概率论及其在工程技术中的应用

1、班 级 学 号 题 目 概率论及其在工程技术中的应用 学 院 专 业 学生姓名 导师姓名 毕业设计（论文）诚信声明书本人声明：本人所提交的毕业论文概率论及其在工程技术中的应用是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果，均在论文中加以说明；有关教师、同学和其他人员对本文的写作、修订提出过并为我在论文中加以采纳的意见、建议，均已在我的致谢辞中加以说明并深致谢意。本论文和资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。论文作者： （签字） 时间：2012年05月18日指导教师已阅： （签字） 时间：2012年05月18日毕业设计（论文）任务书学生姓名 学

2、号 指导教师 职称 学院 专业 题目名称 概率论及其在工程技术中的应用 任务与要求本课题主要现场总线适配器的设计，完成RS232到RS485、RS232到CAN、RS485到CAN等之间的通信适配。要求：1、 了解各种通信协议，设计现场总线适配器方案；2、 根据系统方案，设计电路原理图和pcb；3、 调试电路，确定电路参数；4、 设计相应软件，并进行调试。开始日期 2012年1月15日 完成日期 2012年5月20日 院长（签字） 2012年 月 日注：本任务书一式两份，一份交学院，一份学生自己保存。毕业设计（论文）工作计划学生姓名 学 号 指导教师 职 称 学 院 专 业 题目名称 概率论及

3、其在工程技术中的应用 一、毕业设计（论文）进度起 止 时 间 工 作 内 容1.15 3.5 确定指导教师，选定毕业论文题目3.5 3.18 检索、阅读相关技术资料，方案研究3.18 4.1 提交开题报告和写作提纲4.1 4.15 收集资料，数据分析4.15 4.25 撰写毕业论文，提交初稿、修改稿、定稿4.25 5.20 毕业论文答辩二、主要参考书目（资料）1魏宗舒等. 概率论与数理统计教程M. 高等教育出版社，1983(10):1501512薛留根. 概率论解题方法与技巧M. 北京：国防工业出版社，1996: 5153龙永红. 概率论与数理统计M.高等教育出版社，2003: 1304Gua

4、ngming Pan, Baiqi Miao, Baisuo Jinb.Central limit theorem of random quadratics forms involving random matrices J. Statistics & Probability Letters, 2008, (78):8048095 Rafa Kapica, Janusz Morawiec. Probability distribution functions of the Grincevicjus series J. J. Math. Anal. Appl, 2008( 3421):3

5、8013876陈雪松. 构造概率模型,巧解数学问题J.中学数学，2007，9：20447王志林，田丽娜. 概率思想在某些数学问题中的应用J. 高等数学研究，2007，10(16)：24278冯克永. 用“概率眼光”看问题J.数学教学通讯，2006，(249)：53549乔希民. 几个代数问题的概率模型J.数学通讯，2005，(1)：171810余宏旺. 概率论思想方法在代数中的应用J. 安徽农业技术师范学院学报，2001 ，15(1)：545611荀玉德 尚桂安. 巧构概率统计模型解题J. 高中数理化，2007，(5)：111212徐传胜. 概率模型的构造及应用探微J. 数学通讯，2003，(

6、5)：1516三、教师的指导安排情况（场地安排、指导方式等）检索、阅读资料期间，可以在图书馆、自习教室进行；设计、实验阶段场地在实验室每周老师和每个毕业设计同学至少讨论一次四、对计划的说明注：本计划一式两份，一份交学院，一份学生自己保存（计划书双面打印）毕业设计（论文）中期检查表学 院专 业学生姓名学 号班 级导师姓名职 称单 位题目名称概率论及其在工程技术中的应用检 查 内 容检 查 结 果题目是否更换及更换原因否学生出勤情况出勤正常进 度 评 价（完成总工作量的百分比）60%质量评价、进度描述初步完成硬件及软件调试总 体 评 价（按优、良、中、及格、不及格五挡评价）良存在的问题与建议抓紧时

7、间完成后续问题，写好毕业论文学 院 审 核（盖章）注：此表由指导教师填写，中期检查成绩将作为毕业设计总成绩的一部分；此表装订入毕业设计（论文）中。毕业设计（论文）成绩登记表学 院专 业姓 名学 号成 绩题目名称概率论及其在工程技术中的应用指导教师职 称指导教师评语及对成绩的评定意见签名 年 月 日评阅人评语及成绩评定意见签名 年 月 日答辩小组意见签名 年 月 日学院答辩委员会意见答辩委员会主任签名 （学院盖章） 年 月 日注：学院、专业名均写全称；成绩登记表双面打印摘 要概率论是大学数学的重要必修基础课程，蕴含着丰富的数学思想方法，同时给我们提供了应用广泛而又有效的数学软件。基于现代教育体系

8、注重对学生应用能力和动手能力的培养，概率方法在众多学科的应用已越来越受到重视。本文主要探究巧构概率模型的一些应用，并综合考虑这类方法，发现和总结概率方法在应用上的一些规律。学好概率论，并应用概率知识解决现实工程技术问题已是我们必要的一种生活素养。关键词：概率论；概率模型；工程技术；现实问题ABSTRACTProbability Statistics is an important fundamental knowledge of significant basic compulsory subject in college mathematics.The abundant mathematic

9、al thinking it contained providing us a broad and effective application of mathematical software. Base on the importance of cultivating students ability and the practical capacity in contemporary educational system, probability methods applied in many disciplines are concerned greatly. Some applicat

10、ions of probability model and the probability distribution in the elementary mathematics are investigated in this article. Moreover, comprehensive consideration and summary are given for the common law of application of this method. Learn probability, and applied probability knowledge solving realis

11、tic problem is already a life we necessary accomplishment.Keywords: Probability theory probabilistic model Engineering question of reality目 录第一章 绪论11.1 概率论的发展简史1 1.1.1 概率论的起源1 1.1.2 概率论在实践中曲折发展1 1.1.3 概率论理论基础的建立1.2 概率论公理化体系的建立1.3 现代概率论 1.3.1 现代概率论内容 1.3.2 现代概率论的应用第二章 概率模型12.1 概率模型的定义12.2 概率模型的应用1 2.

12、2.1 巧构概率模型，解方程组 2.2.2 巧构概率模型，求最值 2.2.3 巧构概率模型，求变量取值范围 2.2.4 巧构概率模型，求和 2.2.5 巧构概率模型，分析现实问题第三章 概率模型在工程技术中的应用113.1 传送系统的效率113.2 轧钢中的浪费第四章 结论14.1 本文的总结14.2 进一步的工作致谢参考文献第一章 绪 论1.1 概率论的发展简史17、18世纪，数学获得了巨大的进步。 数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里得

13、几何相形见绌"的若干重大成就之一。1.1.1 概率论的起源 概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。 概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"。该问题可以简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得

14、2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注， 两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况： 情况           胜者 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙 前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的

15、机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。1.1.2 概率论在实践中曲折发展 在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基

16、础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。 1.1.3 概率论理论基础的建立 概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的推测术。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的"大数定律"。所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关

17、系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。 为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。1.2概率论公理化体系的建立早在拉普拉斯给出概率的古典定义之前，人们就提出了几何概率的概念，这是研究有无穷多个可能结果的随机现象问题的，着名的布丰（曾译蒲丰）投针问题 （1777）就是几何概率的一个早期例子。19世纪，几何概率逐步发展起来。但到19世纪末，出现了一些自相矛盾的结果。以着名的贝特朗悖论为例：在圆内任作一弦，求其长超

18、过圆内接正三角形边长的概率。此问题可以有三种不同的解答：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于 1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。设所有交点是等可能的，则所求概率为 1/2。 由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°120°之间，其长才合乎要求。设所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。弦被其中点位置惟一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。设中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。这个问题之所以有不同解答，是因为当一随机试验有无穷多个可能结果时，有时很难客观地规定“等

19、可能”这一概念。这反映了几何概率的逻辑基础是不够严密的。几何概率这类问题说明了拉普拉斯关于概率的古典定义带有很大的局限性。当严密的概率公理化系统建立后，几何概率才能健康地发展且有广泛的应用。虽然到了19世纪下半叶，概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严格化。这种情况既严重阻碍了概率论的进一步发展和应用，又落后于当时数学的其他分支的公理化潮流。1900年，D。希尔伯特在世界数学家大会上公开提出了建立概率论公理化体系的问题，最先从事这方面研究的是（J。-）H。庞加莱、（F。-é。-J。-） é。波莱尔及。伯恩

20、斯坦。关于概率论与测度论有联系这一重要思想就出自波莱尔。伯恩斯坦于1917年构造了概率论的第一个公理化体系。20年代以后，相继出现了 J。M。凯恩斯及R。von米泽斯等人的工作。凯恩斯主张把任何命题都看作是事件。例如，“明天将下雨”，“土星上有生命”，“某出土文物是某年代的产品”，等等。他把一事件的概率看作是人们根据经验对该事件的可信程度，而与随机试验没有直接联系，因此，通常称为主观概率。从凯恩斯起，对主观概率提出了几种公理体系，但没有一种堪称权威。也许，主观概率的最大影响不在概率论领域自身，而在数理统计学中近年来出现的贝叶斯统计学派。和主观概率学派相对立的是以米泽斯为代表的概率的频率理论学派

21、。米泽斯把一事件的概率定义为该事件在独立重复随机试验中出现的频率的极限，并把此极限的存在性作为他的第一条公理。他的第二条公理是，对随机选取的子试验序列，事件出现的频率的极限也存在并且极限值相等。严格说来，这第二条公理没有确切的数学含义。因此，这种所谓公理化在数学上是不可取的。此外，象某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，在米泽斯理论中是无法定义的。这种频率法的理论依据是强大数律，它具有较强的直观性，易为实际工作者和物理学家所接受。但随着科学的进步，它又已逐渐被绝大多数物理学家所抛弃。20世纪初完成的勒贝格测度（见测度论）和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论，

22、为概率论公理体系的确立奠定了理论基础。人们通过对概率论的两个最基本的概念即事件与概率的长期研究，发现事件的运算与集合的运算完全类似，概率与测度有相同的性质。到了30年代，随着大数律研究的深入，概率论与测度论的联系愈来愈明显。例如强、弱大数律中的收敛性（见概率论中的收敛） 与测度论中的几乎处处收敛及依测度收敛完全类似。在这种背景下，柯尔莫哥洛夫于1933年在他的概率论基础一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系。这一公理体系着眼于规定事件及事件概率的最基本的性质和关系，并用这些规定来表明概率的运算法则。它们是从客观实际中抽象出来的，既概括了概率的古典定义、几何定义及频率定义的基

23、本特性，又避免了各自的局限性和含混之处。这一公理体系一经提出，便迅速获得举世的公认。它的出现，是概率论发展史上的一个里程碑，为现代概率论的蓬勃发展打下了坚实的基础。1.3现代概率论由于科学技术中许多实际问题的推动以及概率论逻辑基础的建立，概率论从20世纪30年代以来得到了迅速的发展。1.3.1 现代概率论内容 目前其主要研究内容大致可分为极限理论，独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程和时间序列，鞅和随机微分方程，点过程等。此外，包括组合概率（用组合数学方法解决只涉及有限个基本事件的概率问题）、几何概率等在内的一些属于古典范畴的问题，至今仍有人在继续研究，并有新的发展。 极限理论是研究与随机变量

24、序列或随机过程序列的收敛性有关的问题的理论。20世纪30年代以后，有关随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列和更一般的弱相依序列等情形，以及研究收敛速度问题。近年来，由于统计力学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。自1951年M。唐斯克提出不变原理（见随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的一个中心课题。普罗霍洛夫及A。B。斯科罗霍德在这方面作出了最主要的贡献。1964年V。斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结

25、果的证明得到简化和统一处理，并且还导致一些新的结果。人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松过程，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响。在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的

26、分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942 年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。近年来，鞅论方法也已渗透到马尔可夫过程的研究中，它与随机微分方程结合在一起，已成为目前处理多维扩散过程的工具。此外，马尔可夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。对马尔可夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。最近十多年发展起来的吉布斯随机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理的需要而提出的。许多自然的和生产过

27、程中的随机现象表现出某种平稳性。一种平稳性是过程在任意一些时刻上的联合概率分布随时间推移不变，这种平稳性称为严平稳性。严平稳过程的研究与遍历理论有密切的联系。如果上述对概率分布的要求放宽为仅对二阶相关矩的要求，即过程在任意两时刻上的协方差随时间推移不变，则称这种平稳性为宽平稳性。关于宽平稳过程的研究，辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，在40年代已经找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完满地解决了有应用意义的预测问题。许多应用问题还要求根据观测数据去建立这些数据所来自的随机过程的模型。为此产生了时间序列分析这一课题，提出了宽平稳序列的自回归滑动平均（ARMA

28、）模型以及一些非线性模型。鞅是另一类重要的随机过程。从20世纪30年代起，莱维等人就开始研究鞅序列，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。40年代到50年代初，杜布对鞅进行了系统的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。1962年，P。A。迈耶解决了杜布提出的连续时间的上鞅分解为鞅及增过程之差的问题。在解决这个问题的过程中，出现了很多新鲜而深刻的概念，使鞅和随机过程一般理论的内容大大丰富起来。鞅的研究丰富了概率论的内容，并引起人们用它所提供的新方法新概念对概率论中许多经典的内容重新审议，把以往认为是复杂的东西纳入鞅论的框架而加以简化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对

29、布朗运动的随机积分推广到对一般鞅乃至半鞅的随机积分；因而，更一般的随机微分方程的研究也随之发展。随机微分方程理论不仅可以用来研究马尔可夫过程，它还是解决滤波问题的必要工具。最近出现的流形上的随机微分方程又和微分几何及分析力学的研究发生了密切的联系。鞅论还对本学科以外的位势理论、调和分析及复变函数论等提供了有用的工具。点过程是从所谓计数过程发展出来的，它们的特点是，可用落在不相重叠的集合上的随机点数目的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。最基本的计数过程是泊松过程，1943年，C。帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题；1955年，辛钦又以严密的数学观点作了整理和发展。在60年代以

30、前，点过程的研究主要限于泊松过程及其推广的过程。以后，由于大量实际问题的需要以及随机测度论和现代鞅论的推动，进一步把实轴上的点过程（即计数过程）推广到一般的可分完备度量空间上，在内容和方法上都有根本性的进展。1.3.2 现代概率论的应用 概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。概率论作为数理统计学的理论基础是尽人皆知的。下面简略介绍一下概率论本身在各方面的应用情况。在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象，在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用

31、到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。随机过程理论所

32、提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生克模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。排队过

33、程一般不是马尔可夫型的。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚，然后采取办法消除干扰。这是信息论的主要目的。噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什么样的手段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到概率论方法。概率论进入其他科

34、学领域的趋势还在不断发展。值得指出的是，在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已经有很好的结果。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”第二章 概率模型2.1 概率模型的定义现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。用随即变量和概率分布描述随机因素的影响，建立的随

35、机模型-即概率模型。2.2 概率模型的应用2.2.1 巧构概率模型，解方程组解方程组、求和的问题是高中知识的重点，其应用非常广泛。高考试题中对于解方程组、求和的问题要求较高，往往与函数概念相联系，下面我们通过几个具体例子来挖掘此类问题中巧构概率模型的一般规律。例1 解方程组.分析：通过观察可以发现，两个等式三个未知数，如果是一般方程所求的解其解是不定的。一般方法是先考虑定义域，再通过不断的将符合的数据代入，最终得到满足该方程组的某一解。本文将介绍一种新方法解此方程组。解: 视为一组数据，则其均值为，其方差为 故,有解得经检验知所得结果为原方程组的解。总结公式：解方程组，其中.视为一组数据，则其

36、均值为,其方差为.故,有,解得.例2 设,解方程组.解: 两式相加并配方得，三个数据的方差所以这三个数相等，即,解得. 2.2.2 巧构概率模型，求最值 例3 已知，且，求的最大值？解：构造离散型随机变量，设其分布列为则有由知，即，当且仅当时取等号。例4 当和取遍所有实数时，求所能达到的最小值。解： 设为一组样本数据，考虑其方差，有 即 .（其中），显然当（此时可取任意实数）时，原式可取到最小值2. 2.2.3 巧构概率模型，求变量取值范围例5 求变量取值范围为实数，且，试确定的取值范围。解： ，由这个数据的方差非负知解不等式得.即为的取值范围。2.2.4 巧构概率模型，求和例6 求和 .用去

37、乘和式，并将结果写成.构造模型：考虑由两个人参加的竞赛。要求抛掷枚硬币，并且最多只算他抛了个正面，要求抛掷个硬币，以正面多者取胜。但若二人正面数目相同，则判胜。通过研究上述模型知：.另外，上面的竞赛方式等价于下面的方式：先命和各抛掷枚硬币，以正面多者为胜。如果两人的正面数目相等，但不全是正面，则令抛掷第个硬币，如果为正面，则获胜。如果为背面，则败北，至此和拥有同样的获胜机会。现在还剩有一种可能，就是一开始和抛出的全面都是正面。在这种情况下，无论最后一枚抛出什么结果，都是胜，所以恰好比多2次获胜的机会。这说明在总共种抛掷场合中，除可以赢得这两种场合外，还可以赢得其余场合的半数（即）。即,由此可得

38、.例7 求和：.解：构造随机试验：有两个口袋，其中一个口袋中装有两个红球，另一个口袋中装有一个红球和两个白球。又放回地从两个口袋中各取一球，若取到的两个球均为红球，则停止取球，否则在两个口袋中各加进一个白球，然后按以上规则取球，直到取到的两个球均为红球为止。令 停止取球， 取了次球后停止取球，则 一般地，,由于每个两两互不相容，且，所以.另一方面，A的对立事件=取球不止，易见所以，.2.2.5 巧构概率模型，分析现实问题概率既是高中数学新课程的一大亮点、热点，同时也为我们解决其他问题提供了有力的武器。养成用“概率眼光”看问题，体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，形成用随机观念观察，分析

39、问题的意识。例8 “人挪活，树挪死”吗?进入21世纪，人们对选择职业的自由度大多了。为了求得较好的待遇，或者为了更多地发挥自己的才能，人们(特别是年轻人) 往往改变自己的工作单位，即“跳槽”。俗话也说：“人挪活，树挪死。”但是，直觉经验告诉我们，这种做法未必有利。因为对于要进入的工作单位的情况，你不可能了解得非常清楚，也就是说，调动单位是有一定风险的。假定你目前所在单位对你的综合有利程度(包括待遇、工作环境、对工作的适合程度、自我价值的实现程度等)是, 如果换一个单位，综合有利程度可能上升为，发生的概率是，也可能下降为，发生的概率为，要保证“跳槽”对你有利，必须有 .如果我们假定“跳槽”总是对

40、你有利，一旦你换了一个单位，综合有利程度上升为，如果再要“跳槽”，就还要有.依此类推，当有.这样，所有可能接收你的单位对你的平均综合有利程度就是 .这显然是不可能的，否则你真是“天之骄子”了。合理的总结的是，在上述模型中，老是“跳槽”不会让你总“得益”，但是在一个单位呆上一辈子不动，在一棵树上吊死，也不会有多大发展， 除非你是“天之骄子”，即所有可能接受你的单位对你的平均综合有利程度也是无穷大。这同我们的直觉经验相当吻合。我们只有树立终身学习的理念，不断充电，适时抓住机遇，才能使自我的社会价值达到递增的效果。例9 “三个臭皮匠能顶一个诸葛亮”吗？刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有9名谋士(不包括

41、诸葛亮)，假定对某事进行决策时，每名谋士贡献正确意见的概率为0.7，诸葛亮贡献正确意见的概率为0.85. 现为此事可行与否而征求每名谋士的意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。分析：已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.85，九位谋士贡献正确意见的概率都为0.7， 每个人必须单独征求意见，符合9重伯努利模型由二项分布可求出谋士团体多数贡献正确意见的人数的概率之和。解： 由二项分布可知：，谋士团体只须5，6，7，8，9人贡献正确意见即可所以，谋士团体力量把握就大过诸葛亮。问题延伸：谋士概率为0.3，诸葛亮概率为0.5，结论如何？同理可设刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有9名谋士(不包括

42、诸葛亮)，假定对某事进行决策时，每名谋士贡献正确意见的概率为0.3，诸葛亮贡献正确意见的概率为0.5. 现为此事可行与否而征求每名谋士的意见,并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。分析：已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.5，九位谋士贡献正确意见的概率都为0.3, 每个人必须单独征求意见，符合9重伯努利模型。由二项分布可求出谋士团体多数贡献正确意见的人数的概率之和。由二项分布可知：,谋士团体只须5，6，7，8，9人贡献正确意见即可,真理不总是掌握在多数人手里。总结以上两种情况，可知判断团体力量是否大于一个“诸葛亮”，这取决于团体成员以及这位“诸葛亮”的智力水平，所以“三个臭皮匠能顶一个

43、诸葛亮”并不是绝对的。第三章 概率模型在工程技术中的应用3.1 传送系统的效率在机械化生产车间里，排列整齐的工作台旁工人们紧张的生产同一种产品，工作台上放一条传送带在运转，带上设置若干钩子，工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走，如图。当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而他挂产品的时刻是随机的。衡量这种传送系统的效率可以看他能否及时把工人的产品带走。在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带上钩子越多，效率越高。要求构造衡量传送系统效率的指标，并在简化假设下建立模型描述这个指标与工人数目、钩子数量等参数的关系。如图3.1图3.11.模型分析为了用传送带及时带走的产品数量来

44、表示传送系统的效率，在工人生产周（即生产一件产品的时间）相同的情况下，需要假设工人生产出一件产品后， 要 么恰好有空钩子经过工作台，他可以将产品挂上带走，要么没有空钩子经过， 他将产品放下并立即投入下一件产品的生产，以保证整个系统周期性的运转。 工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致，认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能性一样。 由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。2.模型假设 （1）有n个工人，其生产是独立的，生产周期是常数，n个

45、工作台均匀排列。 （2）生产已进入稳态，即每个工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能性的。 （3）在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方，钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。 （4）每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且之能触到一只，在他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空，则他只能将产品放下。放下的产品就永远退出这个传送系统。3.模型建立将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比，记作D，设带走的产品数为s,生产的全部产品数为n，则D=s/n。需求出s。如果从工人的角度考虑，分析每个工人能将自己的产品挂上钩子的概

46、率，这与工人所在的位置有关（如第1个工人一定可挂上），这样使问题复杂化。我们从钩子角度考虑，在稳定状态下钩子没有次序，处于同等地位。若能对一周期内的m只钩子求出每只钩子非空的概率p，则s=mp。得到p的步骤如下：（均对一周期而言）1)任一只钩子被一名工人触到的概率是1/m；2)任一只钩子不被一名工人触到的概率是1-1/m；3)由工人生产的独立性，任一只钩子不被所有n个工人挂上产品的概率，即任一只钩子为空钩的概率是(1-1/m)n；4)任一只钩子非空的概率是p=1-(1-1/m)n。传送系统的效率指标为为了得到比较简单的结果，在钩子数m相对于工人数n较大，即n/m较小的情况下，将多项式(1-1/

47、m)n展开后只取前3项，则有如果将一周期内未带走的产品数与全部产品数之比记作E, 再假定n>>1,则当n=10，m=40时，上式给出的结果为用D的精确表达式计算得4.模型评价这个模型是在理想情况下得到的，其中一些假设，如生产周期不变，挂不上钩子的产品退出系统等是不现实的，但模型的意义在于，一方面利用基本合理的假设将问题简化到能够建模的程度，并用简单的方法得到结果；另一方面所得到的简化结果具有非常简单的意义：指标E=1-D与n成正比，与m成反比。通常工人数目n是固定的，一周期内通过的钩子数m增加一倍，可使“效率”E降低一倍。考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：在原来放置一只钩子处放

48、置的两只钩子成为一个钩对。一周期内通过m个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率p=1/m，不被触到的概率q=1-p，于是任一钩对为空的概率是qn，钩对上只挂一件产品的概率是npqn-1，一周期内通过的2m的钩子中，空钩的平均数是m（2qn+ npqn-1）,带走产品的平均数是2m- m（2qn+ npqn-1）,未带走产品的平均数是n-2m- m（2qn+ npqn-1）, 按照上一模型的定义，有利用 和 的近似展开，可得注意： 展开取4项， 展开取3项。而上一模型中的方法有 ，有 ， ，当 时，所以该模型提供的方法比上一个模型好。3.2 轧钢中的浪费钢铁产业在现代经济社会中起着尤其重要的作用，

49、在我国尤其突出。我国粗钢产量位居世界第一。国内十大钢铁企业年产粗钢均在1000万吨以上。近年来，钢铁重组进入快车道，比如宝钢控股的广东钢铁集团，山东济钢、莱钢为主组建的山东钢铁集团，还有河北钢铁集团等。但是，从我国实际情况出发，我国钢铁业要振兴，必须走精细化道路，高端路线。而要轧钢行业真正做大做强，必须不断对钢坯质量、加工工艺等环节进行加强。而建立一个一个合理的，节约的轧钢工艺，不仅必要，而且具有很重要的实用价值。在这里，我们来简单介绍一下轧钢系统中的节约问题。1.轧钢系统的分析，抽象 在轧钢流程中，首先将钢胚粗轧为钢雏，粗轧是得到钢材的雏形，且粗轧得到的钢材的长度服从正态分布，均值可以调整，

50、方差由设备精度控制，并且粗轧的长度要大于规定的长度。在这个过程中，钢雏的长度未必合乎规定长度，一些钢雏因长度不够规定长度，而另一些则长出一些。精轧是得到规定长度的钢材，所以在精轧中，对于长度大于规定的粗轧钢材，要切掉多余的部分，对于长度小于规定的钢材，则整根报废。那么，那么我们需要确定合理粗轧的均值，使精轧中的浪费最小。2.模型的假设，建立 轧钢分粗轧精轧两道工序：初轧形成钢的雏，精轧得到钢材规定的长度。 在这里，我们作出一些合理化假设：一：钢雏的长度呈正态分布，二，钢雏长度的均值可由轧钢机来调整，三，钢雏的均方差由轧钢机的精度确定，不可随意改动，在粗轧过程中，其他因素不影响粗轧钢材的长度分布

51、；其他因素不影响精轧过程中钢材整根报废的标准。目的：应如何调整粗轧钢机均值，才能使效益最大（浪费最小）。粗轧钢材长度大于规定（切掉多余部分），经过精轧后，若粗轧钢材长度小于规定，则整根报废。设已知精轧后钢材的规定长度为 l， 粗轧后钢材长度的均方差为 s，记粗轧时可以调整的均值为 m，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记做xN(m, s 2)，则有-切掉多余部分的概率，-整根报废的概率。分析： （如图3.2），总存在最合适的m使得总浪费最小这是一个最优化问题，第一步是建立合适的目标函数，这里有两个待选目标函数：粗轧一根钢材的平均浪费长度和得到一根成品钢材的平均浪费长度，但选取哪个更贴近实际，我们可以用MATLAB来模拟实际情况，然后和我们的分析进行对比，最后得出结论。0p(概率密度)mxmPP´图3.2 3.模型的求解 设粗轧得到的钢材长度分布的概率密度函数为p(x)，总浪费为W，粗轧长度大于规定长度的概率为P，而总浪费量由切掉的部分和