高等数学课件167;8.8微分几何应用

1、8.8.18.8.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面xyz zomm0lt8.88.8 微分法的几何应用微分法的几何应用设空间曲线为 l：)()()(tzztyytxx，且)(tx、)(ty、)(tz可微。 当tt及ttt时，l 上对应的两点为 ),(zyxm，及),(zzyyxxm， 则割线mm的方程为 zzzyyyxxx上式分母除以t，得tzzztyyytxxx， 切线的方向向量)( ),( ),(tztytxa。当点mm 时，有0t，对上式取极限，得 )()()(tzzztyyytxxx 故曲线处的法平面方程在点 ml为 . 0)()( )(zztzyytyxxtx 例 1

2、求螺旋线 2sin2cos2 tztytx上对应于 4t的点 m 处的切线 与法平面方程。 解：解：当4t时，点 m 的坐标为)42 ,2 ,2( 。 ttxsin2)(，ttycos2)(，2)( tz， 2)4( x， 2)4( y， 2)4( z， 螺旋线在点 m 处的切线方程为 2422222zyx，即1421212zyx； 螺旋线在点 m 处的法平面方程为 0)42(2)2(2)2(2zyx， 即02444zyx。注注： （1）只要与)( ),( ),(tztytx成比例的向量均 可作为切线的方向向量。 （2）若曲线方程为)(xyy ，)(xzz ，则以为 x 参数，曲线),(zyx

3、m处的切线方程为 )()(1xzzzxyyyxx。 例 2求曲线 l：221216xzxy在对应于21x的点处 m 的切线方程与法平面方程。 解：以为 x参数，得曲线 l 的参数方程：221216 xzxyxx， 当21x时，点 m 的坐标为)3 , 4 ,21(。 1)21( x，16)21( y，12)21( z， 曲线在点 m 处的切线方程为123164121zyx； 法平面方程为0)3(12)4(16)21(zyx，即020124322zyx。例 3求抛物柱面2xz 及圆柱面122 yx相交所成的 空间曲线在)259,54,53(m处的切线方程和法平面方程。解：曲线的参数方程为2cos

4、 sin coszyx，则sin)(x，cos)(y，cossin2)(z，点m对应于53arccos，故54)(x，53)(y，2524)(z，故切线方程为252425953545453zyx， 法平面方程为0)259(2524)54(53)53(54zyx，即025216241520zyx。即24259354453zyx。定义定义 2 若曲面上过 点m的任意一条光滑 曲线处的在点m 切线 都在同一个平面上，则 称该平面为 曲面在点 m处的切平面切平面，过点 m且垂直于切平面的直线称为曲面处的在点m 法线法线。 mtnxyzolo8.8.2曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 )()()(t

5、zztyytxx， tt) , ,(zyxm。由于 l 在曲面上，故0)(),(),(tztytxf， 0)(),(),(tttztytxfdtd， 设曲面的方程为0),(zyxf，) , ,(zyxm， 并设函数),(zyxf的偏导数在该点连续且不同时为零。 过点 m任作一条位于上的光滑曲线 l，设其方程为 即0)()()()()()(tzmftymftxmfzyx，令)(),(),(mfmfmfnzyx， )(),(),(tztytxa， 则0 an，故an。 由于mla 在点为曲线处的切线的方向向量，而曲线 l 是 曲面上任意一条m 过点的曲线，因此上式表明， m 过点的任一位于 曲面上

6、的曲线m 在点的切线都与 n垂直，因而它们都在为以过点 nm法向量的同一平面 内，该平面即为处在点曲面 m的切平面，且其方程为 曲面在点) , ,(zyxm处的法线方程为 mzmymxfzzfyyfxx 。 若曲面方程由显函数) ,(yxfz给出， 令zyxfzyxf) ,(),(，于是 0) ,(),(zyxfzyxf， xxff，yyff，1zf，0)()()(zzfyyfxxfmzmymx， 曲面在点) , ,(zyxm处的切平面方程为 )( ,()( ,(yyyxfxxyxfzzyx， 曲面在点) , ,(zyxm处的法线方程为 1) ,() ,(zzyxfyyyxfxxyx 。 把方

7、程改写成 yyxfxyxfzzyx) ,() ,(， 得全微分的几何意义： 函数),(yxfz 在点),(yx处的全微分，在几何上表示曲面),(yxfz 在点),(zyx处的切平面上点的竖坐标的增量。例 4求圆锥面22yxz在点（3，4，5）处的 切平面及法线方程。 解：设22y) ,(yxxfz， 则22) ,(yxxyxfx， 22) ,(yxyyxfy， 53)4 , 3(xf， 54)4 , 3(yf， 圆锥面在点（3，4，5）处的切平面方程为 )4(54)3(535yxz，即0543zyx。 圆锥面在点（3，4，5）处的法线方程为 15544533zyx， 即554433zyx。 02121bcfacfbcfacfan， an，故曲面上各点的法向量总垂直于常向量 , ,cbaa。证明：设),(),(bzcyazcxfzyx， 则曲面在任一点处的法向量为 , , , ,2131bfafcfcfnzyx， 所求切线的方向向量1 , 9 ,1621nna， 切线方程为1191161zyx， 法平面方程为0) 1() 1(9) 1(