高中数学讲义微专题16含参数函数的单调区间

1、欢迎加入高中数学精品资料群284110736,每天都有资料更新！联系微信shouyu2018微专题16含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单倜区间。即确定定乂域一求出导函数一令f (X )>0解不等式一得到递增区间后取定义域的补集(减区间)一单调性列出表格2-求含参函数单调区间的实质一一解含参不等式，而定义域对 X的限

2、制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定(1)分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式： x-a>0,其解集为(a,依)，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数a为何值，均是将a移到不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式x2-a>0,第一步移项得：x2 a a(同样无论a为何值，均是这样变形)，但是第二步不等式两边开方时发现a的不同取值会导致不同结果，显然a是负数时，不等式恒成立，而 a是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨

3、论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。(2)分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先 要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式x2 >a , a所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a的符号进行分类讨论。(3)当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解(4)当参数a扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考

4、虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。1 一例如：解不等式：(ax1 xx1 )>0,可得：x1 = (a¥0),x2 =1此时a扮演两个角 a色，一个是x的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定x1的大小，进而要和*2来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以 x系数的正负，进行分类。当a <0时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于a <0,以此为前提x1<0<1 = x2,故小大根不存在问题，解集为-1,1a,当a =0时，不等式变为 (x 1)a0= x(*,1)当a >0时，不等式解集为小大根之

5、外，而x1 = >0,x2 = 1,不，*2的大小由a的取值决a定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。(重视的对比) 一1x1 >x2= 0 <a <1时，不等式解集为（-°0,1 ）U .一，依 a2x1 = x2 = a =1 时，不等式化为（x -1 ） A 0= x = 1x1 <x2 n a >1时，不等式解集为关注公众号”品数学“，一起学数学吧!希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。二、典型例题：1 一x-例1 ：已知函数f (x )=+ ln x ,求f (x)的单调区

6、间ax解：定义域x三。二12 ax1 ax-1r =2x axax-1令f (x0 ,所解不等式为>0a,一一一1当a>0时，即解不等式ax-1>0=> x>-a二f (x )的单调区间为:xr 1)0,一 I a；1 一 , la)f (X)+f (X)当 a<0时，ax_1<0,a<0，f(x)>0恒成立f (x)为增函数：3例 2：已知函数 f (x )=ax -3x +1-一a1(1)若f x的图像在x = -1处的切线与直线 y=x+1垂直，求实数a的值3(2)求函数f(x )的单调区间1斛：(1)由切线与 y = x+1垂直可得

7、：f (一1)=32f x = 3ax 6x f ：；： -1 =3a 6 =3 =a = 1(2)思路：导函数f (x) = 3ax2 -6x ,令f (x)>0解单调增区间，得到含参不等式。分类 讨论时注意a扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根解：f' (x ) = 3ax2 -6x 令 f' (x )A0即 3ax26x A03x ax-20小八2 a >0 x1 =0,x2 =一 ,x2 >x1 (将a的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用a件，在本题中使用 a > 0的条件使得x1,x2大小能够确定下来，避免了进

8、一步的分类) f (x)的单调区间为:x(-°0,0 )2 2) 3J<2)I- +oC | la, )f (x)+f (x)D a <0 ,*2<、,f(x)的单调区间为:x22 )1 ,1 a；2八1 一 ,0la)(0,收)f (X)+f (X)D2例3：已知函数f (x )=2ln x ax ,求f (x)的单倜区间解：定义域：x三0, ,二2 -2 -2ax2 -2 一f (x )= 2ax =,令 f (x )> 0 ,可得：2 2ax > 0xx即 ax2 <1r -21当 a>0时，x < =xW|0,a I a J二f

9、 (x )的单调区间为:x。句 1 0,1 a),收1a )-'.f (X)十f (x)nn当a =0时，f (x ) = 2ln x为增函数当 a<0时，f (x) = 2-2ax=-2ax >0恒成立 f(x)为增函数 xx例4：讨论函数f (x ) = (a+1 )ln x+ax2+1的单调区间/c 2/a 1 小 2ax a 1斛：f x = 2ax =令 f xj、0xx22即2ax +a +1 a0= 2ax > -(a +1 )(注意定义域为(0,+°0 ),所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式)2 a 1 a>0时 x >-

10、(求解x需要除以2a后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从2a的2a符号入手)a 1* a >0<0 f (x )>0恒成立，f (x)在(0,依 评倜递增2aa = 0函数f (x ) = ln x +1为增函数2 a 1a 1 a<0时 x2一 (下一步为开方出解集，按 -的符号进行再分类)2a2a、“ a . 1.，. ,一 ,当 £0即291时，f (x户0恒成立，f (x)在(0,+=c)单倜递减2a, a 1 一一a 1当一:>0即 一1 <a <0时，解得：0<x<|2a- 2aa f (x)的单调区间为:x,0,

11、3I V 2a J 1 a +1'j 2a ,)f (X)+f (x)nn小炼有话说：本题定义域为 (0,十g)，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在-1<a<0时，表格中自变量的区间是从xa0处开始分析的2一 例5：已知函数f (x ) = x+a(2 -ln x ),讨论f ( x )的单倜性x解：定义域为 0, 二,2 a x -ax 2.,2f (x) = 1+ =2 令 f (x)>0 即 x ax+2A0x

12、 x x考虑A = a2 -8 (左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与x轴有交点)AMOn 2j2Wa W2无时x2ax+2之0恒成立，故f (x )在(0,收)单调递增 a>272时x2ax+ 2 =0 的解 x1= aa8,x2=-a8x1,x2A 022 f (x )的单调区间为:x'0 a 7a2 8 a 7a2 -8 a + Ja2 -8I 2,2 Jja+Ja2-8 "I 2' J-'.f(X)+f (X) a-2.2 时x1, x2 ： 0 . 1x 三0，£)f x p 0,x2 -ax+2 a0的解集为 0,a - Va2

13、 -82U I a+Va2 -8f (x近(0,依评调递增小炼有话说：本题亮点在于的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除x1，x2 = 2,说明两根同号,了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。而xi + x2 = a ,说明a的符号决定xi, x2的正负，从而在 0>0的情况下进行再次分类讨论0/a例6：已知函数f(x) = e a+a+1 其中a之1. lxJ(1)当a = 1时，求曲线y = f (x )在点(1,f (1)处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间.解：(1) f(x) = exT + 2j f'(x) = ex,T+22

14、j xx x一 一 一' 一 . . 一 一 ._f 1 = 3e, f 1 = 2e 切线方程为：y - 3e = 2e( x -1),即 y=2ex + e,x#0 ,(2) f x =aeax令 f (x )0 ,即解不等式：a(x+1 )(a+1 )x-1 j>0当a = 1时，解得：x>-1 ,故f (x )的单调区间为:x(-°0,-1)(-1.0)(0,Z)_ '.f (x)+f (X)D11 当1 <a <0时 x1 = 1,x2>0,所以解得：1 <x< a 1a 1故f (X)的单调区间为:x(-00, -

15、1 )(-1,0)I a+1jr 1上) ，la 十 1J-'.f(X)+f (X)nnna =0,则f (x) = 1 ,常值函数不具备单调性x(-°0, -1 )(-1,0)1 1) ，la +11-，f (X)+f (X)nunn_，八1a>0时，解得：x<1或xaa 1故f (x)的单调区间为:1 2例7：已知函数f(x) = x +axa ln (x+1 / a = R ).求函数f(x)的单倜区间.ax2 - 1 a 1 x x x a 1x 1 x 1x 1令 f' (x )>0 ,即 x(x + a +1 )> 0,x1，x2的

16、大小， x2是否在定义域内，以为目标分类)x1 =0, x2 =(a+1)(参数 a 角色： x2 Axi =(a+1 )>0即 a c-1(此时一(a+1定在定义域中，故不再分类)不等式的解集为 1 <x <0或x a (a+1 )二f(x)的单调区间为:X(-1,0)(0,-(a+1»(-(a + 1)," ),-f (x)+f (x)'2 x2=x1=a=1 f(x)= x 至0 二 f(x)在(一1,收)单倜递增x2 <x1 =0= a >-1,要根据x2是否在(-1,0 )进行进一步分类当1<a<0时，x2w(0,

17、1)不等式的解集为 xa0或1<x<(a + 1)二f (x)的单调区间为:x(-1,-(a+1)<-(a+1),0)(0,收)一.f (x)+f (X)当a20时，则x+a+1 >0,不等式的解集为 x>0，,二f(x)的单调区间为:x(-1,0)(0,+°0 )一，f (x)+f (x)小炼有话说：(1)在求单调区间时面临一个 f'(x )=0的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。(2)体会参数起到多重作用时，是如何进

18、行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。例8：已知函数f (x )=lnx - ax2 +(a -2 )x ,求f (x)的单调区间22ax r.a -2 x -12x T ax 1解：定义域1x|x 0?. ,1八八f x = 2ax'a -2 x = - x令 f'(x)A0,即解不等式(2x 1 Xax + 1 )<0，一1(1)当a至0时，可得ax+1 >0 ,则不等式的解为 x <2二f (x )的单调区间为:x(1) 0,12)1)1 一 ,12, J-'f (X)+f (x) 一 11(2)当 a < 0 时，x1

19、 = , x2 = 2 aG，一 11一 . 一 1 . 一1 x1 >x2 时，即->-=> a < -2,解得 *>一或0<*<一-2 a2a二f (x)的单调区间为：x11、l°F(1 11 a,2j12,)-'.f (x)+f (X)D2x -1x1 = x2 = a = -2 ,代入到f (x ) => 0恒成立 二f (x )为增函数小_1 ,1 x1 < x2 = -2 < a < 0,解得：*>一一或0<*<-a2二f (x )的单调区间为:x。11I ,2，八1 1 一,12, ajla， )f (x)+f (x)D132-.例9：及函数f (小滑+2axn-4花，0,求f(x)的单调区间;解：f (x ) = ax2 +4ax +1 2a ,令 f (x)>0 即 ax2 +4ax + 1 -2a > 0：-16a2 - 4a 1 - 2a = 24a2 -4a = 4a 6a -1一、八 八1,'