-1 . n 个式子相加 务=1+ 11+ 2 +弓+ + 0-1)1 (n l)n n1 - n + 2 =1 4 - - - - 2 2 所以，当有满足条件的ti个圆过P点时，逐个圆共有亡戶个交点. 注意 请读者说明 an二an-1 +(n-1)的正确性. 例 3 设 a, b, c 表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中 a bc,如果 b=

6、n(n 是自然数)，试问这样的三角形有多少个？ 分析与解我们先来研究一些特殊情况： (1) 设 b=n=1，这时 b=1，因为 a b2, 由于 a + b=2，那么 a+ b 不大于第三边 c,这时不可能由 a, b, c 构 成三角形，可见，当 b=n=1 时，满足条件的三角形只有一个. 设 b=n=2,类似地可以列举各种情况如表 18 . 3.2 責 IS 3 a C 三箱隹牛数 2 2 J 3 2 1 2 1 这时满足条件的三角形总数为：1+2=3 . 设 b=n=3,类似地可得表 18 . 4. 表 18 . 4 C 三箱形亍数 3 它A - 5 5 2 3 . 4 2 1 3 1

7、这时满足条件的三角形总数为：1 + 2 + 3=6 . 通过上面这些特例不难发现，当 b=n 时，满足条件的三角形总 数为： 这个猜想是正确的.因为当 b=n 时，a 可取 n 个值(1 ,2,3, n)，对应于 a 的每个值，不妨设 a=k(1 k n).由于 bcv a + b, 即 n0，试比较代数式 X3和X2+X+2的值的大小. 分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设 x 等于 某些特殊值， 代入两式中做试验比较， 或许能启发我们发现解题思 路.为此，设 x=0，显然有 x3 v X2+X+2 . 设 x=10 ，则有 x3=1000 ， x2+x2=112 ，所以 x3

8、 X2+X+2 . 设 x=100 ，则有 x3 x2+x+2 . 观察、 比较， 两式的条件和结论， 可以发现： 当 x 值较小时， x3v x2+x+2 ；当 x 值较大时， x3 x2+x+2 那么自然会想到：当 x= ?时，X3=X2+X+2呢？如果这个方程得解， 则它很可能就是本题得解的“临界点”.为此，设 x3=x2 + x+2,则 X3-X2-X-2 = 0, (x3-x2-2x) + (x-2)=0 ， (x-2)(x2+x+1)=0 . 因为 x0，所以X2+X+1 0,所以 x-2=0 ,所以 x=2 .这样 (1)当 x=2 时， x3=x2+x+2； (2) 当 Ov xv 2 时，因为 x-2 v 0, X2+X+2 0, 所以 (x-2)(x2x+2)vO， 即 x3-(x2x+2)v0， 所以 x3v x2 x2. (3) 当X2 时，因为 x-20， x2+x+20， 所以 (x-2)(x 2+x+2) 0， 即 32 x -(x x2) 0， 所以 x3 x2x2 综合归纳 (1)， (2)， (3) ，就得到本题的解答 练习七 1试证明例 7 中： p n3 +1 三 - q仗5 2. 平面上有 n 条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直 线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点.试求： (