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文档简介
1、简谐运动在一切振动中,最简单和最基本的振动称为简谐运动,其运动量按正弦函 数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动 的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。一、简谐运动的基本概念:1弹簧振子:轻质弹簧(质量不计)一端固定, 另一端系一质量为 m的物体,置于光 滑的水平面上。物体所受的阻力忽略 不计。设在 0点弹簧没有形变,此处 物体所受的合力为零,称 0点为平衡 位置。系统一经触发,就绕平衡位置 作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子(harmonic Oscillator),它是一个理想化的模型。2 弹簧振子运动的定性分析:考虑物体的
2、惯性和作用在物体上的弹性力:B tO弹性力向左,加速度向左,加速,0点,加速度为零,速度最大;0 t C:弹性力向右,加速度向右,减速,C点,加速度最大,速度为零;C tO弹性力向右,加速度向右,加速,0点,加速度为零,速度最大;0 t B:弹性力向左,加速度向左,减速,B点,加速度最大,速度为零。物体在B、C之间来回往复运动。结论:物体作简谐运动的条件:物体的惯性一一阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力一一驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征:1线性回复力分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置0点为坐标原点,水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知,物体m (可视为质点)在坐标为
3、x (即相对于0点的 位移)的位置时所受弹簧的作用力 为f=-kx式中的比例系数 k为弹簧的劲度 系数(Stiffness),它反映弹簧的固 有性质,负号表示力的方向与位移 的方向相反,它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远,力越大;在平衡位 置力为零,物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。2 动力学方程及其解 根据牛顿第二定律,f=ma可得物体的加速度为fkaxmm对于给定的弹簧振子,2 km机械振动简谐振动的基本概念 m和k均为正值常量,令则上式可以改写为 a2xd2x .dt22x = 0d2x这就是简谐运动的微分方程。三、简谐运动的运动学特征:1简谐振动的表达式(运
4、动学方程)简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦 函数形式,即x A cos( t )这就是简谐运动的运动学方程,式中A和$是积分常数。只有正弦函数、余弦函数或说明:1)简谐运动不仅是周期性的,而且是有界的,它们的组合才具有这种性质,这里我们采用余弦函数。2)考虑三角函数与复数的关系 ei 复数表示简谐运动,其优点是运算比较简单。cos i sin ,贝U xAei( t 。用减速 加速 减速 加速t2 简谐振动物体的速度和加速度 将简谐运动的运动学方程分别对 时间求一阶和二阶导数,可得简谐运 动的速度和加速度为a说明:Asi n( t )2A cos( t )dx
5、dt d2x dt2物体在简谐运动时,其位移、速度、加速度都是周期性变化的。简谐运动不仅是周期性的,而且是有界的一一只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质一一采用余弦函数。二、简谐运动的特点:1 .从受力角度来看动力学特征合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比,方向与位移的方向相 反,并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。2. 从加速度角度来看一一运动学特征加速度a2x与物体相对于平衡位置的位移成正比,方向与位移的方向相反,并且总是指向平衡位置的。3. 从位移角度来看:位移x Acos( t)是时间的周期性函数。说明:1) 要证明一个物体是否作简谐运动
6、,只要证明上面三个式子中的一个即可,且由其中的一个可以推出另外两个;2) 要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析,得到物体所受 的合外力满足回复力的关系。例题:一个轻质弹簧竖直悬挂,下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开,证明物体将作简谐运动。证明:取物体平衡位置为坐标原点,竖直向下为x轴的正方向,如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零,即mg-kl=O(1)其中mg为物体的重力,I为物体平衡时弹簧的伸长量。在任一位置x处,物体所受的合力为F=mg-k(x+l)(2)比较、(2)可得F=-kx(3)可见物体所受的合外力与位移成正比,而方向相反,所以该物体将作简谐
7、运动。简谐运动的振幅、周期和相位Amplitude , Period and Frequency, Phase of Simple harmonic Vibration现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos( 31+ $中的A、3、31+ $ $的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量:振幅、频率和周期、相位和初相。振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。一、振幅A(Amplitude)反映振动幅度的大小引入:在简谐运动的表达式中,因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1,所以物体的振动范围为 +A与-A之间。定义:作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。说明:(1)A恒为正值,单
8、位为米(m);(2)振幅的大小与振动系统的能量有关,由系统的初始条件确定。二、周期T(Period)与频率(Frequency)反映振动的快慢1 .周期 Period定义:物体作一次完全振动所需的时间,用T表示,单位为秒(s)。x Acos( t ) Acos (t T) 考虑到余弦函数的周期性,有T = 2厂十亠2因而有T 2. 频率 Frequency定义:单位时间内物体所作的完全振动的次数,用v表示,单位为赫兹(Hz)。13. 圆频率 Angular Frequency定义:物体在2n秒时间内所作的完全振动的次数,用3表示,单位为弧度 (rad. s-1 或 s-1)。说明:1)简谐运动
9、的基本特性是它的周期性;2)周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定,故称之为固有周期、 固有频率或固有圆频率。3)对于弹簧振子,4)简谐运动的表达式可以表示为x A cos( t)Acos(2 tT)Acos(2 t )、相位(Phase)反映振动的状态1.相位质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简谐运动的物体来说,位置和速度分别为 x=Acos( t+ )和v=- 3 Asin( t+ ),当振 幅A和圆频率3给定时,物体在t时刻的位置和速度完全由 t+来确定。即t+ 是确定简谐运动状态的物理量,称之为相位。相位(wt+ 0)是决定谐振子运动状态的重要物理量
10、3 t+右和A, 3 起决定t时刻物体运动状态,即位移X,速度V,和加速度a.在一次全振动中,谐振子有不同的运动状态,分别与02内的一个相位值对应。例如:tXVt+0A0T/4AT/2ATA022 初相位在t=0时,相位为 0称为初相位,简称初相,它是决定初始时刻物体运 动状态的物理量。对于一个简谐运动来说,开始计时的时刻不同,初始状态就 不同,与之对应的初相位就不同,即初相位与时间零点的选择有关。结论:对于一个简谐运动,若A、3、$已知,就可以写出完整的运动方程,即掌握了该运动的全部信息。因此,我们把A、3、$叫做描述简谐运动的三个特征量。3.相位差:定义:两个振动在同一时刻的相位之差或同一
11、振动在不同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差X1A, cos( t1)X2A cos( t2)相位差=(t2 ) ( t 1 ) 2 1即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初 始相位差。说明:1)0 质点2的振动超前质点1的振动0 质点2的振动落后质点1的振动2)2k ,k 0,1,2,., 同相(步调相同)(2k1) ,k 0,1,2,., 反相(步调相反)小结:对于一个简谐运动,若振幅、周期和初相位已知,就可以写出完整的运 动方程,即掌握了该运动的全部信息,因此我们把振幅、周期和初相位叫做描 述简谐运动的三个特征量。四、积分常数A和$的确定:简
12、谐运动运动学方程为x=Acos( t+ )其中圆频率是由系统本身的性质确定的,积分常数A和$是求解简谐运动的微分方程是引入的,其值有初始条件(即在t=0时物体的位移与速度)来确定。将t=0代入位移和速度的公式,即得物体在初始时刻的位移X0和初速度V0:x0 Acosv0A sin由此可解得2V。tgVoX。(或0和2n )之间;'般来说有两个值,还要有初始条件来判断应说明:1 )一般来说 ©的取值在一n和n2)在应用上面的式子求©时,该取哪个值;3)常用方法:由A = 'x22V0 求A,然后由x0A cosVo两者的共同A sin,物体的质量为m=20g。 求振动方程。3和©即可。部分求©。例1 :一弹簧振子系统,弹簧的劲度系数为k=0.72N/m今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。解:要确定弹簧振子系统的振动方程,只要确定由题可知,k=0.72N/m , m=20g=0.02kg , x°=0.04m , V0= 0, 代入公式可得0.0426rad s 1又因为X0为正,初速度 因而简谐运动的方程为:02-20.04m62V0= 0,可得0x
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