高考第一轮复习——函数的周期性(文)

1、课程信息年 级局二学 科数学(文)1版 本人教版(文)内容标题函数的周期性编稿老师孙力【本讲教育信息】一.教学内容：函数的周期性 (一)概念对于函数y f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，f(x T) f(x)都成立，则把函数 y f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，这个最小的正数叫最小正周期。注：(1)周期函数的周期 T未必是正数未必有正周期如：y sin x, x (,0,显然T 2是函数的一个周期，故y sin x , x (,0是周期函数，假设f(x)有一个正周期T ,当x (T,0)时，x

2、T (,0,故f(x T )无意义，所以y sinx,x (,0不存在正周期。(2)若T是周期函数的周期，T未必是函数的一个周期，但若f (x)是定义在R上的周期函数，则成立。如y sin x, x (,0,2是函数的一个周期， 而2 不是周期。(3)有正周期的周期函数，未必有最小正周期4t1,以有理数如D(x).旧业心任一有理数是f (x)的一个周期，因有理数不存在最小正数，0, x为无理数故所给函数不存在最小正周期。(4)周期函数的周期不止一个事实上，如果T是周期函数f(x)的周期，用数学归纳法易证 nT(n N )也是f(x) 的周期，换言之，一个周期函数必有其周期集合，且此集合是一个至

3、少一方无界的无穷点集。(5)周期函数的定义域至少是一方无界因函数的周期集合是定义域的子集，由(4)知周期集合至少一方无界，故定义域至少一方无界。(6 )周期函数的定义域内的点不一定是连续的，可能是有间断的，如函数 y 1( x n, n Z)是周期函数，定义域是整数集。(7)两个周期函数的和未必是周期函数如f(x) cosx sin J2x,假设f(x)是以T为周期的周期函数贝U cos(x T) sin , 2(xT) cosx sin <2x ,对任x R恒成立fcosT sin .2T1cosT sin . 2T1令x 0, x T代入上式，有cosT sin . 2T cos0

4、sin 0cos0 sin 0 cos( T) sin . 2( T)cosT 1 T 2m (m Z) 2sin2T 0 T n (n Z) 2T 0 m n 0于是J2 4m矛盾，故f(x)非周期函数 n(二)性质1.设f(x)是以T为周期的函数，证明(1)对任意正整数 n , nT也是f(x)的周期(2) f(x)有最小正周期T,则f (x)的所有周期都是 T的整数倍注：若f(x)是定义在R上的周期函数，则(1)中n Z 证：1 1) f(x nT) fx (n 1)T T fx (n 1)T f (x)(2)设t是f(x)的任意一个周期，且t T,则存在n N,使t nT r(0 r

5、T) 若r 0,则f (x) f (x t) f (x nT r) f (x r),即 r 也是 f (x)正周期，而 r T 与 T的最小性矛盾，故r 0,t nT12 . (1)若f(x)是数集A上的周期函数，则 是数集x| f(x) 0,x A上的周期f(x)函数,，一，一一 ，一,1,一一f(x)(2)若f (x)有最小正周期T,则T也是函数的最小正周期证:(1)设T为f (x)周期，则任x A, x TA,且 f (x) 0有 f(x T)f (x)从一 11 r 11而 1，即T是的周期。f(x T) f(x)f(x)I 1，一，T不是的最小正周期，则存在 f(x)1(2)由(1)

6、知T也是的正周期，假设 f(x)1r 11T (0,T)是的周期，即 f(x T ) f (x)f(x)f(x T ) f(x)_, 一- i 一，i 一一 11即T也是f(x)的周期，且为正数，这与T是f(x)的最小正周期矛盾，所以T也是 f(x)的最小正周期3 .函数f(x)以T为最小正周期 函数F(x) f (ax b)(a 0)以T为最小正周期 aF(U)a证( 充分性)设 T是F(x)的最小正周期，令 ax b t,则f(t) ax b、f(x) F() a f(x T) F(x T b) F(xb T) F(口)f(x) aa a a假设T不是f (x)的最小正周期，若存在 0 T

7、 T是f (x)的周期,则 F(x ) fa(x ) b f(ax T b) f(ax b) F(x) aa即匚是函数F(x)的周期与已知 T是F(x)最小正周期矛盾，得证(必要性)仿充aa分性证明，略。4. (1)设y f(u)是定义在数集 A上的函数，u (x)是数集B上的周期函数，且(B) A,则复合函数y f (x)为B上的周期函数。证明：设T是 (x )的周期，则对任意 x B ,且x T B ,有(x T) (x),从而 f (x T) f (x)即y f (x)为b上周期函数推论：右 f (x)是周期函数，则 y f (x) c , y cf (x), y f (x) (c R,

8、n N )y f (x)仍为周期函数(2)若T是u (x)的最小正周期，则复合函数y f (x)的最小正周期T0 T如f(u) u2,u(x) cosx复合函数f (x) cos2 x为周期函数，且最小正周期T0,而(x) cosx最小正周期T 2 , T0 T(3)若y f (u)是数集A上具一一映射的函数，u (x)是数集B上具有最小正周期T的函数，则T也是复合函数y f (x)的最小正周期。证：由(1) T也是复合函数f (x)的周期，假设T不是y f (x)的最小正周期，则存在T (0,丁)为£ (x)的周期，即对任x B,x T 8有£ (x T ) f (x)

9、而y f (u)在A上具有一一映射，则(x T ) (x),即T是函数 (x)的周期，这与T 是(x)的最小正周期矛盾得证。(4)设3(x)与f2(x)是数集 A上分别以 Ti和T2为正周期的函数，且工2 mT1n, _ _ * 、 (m,n N ),则它们的和、差、积是 A上以mTi (或nT?)为周期的周期函数证：f (x mT1) g(x mT1) f (x) g (x nT2)f (x) g (x)f(x mTi) g(x mTi)f(x)g(x)但是，如果Ti与T2分别是fi(x)与f2(x)的最小正周期，那么 Ti与T2的最小公倍数不一定是f(x)f2(x), fi (x) f2(

10、x)的最小正周期，如 sin2 x与cos2 x的最小正周期都是22,显然，最小公倍数是，并不是sin x cos x( i)的最小正周期又如sin x的最小正周期是 2 ,显然2不是sin x sin x sin2 x的最小正周期(5)对于定义在R上的函数f(x),若总有f(x a) f(x a)(a 0),则f(x)是以2a为一个周期的周期函数，反之，若 2a 0为函数f(x)的一个周期，则必有f (x a) f (x a)推论：对于定义在 R上的函数f (x),且a, b R, a b 0 ,若有f (x a) f (x b)总成立，则f(x)是以a b为一个周期的周期函数证：()对 f

11、 (x a) f (x a),令 x a t,那么 x t a,x a t 2a,则有f(t) f(t 2a)(数代换，令x a代x代入f(x 2a) f(x)即得证)【模拟试题】(答题时间：50分钟)1 .已知为非零常数、一1 f(x)(1)设f(x )3,求证f(x)是周期函数1 f (x)2 f (x)(2)设f(x ) 3 ,求证f(x)是周期函数3 f(x)4 .已知f(x)是定义在 R上的函数，且f(x 2)1 f(x) 1 f(x), f(1) 2,求f (1999)的值。5 .已知函数f(x)定义域为R,且对于x的任意一个值都有 f (x) f (x 1) f(x 1), 求证

12、f(x)是周期函数。6 .对任意整数 x, f (x) f (x 1) f (x 1)且 f(0) 9, f (4) 93,求 f(59)的值。7 .函数f(x)在R上有意义，满足(1) f(x)为偶函数，且f(0) 1,(2) g(x) f(x 1) 为奇函数，试求 f (2000)的值。8 .已知定义在R上的奇函数 f(x)满足f(x 2) f (x 2),且f(3) 0,则方程f(x) 0在区间(0, 10)内实根的个数为()A. 2 B. 3 C. 9 D. 79 .定义在R上的偶函数f(x)恒有f(x 1) f(x 1)成立，且当x 2,3时f(x) x, 则当 x 2,0时，f(x

13、)()A. x 4 B. 2 x C. 3 x 1 D. 2 x 1-1 一， ，一 、110 设a 0, f(x)是定义在实数集 R上的函数，对一切实数 x,有f(x a)-存在正常数a,使f(x) ax (x),且(x)是以T为周期的函数。11 .定义在实数集 R上的函数f(x),对任意x,y R,有f (x y) f (x y)一 c 一2f (x) f (y)且f(0) 0,且若存在常数 c,使f() 0,试问f (x)是否周期函数， 如果是找出它的一个周期，如果不是请说明理由。12 .设f (x)与g(x)是定义在实数集 R上的函数，且满足条件(1)对任何 x, y R都有 f (x

14、 y) f (x) f (y) g(x) g(y) (*) f(0) 1(3)存在实数a 0,使f(a) 1,试问f(x)是否周期函数13 .已知f(x)是定义在R上的以2T为周期的周期函数，且在 T,T上为奇函数(偶函 数)试讨论f (x)在R上的奇偶性。E炒热美生命吗，那么别浪费时闰，因为时间是超成生命的耐5-富兰克林【试题答案】1.解：/ 、1 f(x)(1) f(x 2 )1 f(x)1 1 f(x)1 f(x)1 f(x)1 f(x)f (x)f(x)是以2为周期的周期函数f(x 2) 1fH1 f(x)1 f(x)1 f(x)1 f(x)1f(x 4 )f(x 2 )1-T- f(

15、x)f(x)f(x)是以4为周期的周期函数1汪：(1)若 f (x T)(或 f (xf(x)T)1一) f(x),则f(x)是周期函数，且2T是其一个周期;(2)若 f(x T)f(x),则f(x)是周期函数，且2T是其一个周期2.解：显然f (x) 1, f(x2)1 f(x)1 f(x)f(x)f(x 4)1 f(x 2)1 f(x 2)1 f(x)1 f(x)1 f(x)1f(x) f(x4)11f(x)f (x)f(x)的周期为81f(1999)f (249 8 7) f (7)f (3 4)而"3) f(1 2) M 3r 1 f (1999)-3 .证明：.f (x)

16、f (x 1) f (x 1) ,x R f(x1) f (x) f (x2)f (x)f(x1) f (x 3)f(x) f(x 3) 0 以x 3代换 x有 f(x 3) f(x 6) 0 由和得f(x) f (x 6),故f (x)是以6为一个周期的周期函数事实上此项为f(x T)f(x)则f(x)为以2T为周期的推论注：若f(x Ti)f(x T2),则f (x)是周期函数，且2(Ti T2)是其一个周期证：: f (x T1 T2)f(x T2 T1) f (x T2 T2)f (x)用 x Ti T2 代 *得£松 2(Ti T2)f (x Ti T2) f (x)4 .

17、解：由 f(x) f(x i) f(x i) f(x 6) f (x)(如题 3)即 6是 f(x)的周期 f (59) f (6 9 5)f (5)f(4) f (6)f(4) f(0) 93 9 i025 .解：: f(x)为偶函数 1- f ( x) f (x) f ( x i) f (x i)又 g(x) f (x i)为奇函数g( x)g(x)，即 f ( x i) f (x i)f(x i) f (x i) f (x 2) f(x) f (x 4) f (x)即周期为 4 f (2000) f (4 500)f(0) i6 .解：由f (x 2) f (x 2) f (x 4) f

18、 (x)即f (x)是一个周期为4的周期函数, 则 f(3)f(7) 0 ,又 f (x)为 R 上的奇函数，则 f (0) 0,且 f(3) f (3) 0f (8)f(4)f(0) 0, f(9)f(5) f(i) f( 3) 0因此方程f (x) 0在x (0,i0)内有根i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9共9个根，故选C。7 .解：由 f(x i) f (x i) f (x 2) f(x)即 f(x)以 2 为周期当 x 2, 1时，x 4 2,3, f(x) f(x 2) f (x 4) x 4当 x 0,1时，x 2 2,3, f(x) f (x 2) x 2,当

19、x 1,0时，x 0,1,则 f (x)f( x) 2 x,合并得 f (x) 3 x 1 ,故选 C。128.证明：f(x 2a) - f f (x a) f (x a)21 .：. f (x)f(x)21、f(x)f(x)222 . 223 -V；f(x)f(x)24Jf(x)f(x)2 f(x) f(x)22 旧 f(x) f(x)2 2 g f(x).12 一1 人f (x a) - f f (x) f (x)-令t x a1.1 f(t)即 f(x)22一1,1 f(x 2a) - (- f (x) f (x),故f (x)以2a为周期的周期函数f (x)9.分析：记(x)，只要确定

20、常数 a使(x)为以T为周期的函数 a由(x) (x T) "：) a得与 1 即a kT ax证：设(x) k Tf(x),则 f(x T且(x T) k Y f (x T)kf(x)x T akT(x)(x)(x)kf(x)k T f (x)(x)1即(x)是以T为周期的函数，令a kT即将f(x) ax (x)得证10.解：分别用 x c, & 代换 x,y,有 f(x c) f(x) 2f (x-)f (-)2222由已知 f (c) 0 f (x c) f (x) f (x 2c) f (x c) f (x)11.证：在(*)中，令 y x得 f (x x) f (x) f (x) g(x) g(x)22,由f(0)知f(x)g(x)1 ,在此式中令x a得f( a)2 g( a)2 1又由( *)可知