定积分几何应用46487

1、第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第六六章 表示为niiixfu10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 u 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) u 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题

2、、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfud)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下

3、页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六六章 一、平面图形的面积一、平面图形的面积（1）. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfad)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfabad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 a ,右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfabad)()(21xxxd例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxadd22

4、332x01331x3110a机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyxab一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时,曲边梯形面积21d)()(ttttta机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1axt对应（2）. 参数方程情形参数方程情形abxoyx例例2. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyadd所围图形的面积 . 有axya0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd（

5、3）. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(c设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2a所求曲边扇形的面积为d)(212a机动 目录 上页 下页 返回 结束 2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例3. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aa22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面曲线的弧长二、平面曲

6、线的弧长定义定义: 若在弧 ab 上任意作内接折线 ,0m1imimnmabyox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 ab 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iimm1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(tty

7、tx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算摆线)cos1 ()sin

8、(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2d222aa例例6. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 结束 三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面

9、积为a(x), ,)(baxa在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxavd)(d因此所求立体体积为xxavbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabxxxd)(xa上连续,xyoabxyoab)(xfy 特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbav当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcvxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 ayxb例例7. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(

10、22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboav02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 x方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyvad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a机动 目录 上页 下页 返回 结束 轴所围图及表示xtxxfytv)0(, )()(例例8. 设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:. )(2)(tftv 证证:x)(xfxoyt

11、xxd利用柱壳法xxfxtvd)()(2d则xxfxttvtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftvtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftv 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故xyoab四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线, ,)(1bacxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsysd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfsbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoab)(xfy abxxyo)(xfy a

12、bxsysd2d侧面积元素xyd2sdxd若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的)(2ttttd)()(22s机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:侧面积为xryo例例9. 计算圆上绕在,21222rrxxxryxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 s .解解: 对曲线弧,2122xxxxry应用公式得212xxs22xr 2 122xrxxd21d2xxxr)(212xxr当球台高 h2r 时, 得球的表面积公式24rs机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x2xozyx定积分应用小结定积分应用小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求