高中数学导数压轴30题解析(精华)

1、高中数学导数压轴30题(解答题)解答题(共30小题)1.设函数f (x) =x2+aln (1+x)有两个极值点Xi、X2,且Xi<X2,(I)求a的取值范围，并讨论f (x)的单调性；(H)证明：f (x2) > 1 - 21n2 .考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明。专题：计算题；证明题；压轴题。分析：(1)先确定函数的定义域然后求导数f/(x),令g (x) =2x2+2x+a,由题意知xi、x2是方程g (x) =0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式 f (x) >0和厂(x) <0,

2、求出单调区间；(2) x2是方程g (x) =0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式。412I解答：解：(I) F (Q =2肝告二叮法+ (Q-1)IfI 1+x令g (x) =2x2+2x+a,其对称轴为 后一.由题意知xi、x2是方程g (x) =0的两个均大于-1的不相等的实根，其充要条件为严-产？得匕.1 - 二上(1)当 x (- 1, x”时，f (x) >0, .(x)在(-1, x”内为增函数；(2)当 x6 (x1, x2)日f (x) <0,.f (x)在(x1, x2)内为减函数；(3)当 x (x

3、2, +s)日f (x) >0,.f (x)在(x2, +s)内为增函数；(II)由(I) g (0) =a>0,.a=- (2x22+2x2)f (x2) =x22+aln ( 1+x2) =x22 ( 2x22+2x 2) In (1+x2)殳 b (五)= 一( 2宣2+2不)In (Hx) (了>- "I"),则 h' (x) =2x -2 (2x+1) In (1+x) - 2x= - 2 (2x+1) In (1+x)(1)当在(一工 0)时，h' (x) >0,h (x)在 E-l, 0)单调递增；(2)当 x6 (0,

4、 +s)日t, h' (x) <0, h (x)在(0, +s)单调递减.当戈E (-春0)时，h (x) >h (-A)-产 故f &)=h (灯)>匕詈.点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题。2 .己知函数f (x) =x2e x(I )求f (x)的极小值和极大值；(n)当曲线y=f (x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.考点：利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某 点切线方程。专题：综合题；压轴题；转化思想；导数的综合应用。分析：(I)利用导数

5、的运算法则即可得出f' (x),利用导数与函数单调性的关系及函 数的极值点的定义，即可求出函数的极值；(n)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求 出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可。解答：解：(I) ; f (x) =x2e x,(x) =2xe x x2e x=e x (2x x2),令 f' (x) =0,解得 x=0 或 x=2,令 f' (x) >0,可解得 0cx<2;令 f' (x) <0,可解得 x<0 或 x>2,故函数在区间(-0)与(2, +oo)上是减函

6、数，在区间(0, 2)上是增函数.x=0是极小值点，x=2极大值点,又f （0） =0, f （2）二. c故f （x）的极小值和极大值分别为0, A.e（II）设切点为（配/J%）,则切线方程为y-迎2j*o=j% （2即- kJ） （x-X0）,m+3,工2-令y=0,解得x= y o -因为曲线y=f （x）的切线l的斜率为负数，.二均-谥）0,一。或X02,令£ Q。）二富。十1，工口 w则 f （ x J =1 - 当 X00 时，（町一2）2-20,即，（X。）0, . f （x。）在（ f 0）上单调递增，f（X。）f （0） =0;当x02时，令f' （%）

7、=0,解得吁2+.当x口2+我时 f（刈）0，函数f（乂0）单调递增；当2小2+五时，f'（x0）0,函数f （x0）单调递减.故当工广2+6时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且=戊）|=3+2近-综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（- 巴0） U|2&+3, +8）.1点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力。3 .已知函数 f (x) =lnx+x2.（I）若函数g （x） =f （x） - ax在其定义域内为增函数，求实数 a的取值范围;(H)在(I)的条件下，若 a>1, h

8、(x) =e3x - 3a者x 60, ln2,求 h (x)的极小值；(田)设 F (x) =2f (x) - 3x2- kx (k6R),若函数 F (x)存在两个零点 m, n (0< m<n),且2x0=m+n.问：函数F (x)在点(x0, F (x0)处的切线能否平行于x轴？ 若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某 点切线方程。:计算题；压轴题；导数的概念及应用。:(I)先根据题意写出:g (x)再求导数，由题意知，g' (x)由，x (0, +oo恒成立，即a< 二) 由此即可求得

9、实数a的取值范围; v imn(II)由(I)知 KW2五,利用换元法令 t=ex,则 tqi, 2,则 h(t) =t3-3at,接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h (x)的极小值；(田)对于能否问题，可先假设能，即设 F (x)在(x。，F (x。)的切线平行于x轴，其中F(x)=2lnx-x2-kx结合题意，列出方程组，证得函数尸gu-幻生生 u+1在(0, 1)上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴。.解：(I ) g (x) =f (x) - ax=lnx+x2 - ax, / (Q 二上2宣-a由题意知，g' (x)斗，对任意的x (0,

10、 +8)恒成立，即a< 二).K min又x>0,班，当且仅当 户当时等号成立二+工)心可得 x mn(n)由(I)知，1<2衣，令 t=ex,则 tqi, 2,则h (t) =t3-3at, h' (t)二3 J-拈二3石)(t - Va)由h' (t) =0,得或广一石(舍去)，,l1<a<2A 4 a,如10若 4，则 h，(t) <0, h (t)单调递减；若 4cM2,则 h' (t) >0, h (t)单调递增.当日寸，h （t）取得极小值，极小值为h=aVa - 3aVa= _ 2a>fa（田）设F （x）在

11、（x。，F （x。）的切线平行于x轴，其中F （x） =2lnx-x2kx结合题息，有21nlp - m ° - knO® 21nn - n2_ knF。 irri-n=2 乂Q -2xo-k=O一得 21n- tnrha)(皿-口)=k (m-n)听以n-2x0口一 n 口,由得中必。听以n /1 2 41)田丁)一_ urnm 4+1n设（。，1）,式变为Inu- n2J R (u£(0, 1) u+1设 y=lnu-2 (u-1)u+1听以函数.1。口_ 2.T） u+1在（0, 1）上单调递增,因此，y<y|u=i=0,即 inu-2 (u- 1)u

12、+12 C- - 1)也就是:''1+1n此式与矛盾*_ 2- 2 (u-L)_Ju+l) 2-4u_ (u- 1) Inu (u+1 2S+1) 2G2=一2=听以F （x）在（%, F（X0）的切线不能平行于x轴点评：此题是个难题.本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题 要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方 法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力。4.已知函数 f (x)=二-1 J+cx+d (a, c, d 6R)满足 f (0)

13、 =0, f' (1) =0,且 f 34 1(x)刃在R上恒成立.(1)求a, c, d的值；(2)若卜(心二个一人+力-解不等式f' (x) +h (x) <0;(3)是否存在实数m,使函数g (x) =f'(x) - mx在区间m, m+2上有最小值-5?若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.考点：导数的运算；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法。专题：计算题；压轴题。分析：(1)待定系数法求函数解析式，由f (0) =0, f (1) =0,且f (x)刃在R上恒成立列出三个方程，解出a、b、c(2) 一元二次不等式解法

14、，注意根之间比较，考查分类讨论思想(3)考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对 m进行讨论，看对称轴与区间的关系。解答：解：(1) Vf (0) =0,d=0产(亶)x+c及f (1) =0,有"之一,*" 一社是二次函数f (x)用在R上恒成立，即显然a=0时，上式不能恒成立a用，函数f' (x) =a由于对一切x6R,都有f (x)由，于是由二次函数的性质可得a。&2a+l60>0白-于2<0,解得：a=4'由 f (x) +h (x) <0,即上4当b用，解集为(之,b),当b<g时，解集为(b, 3),当bq时，解

15、集为？.耳二=), , f' ( X) ,4(x) =f；(x) -口工二该函数图象开口向上，且对称轴为 x=2m+1.假设存在实数m使函数83二产(6区间m. m+2上有最小值-5.当m< 一 1时，2m+1<m,函数g (x)在区间m, m+2上是递增的.g (m) =-5,即2口2二二一舍去当-16c 1时，m攵m+1< m+2,函数g (x)在区间m, 2m+1上是递减的,而在区间2m+1, m+2上是递增的，g (2m+1) =- 5.2 -(2nH-l) +、=-5解得21 % m=-均应舍去 当m当 时，2m+1泊+2,函数g (x)在区间m, m+2上

16、递减的g (m+2)=即日 Cnrf-2 ) * -(N111)(舟2) +二-5 .解得乐-1-2在或m=- 1+2Ml.其中m=-1-26应舍去.综上可得，当 m=-3或m=-1+2无时，函数g (x) =f' (x) - mx在区间m, m+2上有最小值-5.点评：本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题5.已知函数 f (x) = (2-a) (x-1) - 2lnx, g (x) =xe1x. (a6R, e为自然对数的底数)(I)当a=1时，求f (x)的单

17、调区间；(H)若函数f (x)在(o, 3)上无零点，求a的最小值；(田)若对任意给定的x06 (0, e,在(0, e上总存在两个不同的xi (i=1, 2),使得 f (x。=g (x0)成立，求a的取值范围.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。专题：计算题；压轴题。分析：(I )把a=1代入到f (x)中求出f' (x),令f' (x) >0求出x的范围即为函数 的增区间，令f' (x) <0求出x的范围即为函数的减区间；(II) f (x) <0时不可能恒成立，所以要使函数在(0, 士)上无零点，只需要 对x6 (0,

18、占日t f (x) >0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导 数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；(田)求出g'(x),根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出 g (x)的 值域，而当a=2时不合题意；当a及时，求出f' (x) =0时x的值，根据x (0, e列出关于a的不等式得到，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数 f (x)的单调区间，根据单调区间得到 和，令中不等式的坐标为一个函 数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的 增减性得到此函数的最大值，即可解出 恒成立和解出得到

19、，联立和 即可解出满足题意a的取值范围。解答.解：(I )当 a=1 时，f (x) =x 1 2lnx,则 f' (x) =12,由 f (x) >0,彳导 x>2;由 f' (x) < 0,彳导 0Vx<2.故f (x)的单调减区间为(0, 2,单调增区间为2, +s);(II)因为f (x) <0在区间(q, -1)上恒成立不可能，故要使函数f (x)在(0,上无零点，只要对任意的正(0, 8，f (x) >0恒成立，即对虻(。，),恒成22x T立.93Or- (x - 1)- 21nx 21nx：f- - 2令 1 (x)=2,工E

20、 (0, 3),则1 二-2.=xT2(s-l) 2(x-1) 2再令 in (k)=21nx+2-2,耳 (Oi ), K2则卜 二-32二-2(1)<0,故m (x)在 1)上为减函数，于是in (冗)>in (方.)=2 -,从而，l (x) >0,于是l (x)在(0, -j)上为增函数，所以1(K)<16)=2-41n2 ,故要使 >2-型曳恒成立，只要a62-4ln2, 十叼，x - 1综上，若函数f (x)在 9上无零点，则a的最小值为2-4ln2;(m)g' (x) =e1 x-xe1 x= (1 -x) e1 x,当x (0, 1)时，g

21、' (x) >0,函数g (x)单调递增；当x6 (1, e时，g' (x) <0,函数g (x)单调递减.又因为 g (0) =0, g (1) =1, g (e) =e?e1 e>0,所以，函数g (x)在(0, e上的值域为(0, 1.当a=2时，不合题意；./_、_ 勺 (2 - a) (K-当 a或时，f' (x) =2f-2包± 2h, x6 (0, eXXX当 x= 时，f' (x) =0.2一 4由题意得，f (x)在(0, e上不单调，故0<-<巧即Y2-22 _ d此时，当x变化时，f' (x)

22、, f (x)的变化情况如下:x(。，白) 己22 - a(二，ef' (x)一0+f (x)最小值/又因为，当x-0时，f (x) f+oo,f =a-21nFR)二(2-刁)gT) -2, 2 _ a2 - a所以，对任意给定的x06 (0, e,在(0, e上总存在两个不同的xi (i=1, 2),使得f (xi) =g (x0)成立，当且仅当a满足下列条件：f(4)日5以-4Q2 f 即 2- aH (u)| L (2 _ a) (e _ 1) - 2,1S)令 h (a) = a-a-8，2-),2 _ ae则 h,=l-2ln2-ln La) =令 h' (a) =

23、0,得 a=0或 a=2,故当aS ( - °0, 0)时，h' (a) >0,函数h (a)单调递增；当式(o, 2-)时，h' (a) <0,函数h (a)单调递减. 8所以，对任意在(-8, 2-2),有h (a)4(0) =0, e即对任意&E (-8, 2-3恒成立. e由式解得：迁厂一综合 可知，当 或(-% 2-3时，对任意给定的xoS (0, e, e - 1在(0, e上总存在两个不同的Xi (i=1, 2),使 f (Xi) =g(X0)成立.点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函

24、数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题。6.已知函数 f (x) =alnx- ax - 3 (a田).(I)求函数f (x)的单调区间;(H)若函数y=f (x)的图象在点(2, f (2)处的切线的倾斜角为45°,对于任意的 t61, 2,函数岂=J+Jf (Q +印在区间(t, 3)上总不是单调函数，求 m的 取值范围；(田)求证：><><-(n>2,N*) -234n n:利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程。:压轴题。:利用导数求函数的单调区间的步骤是 求导函数f'(x);解f'(x) >

25、;0 (或<0)；得到函数的增区间(或减区间)，对于本题的(1)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；(2)点(2, f (2)处的切线的倾斜角为45°,即切线斜率为1,即f (2) =1,可求a值，代入得g (x)的解析式，由tqi, 2,且g (x)在区间(t, 3)上总 g (i) <o不是单调函数可知：(2)于是可求m的范围./>0(3)是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上 的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解。解答:解

26、：（I） F 5） /（1-K）口>0）（2 分） 又当a>0时，f （x）的单调增区间为（0, 1,减区间为1, +s）;当a< 0时，f （x）的单调增区间为1, +s）,减区间为（0, 1;当a=0时，f (x)不是单调函数(4分)(H )产(2)二谓二 1 得 a= 2, f (x) = - 2lnx+2x - 3，艮(x)= J+ C-+2) J-2了，.g' (x) =3x2+ (m+4) x - 2 (6 分)g' (0) =-2g （x）在区间（t, 3）上总不是单调函数，且r ,gj g(t) <0>0(吩)由题意知：对于任意的t

27、q1, 2, g' (t) <0恒成立， <o所以有：,屋<。，.粤41r<-9 (10分) 屋>0(田)令 a=- 1 止匕时 f (x) = lnx+x 3,所以 f (1) = 2, 由(I)知f (x) =-lnx+x-3在(1, +°°)上单调递增， .二当 x (1, +oo)时 f (x) >f (1),即一lnx+x 1>0, /. lnx<x - 1 对一切 x 6 (1, +°0)成立，(12 分)点评:本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导

28、数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况.含参数的数 学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题。7.已知函数 f (x) =plnx+ (p- 1) x2+1.(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)当P=1时，f (x)力 恒成立，求实数k的取值范围;(3)证明：1n (n+1) <1+1十一+1(n6N+).|2 3 n考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用。专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想。I分析：利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：(1)确定f (x)的定义域；(2)求导数f / (x);(3)在函数 的定义

29、域内解不等式 (x) >0和L(x) <0;(4)确定 的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论.(二)当P=1时，f (x)去x恒成立，分离参数等价于k皿，利用导数求函X数h(x)=当空的最大值即可求得实数k的取值范围； *(三)由(二)知，当 k=1 时，有 f (x)双，当 x>1 时，f (x) <x,即 lnx<x1,令卡里士则得到1灌!<工利用导数的运算法则进行化简，然后再相加， nn n即可证得结论.解答：解：(1) f (x)的定义域为(0, +s), f' (x) =42 (p-1) -(p-l),当p育时，f'

30、(x) >0,故f (x)在(0, +oo)上单调递增；当p4时，f' (x) <0,故f (x)在(0, +oo)上单调递减；当 0cp<1 时，令 f' (x) =0,解得 x=j_y-).则当 x£ J- p )时，f'(x) >0； x E (J-1,+8)时 r (x)Y 2 (p- 1)2 (p-1)<0,故f (x)在(0, J - P )上单调递增，在P = 2)上单调递2 (p -1)V 2 (p -1)减；- x>05二当p=1时，f (x) 诲恒成立？ 1+lnx去x? kaIrx,令 h (x) =

31、1+1口, 则 k；h (x) max,h' (x)= - 1；'=0,得 x=1 ,K且当 x (0, 1), h' (x) >0；当 x6 (1, +oo), h' (x) <0；所以h (x)在0, 1)上递增，在(1, +s)上递减，所以h (x) max=h (1) =1,故k育.(3)由(2)知，当 k=1 时，有 f (x)双，当 x>1 时，f (x) <x,即 lnx<x-1,.令x=也，则1灌KL即In (门+1) -1由<£ nn nn . ln2 ln1 < 1 , InS _r In

32、(n+l) - Inn 2n相加得 1n (n+1) <1+上+. +:点评：此题是个难题.本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想。8 .已知函数 f (x) =x2+ax-lnx, aR.(1)若函数f (x)在1, 2上是减函数，求实数a的取值范围；(2)令g (x) =f (x) - x2,是否存在实数a,当x (0, e (e是自然常数)时，函数g (x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；(3)当x6 (0, e时，证明：£1号(什1) i

33、nz:利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。:计算题；综合题；压轴题。(1)先对函数f (x)进行求导，根据函数f (x)在1, 2上是减函数可得到其导函数在1, 2上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范(2)先假设存在，然后对函数g (x)进行求导，再对a的值分情况讨论函数g(x)在(0, e上的单调性和最小值取得，可知当 a=e2能够保证当x£ (0, e时g (x)有最小值3.(3)令F (x) =e2x-lnx结合(2)中知F (x)的最小值为3,再令0二上更Jx 2并求导，再由导函数在0cx至大于等于0可判断出函数？(x)在(0, e上单

34、调 递增，从而可求得最大值也为 3,即有工-1皿血44成立，即x 2/-等(招+1)1nH成立.:解：(1) f"(K)9廿 工/ J+KL 140在1 , 2上恒成立， XX令 h (x) =2x2+ax - 1，有j；得n. 、U得V 一三(2)假设存在实数a,使g (x) =ax - lnx (x6 (0, e)有最小值3, J =a-_ ax - 1x当 a硝时，g (x)在(0, e上单调递减，g (x) min=g (e) =ae-1=3,(舍e去)，当0$寸，g (x)在(0,工)上单调递减，在(L封上单调递增 a口aa吕”) =s山，+1但1a=e2,满足条件. mi

35、n a1一 当工时，g (x)在(0, e上单调递减，g (x) min=g (e) =ae-1=3, a去)，综上，存在实数a=e2,使得当x6 (0, e时g (x)有最小值3.(3)令 F (x) =e2x lnx,由(2)知，F (x) min=3.当0<x时，？'(x)由，0 (x)在(0, e上单调递增-t")R (e) =1 总<，扃T m秋丁e 22 23一1口x血当 即力之一条>(x+1) lnx.点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于 0时原函数单调递减。9 .已

36、知函数 g (x) =？-, f (x) =g (x) ax.lnx(1)求函数g (x)的单调区间；(2)若函数f (x)在(1, +°0)上是减函数，求实数a的最小值；(3)若存在xi, x2e, e2,使f (xi)号'(x?) +a,求实数a的取值范围.考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用。专题：压轴题；导数的综合应用。分析：(1)根据解析式求出g (x)的定义域和g' (x),再求出临界点，求出g' (x) <0和g' (x) >0对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；(2)先求出f (x)

37、的定义域和f' (x),把条件转化为f' (x)4在(1, +s)上 恒成立，再对f'(x)进行配方，求出在x (1, +oo)的最大彳1,再令，(x) max包 求解；16(3)先把条件等价于 当xqe, e2时，有f (x) min号'(x) max+a”，由(2)得f (x) max,并把它代入进行整理，再求f' (x)在e, e2上的最小值，结合(2) 求出的a的范围对a进行讨论：会一和分别求出f'(x)在e, e2上的单调 性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a的范围进行比较。 解答：(1)解：由得，x>0且x力，则函数g (x

38、)的定义域为(0, 1) U ( 1, +8),且 g' (x) =令 g' (x) =0, 即 lnx- 1=0, 解得 x=e,(lux) 2当 0cxee且 x力时，g' (x) <0;当 x>e时，g' (x) >0,函数g (x)的减区间是(0, 1), (1, e),增区间是(e, +s),(2)由题意得函数f (x) =1- -ax在(1, +°°)上是减函数， Lnxf' (x) = nTa4在(1, +oo)上恒成立，(lnx) 2即当 x6 (1, +oo)时，1(x) max二即可,卜- E0,

39、得故a的最小值为二.当/-即，即x=e2时, lnx L 命题 若存在xn x2 e, e2,使f (xj 4' (x2) +a成立”等价于当 x6e, e日寸，有 f (x) minW (x) max+a ,由(2)得，当 xqe, e2时，J G)m"，则/ Q)3=4,J 7max 44故问题等价于： 当xqe, e2时，有f 3 皿S!"，当目十寸，由(2)得，f (x)在e, e2上为减函数，2则£ 亦"2)_泣0:故仇3Z4金 4亡亡I4 M 2当加，由于f' (x)=-(合9 +-立在上，e2上为增函数，故 f' (

40、x)的值域为f' (e), f' (e2),即 a,工-a.4若-a。即a4，f' (x)刃在e, e2恒成立，故f (x)在e, e2上为增函数,于是,man,不合题意.(ii)若一a<0,即 0c,由f' (x)的单调性和值域知,存在唯一 X06 (e, e2),使 f' (x0) =0,且满足:26当 x (e, xo)时，f' (x) <0, f (x)为减函数；当 x6 (x0, e2)时，f' (x) >0, f (x)为增函数;所以,f (x) min=f (x。)=所以,综上,a> -1 口不得A1

41、Ine2 肥冷-甘，与0V4矛盾，不合题意.点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等知识，考查了分类讨论思想和转化思想，计算能力和分析问题的能力。10 .已知函数 f (x) =x3+3|xa| (a6R).(I )若f(x)在-1,1上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m (a);(H)设b£R,若f (x) +b2q对xq-1, 1恒成立，求3a+b的取值范围.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用。专题：压轴题；导数的综合应用。分析：(I)利用分段函数，结合-1, 1,分类讨论，即可求M (a) - m (a);/ 、人 I /、

42、工 /、 I I /、 I - 3a+K. f3z2+3, X日(H )令 h (x) =f (x)+b,则 h (x) =，h (x)=则f (x) +b2q对x6-1, 1Hs成立，转化为-2由(x) 4对xq-1, 1恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围.:解：(I ) : f (x) =x3+3|x- a|=f' (x) a<- 1 时， 144 ,x刃，f (x)在(-1, 1)上是增函数,.M (a) =f (1) =4 3a,m (a) =f ( 1) = 4 3a, M (a) - m (a) =8;-1<a< 1 时，x (a, 1), f (

43、x) =x3+3x-3a,在(a, 1)上是增函数；x (-1, a), f (x) =x3-3x+3a,在(-1, a)上是减函数， . M (a) =maxf (1), f (1) , m (a) =f (a) =a3, . f (1) - f (-1) =6a+2,. .-1<a<|时，M (a) - m (a) =-a3-3a+4; -1 <a< 1 时，M (a) m (a) = a3+3a+2;a当时，有xef (x)在(-1, 1)上是减函数， .M (a) =f (-1) =2+3a, m (a) =f (1) = - 2+3a,3太“十3, k心3工？

44、-3, M (a) - m (a) =4;人i.了+3工33r+b, 丑)令 h (x) =f (x) +b,贝1J h (x) =，h (x)=-3x+3a+b, x<a, f (x) +b2q 对 x6 - 1, 1恒成立,. 2需(x) V 对 x6 1, 1恒成立,由(I )知，aw- 1时，h (x)在(-1, 1)上是增函数，最大值 h (1) =4-3a+b,最小直 h (1) = 4 3a+b,贝！J 4 3a+t) 2 且 4 3a+b 攵矛盾;-l<a<1时，最小值 h (a) =a3+b,最大值 h (1) =4 - 3a+b,a3+b* 2 且 4-3

45、a+b4，令 t (a) =-2-a3+3a,贝U t'(a) =3 3a2>0, t (a)在(0,工)上是增函数，t 3(a) >t (0) =-2,- 2<3a+b包；-< a< 1 时，最小值 h (a) =a3+b,最大值 h ( - 1) =3a+b+2,则 a3+b> 2 且 3a+b+24,.-&< 3a+b4；，27， a当时，最大值 h(-1) =3a+b+2,最小值 h (1) =3a+b- 2,贝U 3a+b- 2/ 2 且 3a+b+22 .3a+b=0.综上，3a+b的取值范围是-2a+b也.点评：本题考查导

46、数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学 思想，难度大。11.已知函数 f (x) =x alnx, g (x) = -(aR).(I )若a=1,求函数f (x)的极值；(H)设函数h (x) =f (x) - g (x),求函数h (x)的单调区间；(田)若在1, e (e=2.718)上存在一点x0,使得f的)< g (x0)成立，求a的取 值范围.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想。分析：(I)先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间

47、进而求出函数f (x)的极值；（n）先求出函数h （x）的导函数，分情况讨论让其大于 0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（田）先把f （X0）<g（X0）成立转化为h （X0）<0,即函数二尹上包-Elmc X在1, e上的最小值小于零；再结合（H）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围。解答:解：（I） f （x）的定义域为（0, +s）, （1分）当 a=1 时，f （x） =x lnx, p （乂）- 1二（2 分）x(0, 1)1(1, +°°)f (x)0+f (x)极小(3分)所以f (x)在x=1处取得极小值1. (4

48、分)(H ) h (x)二X+一 aims,工 一 1+a a x2 - ax - (1+a)Cx+1) x 一 (Ha) /<h (k) -1. - 7 -=;=鼻 (6 分) 当 a+1>0 时，即 a> - 1 时，在(0, 1+a)上 h' (x) <0,在(1+a, +)上h' (x) >0,所以h （x）在（0, 1+a）上单调递减，在（1+a, +s）上单调递增；（7分）当 1+a硝，即 aw 1 时，在（0, +oo）上 h' （x） >0,所以，函数h （x）在（0, +s）上单调递增.（8分）（III）在1 , e

49、上存在一点x0,使得f （x0） < g （x0）成立，即在1 , e上存在一点x0,使得h （x0） <0,即函数h （西）-己In工在1, e上的最小值小于零.（9分）由（n）可知 即1+a至，即a至-1时，h (x)在1 , e上单调递减，所以h (x)的最小值为h (e),2由h Q)二叶玛-3c。可得己ee - 1|2因为二 e - 1所以臼*; (10分)e - 1当1+a4，即a4时，h (x)在1 , e上单调递增，所以h (x)最小值为h (1),由h (1) =1+1+a<0可得a< - 2; (11分) 当1<1+a<e,即0<a

50、<e-1时，可得h (x)最小值为h (1+a),因为 0<ln (1+a) < 1,所以，0<aln (1+a) < a故 h (1+a) =2+a - aln (1+a) >2此时，h (1+a) <0不成立.(12分)2 , d综上讨论可得所求a的范围是： Aj或a< -2. (13分)e - 1点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值.在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值。12 .已知函数f (x) =ax3+bx2- 3x (

51、a, b6R)在点(1, f (1)处的切线方程为y+2=0.(1)求函数f (x)的解析式；(2)若对于区间-2, 2上任意两个自变量的值x1, x2都有|f (xD - f (x2)|W,求实数c的最小值；(3)若过点M (2, m) (m)可作曲线y=f (x)的三条切线，求实数m的取值范围.考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程。专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想。分析：(1)由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立 a, b的方程，然后求解 即可；(2)由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f (xi) - f(X2) |，

52、可以转化为 求函数在定义域下的最值即可得解；(3)由题意，若过点M (2, m) (m及)可作曲线y=f (x)的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解。解答：解：(1) f' (x) =3ax2+2bx-3. (2 分)根据题意，得二年解得得所以 f (x) =x3- 3x.(2)令 f' (x) =0,即 3x2 - 3=0,得 x=4当x 6 ( - 1)时，f' (x) >0,函数f (x)在此区间单调递增；当x6 ( - 1, 1)时，f' (x) <0,函数f (x)在此区间单调递减因为 f ( 1) =2, f

53、 (1) = 2,所以当 xq-2, 2时，f (x) max=2, f (x) min= - 2.则对于区间-2, 2上任意两个自变量的值x1, x2,都有|f (x1)-f (x2)|斗f (x)max 一 f (x) min|=4,所以 CN.所以c的最小值为4.(3)因为点M (2, m) (m团 不在曲线y=f (x)上，所以可设切点为(x°, y°). 则 y0=x03 - 3x°.因为f (x。)=3x02-3,所以切线的斜率为3x02-3.则3x" 3二"3打叼-2即 2x。36xo2+6+m=O.因为过点M (2, m) (m

54、史)可作曲线y=f (x)的三条切线，所以方程2x。3-6xo2+6+m=O有三个不同的实数解.所以函数g (x) =2x3-6x2+6+m有三个不同的零点.则 g' (x) =6x2- 12x.令 g' (x) =0,则 x=0 或 x=2.当x6 ( - °0, 0)时，g' (x) >0,函数g (x)在此区间单调递增；当x (0, 2)时，g' (x) <0,函数g (x)在此区间单调递减；听以，函数g (x)在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足:g CO? >0g (2) <0

55、64m>0-24m<0,解得6cm<2.:(1)此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了数学中重要的方程的思想;(2)此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值；(3)此题重点考查了数学中导数的几何含义，还考查了函数解的个数与相应方 程的解的个数的关系。13 .已知函数 f (x) =ax- 1 - lnx (a6R).(1)讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x)在x=1处取得极值，对？x6 (0, +s), f (x)力x-2恒成立，求实数b的取值范围；(3)当x>y>e- 1时，求证:In

56、 51)考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题。专题：综合题；压轴题；导数的综合应用。分析：(I)产(肾)二3一一二的极值点的个数。由此进行分类讨论，能求出函数f (x)在定义域内(H)由函数f (x)在x=1处取得极值，知a=1,故f (冥)>bx - >|>,X X由此能求出实数b的取值范围(田)由 .牛 >七：，令g(内.,则只要证In lv+1 JLn Im+1 )Ln ly+1 JIn (.x+U明g (x)在(e-1, +s)上单调递增，由此能够证明 oF J?。In Ly+1J解答：解：(I) F (Q=a-1立 i i当a4时，f (x) <

57、;0在(0, +s)上恒成立，函数f (x)在(0, +°°)单调递减，f (x)在(0, +s)上没有极值点；当a>0时，f (x) <0得。工工f (x) >0得工工 aa.f (x)在0 上递减，在上。)上递增， aa即f (x)在行工处有极小值. a当a4时f (x)在(0, +s)上没有极值点，当a>0时，f (x)在(0, +s)上有一个极值点.(4分)(注：分类讨论少一个扣一分.)(H) :函数f (x)在x=1处取得极值， a=1,(5分)二 F (耳)一 2台id -(6 分)K M令区=1+t一手，可得g (x)在(0，e2上递减，在e2, +8)上递增，(8分)必；居(/) =1-七，即b4l-告.(9分)(HI)证明：一¥In (d-l) ex ，h>e-In (