函数及极限习题及答案

1、第一章函数与极限(A)一、填空题i、设f(X)j2rigigx,其定义域为2、设f(x)ln(x1),其定义域为。3、设f(x)arcsin(x3),其定义域为。4、f(x)的定义域是0,f(sinx)的定义域为5、yf(x)的定义域是02，则yf(x2)的定义域为6、xm3k=7、函数yx有间断点sinx为其可去间断点。8、若当x0时，f(x)吧丝，且“刈在*0处连续，则f(0)9、lim(nnn22_n21n2210、函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0连续的条件。11、limx32(x1)(x3x2)2x55x312、lim(12)kne3,则k=nnx113、函数y的间断点是。x2

2、3x214、当x时，1是比Jx3vx-1的无穷小。x15、当x0时，无穷小1与x相比较是无穷小。16、函数yex在x=0处是第类间断点。x117、设y,则x=1为y的间断点。x118、已知fJ3则当a3sinxx19、设f(x)2x1(1ax)xx1时，函数f(x)asinx-sin3x在x处连续。330若limf(x)存在，则a=x00xsinx20、曲线y2一2水平渐近线方程是。x2121、f(x)"4x2j,的连续区间为。x122、设f(x)xacosxx0在x0连续，则常数x0a=二、计算题1、求下列函数定义域(1)y(2)ysin<x；1yex；2、函数f(x)和g(

3、x)是否相同为什么(1)f(x)Inx2,g(x)2lnx；f(x)x,g(x)Jx2；(3)f(x)1,g(x)sec2xtan2x；3、判定函数的奇偶性(1)yx2(1x2)；(2)2y3x2(3)yx(x1)(x1);4、求由所给函数构成的复合函数(1)ysinv.Vu5、计算下列极限(1)lim(1n12n(2)limn3(n1).2，n(3)(5)(9)(4)lxm12x1xv；lim(1x1)(2x(6)limx2(x2x22?21limxsinlimx(x2x6、计算下列极限sinwx(8)lxm1x213x1x呵xcotx1x)(4)sin2xlim;x0sin5x1(5)li

4、m(aJ)x1；(6)lim(1x户；xx1x07、比较无穷小的阶(1)x0时，2xx2与x2x3；,12、x1时，1x与一(1x)；28、利用等价无穷小性质求极限tanxsinxsin(xn)/日七赦加、(1)lim3;(2)hm-(-(n,m是正整效)；x0sinxx0(sinx)9、讨论函数的连续性f(x)(2) lim (y x2x v,x2 x);x10、利用函数的连续性求极限(1) limln(2cos2x);(3)limInx0sinx(4)lim(1x-)2x；x(5)设f(x)lim(1n-)n求limf(-t1t匕)(6)limxln(x11、设函数f(x)应当怎样选择f(

5、x)成为在()内的连续函数。12、证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。(B)1、设f(x)的定义域是0,1,求下列函数定义域(2) yf(lnx)g(x)2、儿0设f(x)xff(x)gg(x)fg(x)gf(x)3、利用极限准则证明:1, , lim x- 1 x 0 x(2)(1) lim/1 lim x(Vx2 1 x1n:n(3)数列V2,22.22,的极限存在4、试比较当x0时,无穷小2x3x2与x的阶。5、求极限(2) lim(&小)x1x2x1tanxsinx(3) hmx0x3xa(4)lim(x0,xx1bC)x3(a0,b0,c0);1、一x7、设 f(x

6、) eln(1 x)(C)»21、已知 f(x) ex,16、设f（x）xsinx,x0要彳/）在（,）内连续,2ax,x0应当怎样选择数ax0求f（x）的间断点，并说明间断点类型。1x0f（x）1x,且（x）0,求（x）并写出它的定义域。2、求下列极限:1xsinxcosx(1)、limcosln(1x)coslnx；(2)、hm;xx0x3x252xav(3)、求lim35sin-;(4)、已知lim(xa)x9,求常数ax5x3xxxa(5)、设f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)a,f(b)b,证明：在开区间（a,b）内至少存在一点，使f（）第一章函数与极限习题答案（A）

7、一、填空题(1)(1,2(1)(3)2,4(4)x2kx(2k1)(5).2,、,2(6)-3xk,kzx0(8)2(9)1、，、1（10）充分 （11） 一2(12)-(13)x=1,x=2(14)高阶2（15）同阶（16）二（17）可去(18)2(19)-ln2(20)y=-2(21)2,1(1,2(22)1二、计算题1、（1）（1)(1,1)(1,)(2)0,)(，0)(0,)2、（1）不同，定义域不同（2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）奇函数4、(1)y(sinx2)2(2)yV1x2(3)ye2sinx5、(1)2(

8、2)1(3)-9(4)0(5)22(7)0(8)2d2(9)122126、(1)w(2)-(3)1(4)e1e2(6)(6)e7、（1）2xx2是x2x3的低阶无穷小（2）是同阶无穷小18、(12(2)9、不连续10、(1)0(2)(3)11、a=1(B)1、(1)提示:(2)提示:lnx2、提示：分成。和X1解得:1解得:(4)0两段求。fg(x)0,gf(x)g(x)4、(1)提示:11n(3)提示：用数学归纳法证明:5、提示：2x3x2V6、(1)提示:乘以x21x(3)提示:用等阶无穷小代换(4)提示:2,、e(5)0(,01,eff(x)(2)提示:3x11)x7、提示：limf(x)limf(x)x0x08、x1是第二类间断点(6)-2f(x)1x(xgg(x)01)1x-x令2xt(同阶)21;-2(2)提示:除以2xax1bx1cx1ax1bx1cx13xf(0)(ax0是第一类间断点0)(C)1、解:因为fe2(x)1x,故(x)JinHx),再由ln(1x)0,得：10。所以:(x)/n(1x),x0。2、解:原式=limx02xsinxcosxx(、1xsinxcosx)2xsinxsinx3、解:因为当limx3x255x34、解:因为:所以e2a9sinxlim一x0x(xsinx)=0sin-=lim3-59=limx5、证明：令F(x