函数与方程教案

1、函数与方学科：数学程教学内容：第一章函数与方程一、考纲要求1 .明白得集合、子集、交集、并集、补集等概念。了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能把握有关术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。2 .明白得逻辑联词“或”、“和”、“且”、“非”的含义，明白得四种命题及其相互关系。3 .明白得Iax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式的概念，并把握它们的解法；了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，把握一元二次不等式的解法。4 .了解映射的概念，在此基础上明白得函数及有关的概念，把握互为反函数的图像、定义域及值域间的关系，会求一些简

2、单函数的反函数。5 .明白得函数的单调性和奇偶性的概念，并能判定一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图像的对称性关系描画函数的图像，了解奇偶函数定义域必关于原点对称的特点。6 .明白得分数指数哥、根式的概念，把握有理指数哥的运算法则。7 .明白得对数的概念，把握对数的性质和运算法则。8 .把握募函数的概念及其图像和性质，在考察函数性质和运用性质解决咨询题时，所涉及的募函数f(x)=xa中的a限于在集合-2、-1、二、231、2、3中取值。9 .把握募函数、指数函数、对数函数的概念及其图像和性质，并会解简单指数方程和对数方程。10 .会解简单的对数不等式、指数不等式及简单的函数不等

3、式，要注意单调性和定义域的应用。化质方程"力方理化就才，净土'时1Tg吊式:不才千下:，Il'it；三、知识点、能力点提示1.集合(1)集合元素有“四性”：确定性、互异性、无序性和任意性。即集合中元素应完全确定，不能模棱两可，集合中元素互不相同，不能重复显现；集合中元素无序关系，例如1、2、3与2、1、3表示同一集合；集合中元素能够是具体确定的事物，而不仅限于“数、点、式、形”。(2)集合表示方法有三种：列举法、描述法和图示法。(3)元素与集合，集合与集合的关系：“6”“”用于表示元素与集合间关系，“，”=，”品，“川，用于表示集合与集合间关系。(4)集合运算有三种：

4、交、并、补。交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的交集，记作AAB。即AAB=x|x6A且x6B并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并集，记作AUB。即AUB=x|x6A或x6B补集：已知全集I、集合AI,由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合I中的补集，记作Ao即A=x|x6I,且xA(5)例题赏析例1已知集合A=x、xy、lg(xy),B=0、|x|,y且A=B,求x、y的值。解：由A=B可知，必有lg(xy)=0,即xy=1,若xy=y,则x=1,因止匕x=xy,与集合A中元素互异性矛盾，故xy=|x|,即x=y

5、=-1符合题意，现在，A=B=1,-1,0,.x=y=-1讲明：通过对“集合元素有四性”的应用，强化学生对概念的明白得，培养学生思维的全面性、深刻性，使之具备应用集合元素性质解决咨询题的能力。例2设I=x1x是不大于20的质数，且AAB=3,5,AAB=7,19,AnB=2,17,则A=,B=。解：由题设知，I=2,3,5,7,11,13,17,19,因为AnB=2,17,AUB=3,5,7,11,13,19,这些元素可分三种情形，属于集A而不属于集B（由题设为3,5）;属于集B而不属于集A（由题设为7,19）,余下的11,13既属于集A,又属于集B,故人=3,5,11,13,B=7,11,1

6、3,19注：本题可用韦恩图表示I、A、B之间的关系，其结果将更加明朗。讲明：通过对集合表示方法的训练，培养学生思维的灵活性，使之具备“数形结合”解决此类咨询题的能力（韦恩图法）。例3设A=x|x=a2+1,aN,B=y|y=b2-6b+10,b6N,求证：AB证：vA=x|x=a2+1,a6N,B=y|y=b2-6b+10,b6N=y|y=(b-3)2+1,b6N又.aRSN,/.b-3-2,-1,0UN关于任意一元素x6A,则x6BAB当b-3=0时y=(b-3)2+1=16B,而1AAB讲明：通过对集合与元素，集合与集合关系的训练，培养学生运算能力，使之具备按照条件寻求合理、简捷运算途径的

7、能力。例4设A=x|(x+2)(x+1)(x-1)>0,B=x|x2+px+qW0,若AUB=x|x>-2,AAB=x|1<x<3,求p、q的值解：将A化简，得A=x|-2<x<-1,或x>1,由AUB=x|x>-2,AAB=x|1<xwi,结合数轴，知B=x|-1<x<3,由-1和3是方程x2+px+q=0的两根，得p=-2q=-3讲明：通过对数集的交、并、补运算的训练，使学生把握化简集合，利用数轴表示集合并进行运算的方法。2.映射与函数(1)映射是一种专门的对应，即“一对一”或“多对一”但不能是“一对多”。(2)从集合A到集

8、合B的映射f:A-B中，A中任一元素都必须有象，但B中元素未必有原象。(3)函数是一种专门的映射，要求f:A-B中，A、B差不多上非空数集，其中A为定义域,f(A)是值域。(4)函数的表示方法有三种：图像法、表格法和解析法。(5)函数的三要素：定义域、值域、对应法则。(6)函数的三特点：非空、数集、满射。(7)例题赏析：例5已知(x,y)在映射f下的象是(x2+y2,x2-y2),求点(10,8)在f下的原象。24c解：由已知得x2y210,解得x3xx3y8x3x3y1y1y1y1因此所求的原象是(3,1);(3,-1)；(-3,1)；(-3,-1)。讲明：通过本题加深对“映射”概念的明白得

9、，训练学生分析象与原象关系的能力，使之具备把映射与其它知识综合运用的能力。例6设f(x)是定义在R+上的函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)f(-)2=1,求f和f(4)的值。解：.对任意x,y6R+均有f(xy)=f(x)+f(y)成立令x=1,y=1,得f(11)=f(1)+f(1) .f(1)=0又令x=2,y=1得f(2.g)=f(2)+f(1) 0=f(2)+1=-1f=f(22)=f(2)+f=2f=-2讲明：通过“函数是一种专门的映射”，训练学生思维的灵敏性和灵活性，使之具备抽象思维能力。例7已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辐，所有轧棍周长均为1600mm,若第K对

10、轧辐有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为LK,为了便于检修，请运算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)。轧辐序号K1234疵点间距Lmm)1600解：第3对轧辐出口疵点间距为轧辐周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，故1600=L3(1-0.2)因止匕L3=1600/0.8=2000(mm)同理L2=L3/0.8=2500(mm)L1=L2/0.8=3125(mm)填表如下：轧辑序号K1234疵点间距Lmm)3125250020001600讲明：通过函数表示方法，训练学生分析咨询题

11、能力，使之具备用表格法表示函数的能力。例8已知函数f(x)=x2,g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x)=4x2-20x+25,求g(x)的表达式。解：由g(x)为一次函数,设g(x)=ax+b(a>0)vf(g(x)=4x2-20x+25 .(ax+b)2=4x2-20x+35,即a2x2+2abx+b2=4x2-20x+25解得a=2,b=-5故g(x)=2x-5(x6R)讲明：通过本题，训练学生利用待定系数法、恒等式性质解题的能力，加深对函数三要素、三特点的明白得，使之具备求复合函数解析式、定义域的能力。 .函数性质(1)定义域：x的取值集合。(2)值域：y的取值集

12、合。(3)增减性：关于给定区间上的函数f(x)、对任意的x1,x2-x1<x2f(x1)<f(x2),f(x)在区间上是增函数；x1<x2f(x1)>f(x2),f(x)在区间上是减函数。(4)奇偶性：关于函数定义域内任意x,有f(-x)=f(x)f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数。(5)周期性：若存在常数T(T丰0),使对定义域内任意x都有f(x+T)=f(x),则f(x)叫周期函数，T叫f(x)的一个周期，合条件的最小正数T叫f(x)的最小正周期。(6)奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相同。偶函数在对称区间(-b

13、,-a)与(a,b)上增减性相反。(7)奇函数、偶函数定义域必关于原点对称。关于奇函数f(x),若f(0)有意义，则f(0)=0;f(x)=0。既是奇函数又是偶函数。否则会期引起歧义。(8)例题赏析：不一()4例9(小函数yo=12的定义域。21解：x5>0log2(x-5)x<-2,且x#-4因此温城羽(-5，-4)u(-4,-2)讲明：给条了函数的解析式，如果未指出函数的定义域，一样而言，函数的定义域确实是使解析式有意义的自变量的取值范畴。应考虑到：分式分母*0;(2)偶次根式被开方数A0;对数真数>0,底数>0,底数？1;(4)零指函数底数于0;(5)正切y=tg

14、x,乂牛k兀+2(k6z);余切y=ctgx,x?k兀(k6z)；(6)反正、余弦1x|<1O如果是实际咨询题或几何咨询题，要按照实际情形确定函数定义域;如圆面积公式S=rR2的定义域是R>0。例10求下列各函数的值域:3 xy，；(2)y=xe*-V，yF4x 3ef，求函数 g(x) = f(x)+ .1 2 f (x)的值域。若f(x)的值域是3解：(1)y = -1 + .#0 /.y -1- 4 x 4 x故函数y= *的值域为(-8, -1)U(-1, +s)4 x由函数关系式，得ex= , .ex>0,即二>0y 1y 1解得y>2或y<-1,

15、故函数的值域为(-°°, -1)U(2, +°0)(3)由函数关系式变形、整理，得2yx2-4yx+3y-5=0,当y=0时，-5=0矛盾，故y#0/xR.=(-4y)2-42y(3y-5)A0,即0WyW5,故0<yW5,函数的值域为(0,5(4)设t=J12f(x).wf(x)w1-2f(x)w1899且f(x)=；(1-t2),因此g(x)=-1t2+t+=-1(t-1)2+1,t6I、，1122232当t=l时,gmin(x)=7当t=1时，gmax(x)=-727_一,877-7<g(x)<7,故函数g(x)的值域为7,79898讲明：

16、求值域常用方法有：(1)用配方法求二次函数的值域；(2)按照反函数求二次函数的值域；(3)关于可化为二次函数型时，利用判不式法求值域，但要注意某些限制条件；(4)利用函数的单调性求函数的值域；(5)通过函数的图像和变量代换求出函数的值域。本题通过求函数值域，训练学生的逻辑思维及运算能力，加深对反函数、二次函数及函数单调性等数学概念的明白得，使之具备思维的多向性、深刻性和批判性等能力。例11已知f(x)=x3，证明f(x)在R上是增函数。证明：设x1,x26R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x22+x1x2)=(x1-x2)(x1+1x2)2

17、+3x2224.x1<x2(x1+1x2)2+3x22>0,(否则x1=x2=0)24又x1-x2<0.(x1-x2)：(x1+1x2)2+3x22<024即f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).f(x)=x3在R上是增函数。讲明：通过单调性证明，训练学生运算能力，使之具备将f(x1)-f(x2)化为几个能确定符号的因式的积的能力。注意：单调性是与“区间”紧密有关的概念，一个函数在不同的区间上能够有不同的单调性；单调性是函数在某一区间的“整体”性质，因此定义中的x1、x2具有任意性，不能用专门值代替。若求单调区间则应求“极大”区间。由于定义是充

18、要性命题，因此单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系能够“正逆互推”。例12判定下列函数的奇偶性：1(1)f(x)=2x-(j)X;砍尸噂(3)f(x)=4二;(4)f(x)=lgex+4(x；0);(5)f(x)=0(x0)4ex(x<0)解：(1)奇函数(2)函数定义域为(-s,0)U(0+s)f(-x尸 二(-x)( 二(-x)(x22xx 111(x)()2 x121 121 2=(")(1 =f(x)x12x,11、x(2x 1 2)因此函数为偶函数由x1 01 x 0故函数的定义域为e x)(x<0)(x 0) 4)(x>0)得x=11,它不

19、是关于原点对称的实数集，故此函数既不是奇函数，又不是偶函数。(4)函数的定义域为R。f(x)+f(x)=lg(-x+x21)+lg(x+x21)=lg(-x+.x21)(x+x21)=lg1=0即f(-x)=-f(x)因此函数为奇数函数函数鼾定/墩盍)R。(4f(-x)=0(x0)0故f(x)是奇循我。)(e注研究函数奇偶性应注意:(1)f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)中x应是定义域内任意值;(2)已知函数f(x)的定义域应是关于原点对称取值的实数集，否则函数是非奇非偶函数；(3)奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。例13已知函数f(x)的最小正周期是8,且等式f(4+

20、x)=f(4-x),对一切实数x成立，判定f(x)的奇偶性。解：f(-x)=f4-(4+x)=f4+(4+x)=f(8+x)=f(x)故f(x)是偶函数。讲明：通过函数的周期性，对称性推导其奇偶性，训练学生的逻辑思维能力。使之具备正确的思维取向，提升能力层次。例14已知函数f(x)是奇函数，而且在(0,+s)上是减函数，f(x)在(-8, 0)上是增函数依旧减函数？解：设x1、x2<0且x1<x2,则0<(-x2)<(-x1).f(x)在(0,+°°)上是减函数f(-x2)>f(-x1)(1)又.f(x)是奇函数.f(-x2)=-f(x2),f

21、(-x1)=-f(x1)代入式得-f(x2)>-f(x1)从而f(x2)<f(x1)由此可知：函数f(x)在(-°°,0)上是减函数。讲明：通过应用奇偶性、单调性，训练学生分析咨询题能力使之具备转化条件解决咨询题的能力。4 .二次函数在闭区间上最值咨询题闭区间%,上的函数f(x)=ax2+bx+c(a?0),当一b6%,32a时，最值从f(-2),f(%),f(B)中比较得出。当-2%,(3时，最值从2a2af(%),f(B)中比较得出。例15求函数y=3x2-12x+5当自变量x在下列范畴内取值时的最值。(1)0<x<3(2)-1<x<

22、1解：对称轴x=2(1)/20,3.当x=2时，ymin=-7x=0时，ymax=5(2) /2-1,1.当x=i时，ymin=-4当x=-1时，ymax=205 .反函数(1)式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A,值域为C,我们从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=d(y),如果关于y在C中的任何一个值通过式子x=d(y),x在A中者B有唯独确定的值和它对应，那么式子x=©(y)就表示x是自变量y的函数。如此的函数x=©(y),叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y),即x=(|)(y)=f-1(y)适应上，一样用x表示自变量，y表示函数，

23、为此对调式子x=f-1(y)中的字母x、y,把它改写成y=f-1(x)(2)原函数与反函数的图像关于y=x对称。(3)原函数与反函数在对应的区间上的增减性相同。(4)若函数的反函数是奇函数，则原函数也是奇函数。(5)单调函数必有反函数。(6)f-1(f(x)=x,x6A,ff-1(x)=x,x6C。6 .募函数：y=xa,定义域是使xa有意义的实数，图像过(1,1)点，a>0时，在第一象限内是增函数；a<0时，在第一象限内是减函数。例16已知募函数f(x)=x32mm2(m6Z)为偶函数，且在(0,+s)上是增函数，求f(x)的解析式。解：f(x)=x4(m1)2在(0,+s)上是

24、增函数4-(m-1)2>0解之得：-1<m<3又.mSZ.m=0,1,2,代入得：f(x)=x3,f(x)=x4,f(x)=x3又f(x)为偶函数讲qx裆求骞函$44式,岫卜理觉运靛1k?性质使之具备解溪定薮法确。I定哥京数解析我I的能力。丁一“'(A)闻(C)何例17函数y=a|y1(a>1)的图像是()解：由于y=aIxI(a>1)是偶函数，其图像关于y轴对称，故可先画y=ax(xA0,a>1)的图像，然后再沿y轴翻折。应选B。讲明：通过函数定义域及其奇偶性，判定值域，使学生具备从专门到一样的辨证思维能力7 .指数函数与对数函数(1)对数：在指数

25、式ab=N中(a>0且a?1),则称b叫做以a为底N的对数，记作b=logaN,以10为底的对数称为常用对数，记作lgN,以e为底的对数称为自然对数，记作lnN。(2)指数运算法则(略)，对数运算法则(略)。若lgx=a+b,其中aS乙b0,1)，则称a为x的常用对数的首数，b为x的常用对数的尾数，当x=ax10n,1<a<10时，则lgx的首数为n。(4)对数恒等式alogaN=N(a>0,且a#1)对数换底公式logaN=logbN/logba(a、b>0且*1)(5)对数函数与指数函数性质指数函数对数函数解析式y=ax(a>0,aw0)y=logax(

26、a>0,aw1)定义域xCRxCR+值域yR+yCR图像贸'/11小Tl1iw%b*.-性质单调性a>1,R递增0<a<1时，R递减a>1时，R+递增0<a<1时，R+递减特占八、占八、(0,1)(1，0)值的分布x<0x=0x>00VxV1x=1x>1a>10vyv1y=1y>1a>1y<0y=0y>00<a<1y>1y=10vyv10<av1y>0y=0y<0(6)例题赏析2例18求函数y=:x4的定义域lg(x22x3)X军：然像函数有意义，必须且强或x2

27、x22x3>0即x<Mx>1lg(x<-李煲x#2,且x#-1-痴1*故函数定义域为 x 1例 19 设 a>0, a# 1, 11解：/ b= !(an-a n)2x<-3 或 xA2,且 x?-1-0511又b=1(a-a/)求loga2(b+Ti""b2)n2i11，-一、=-(an+an)_21loga2(b+V1b2)n=loga2(an)n=loga2a=-讲明：通过本题，训练学生运算能力，使之具备正确应用对数、指数性质的能力。xx例20已知函数f(x)=10x10x1010(1)判定它的奇偶性。(2)求证它是单调递增函数。(

28、3)求它的反函数。解：(1):.10x+10-x?0.定义域为Rxxf(-x)=1Hh=-f(x).f(x)为奇函数。f(x2)-f(x1)2(10_ 10xx 10x2 x1 10120X1 0)x2x210x11010x110x1x1(2):任取x1、x26R,且x1<x2,则(10x210x2)(10x110%)当x2>x1时，10x2x1>110x1x2<110X2110x1x2>0又(10x2+10x2)(10x1+10x1)>0f(x2)>f(x1):f(x)为增函数。(变形f(x)=y=1A2x*更容易些)去分母得 y 102x+y =

29、102x-1(1-y)102x=1+y当y=1时，x无解当y?1时，102x=31y明显当3!>0时即-1<y<1时，x有解。(1y)当。！a。时x无解(1y)1V.当-1<y<1时，2x=lg1y即x=1lg口1(-1<y<1)2(1y)反函数为：y=-lg1一y(-1<x<1)21y讲明：此题f(x)的形式变化可使解题难易程度变化。本题以f(x)为载体全面地训练学生对函数的性质的明白得和运用，使之具备较强的运算能力。例21已知函数f(x)=lg(x+v12x2)-lg22证明：(1)f(x)的图像关于原点对称。f(-x) = lg(-x

30、+ <2x2)-lg2lg .2x2 )-lg 2(2)f(x)为单调函数。证明：(1)：x6R=lg2x2八=-lg(x+j2=-f(x).f(x)是奇函数，故f(x)图像关于原点对称(2)设x1、x26R,且x1<x22 x；,2 2x2, 2 2 x12x1>x11>(xx?)x1“比总x2x12x2一>2x2,2.x2+j2x2>x1+、/2f(x2)>f(x1).f(x)为单调递增函数。讲明：本题通过奇偶性、单调性证明，训练学生的运算能力，使之加深对函数性质明白得，具备举一反三的能力8 .指数方程与对数方程(1)指数方程是一种超越方程，指数方

31、程的解法大致分类有四种：(A)af(x)=ag(x),其中a>。且a#1,利用指数函数的单调性化为代数方程：f(x)=g(x)(B)形如a2x+b-ax+c=0的指数方程，用换元法化为一元二次方程来解。(C)用对数知识。如af(x)=bg(x)(a>0且a#1,b>0且b?1)两边取对数，从而求解x(D)用图像法求近似解。(2)对数方程也是超越方程，对数方程的要紧类型有：(A)差不多型：logax=b(B)同底数型：logaf(x)=logbg(x)(C)：形如：log：+blogax+c=0的代换型，各类型方程解法相对固定，均能化为代数方程解之，但要注意验根。上述类型以外的

32、对数方程可用图像法求近似解。(3)解对数方程时，需注意以下几点：(A)利用公式logaM+logaN=logaMN作恒等变形可能产生增根。例如，解方程lg(2x-1)+lg(3x-7)=0时。(B)利用公式logaMk=klogaM作恒等变形可能失根，例如：解方程lg(x-1)2+lg(x-1)4+lg(x-1)6=12时。(1)两边消去对数符号可能产生增根，例如解方程logaf(x)=logag(x)时(4)例题赏析例22解下列方程(1)37x-1125x=210x(2)7.3x+1-5x+2=3x+4-5x+3解：(1)37x-135x.210x=210x,得312x-1=112x-1=0

33、,x=1是原方程的解2(2)73x+1-5x+2=273x+1-5-5x+2203x+1=45x+23x+1=5x+1(3)x+1=1.7+1=0,即x=-1是原方程的根。5例23解下列方程(1)272x-3-37x-2-5=0x3lgx=100x5解：(1)令7x=t,则2t2-21t-5X73=0t1=35,t2=-49(舍)2由7x=35得x=1+log75是原方程的解(2)两边取以10为底的对数，方程化为31g2x-5lgx-2=0,从而lgx=2,11-1.解得x=100或x=10"检验知x=100,x=103是原方程的解。3讲明：通过例1、例2,训练学生解指、对数方程的差

34、不多能力和基础方法，使之具备解较简单指对数方程的能力。例24解方程：1og0.5xx2-141og16xx3+401og4x=0解：x>0,当x?1时，利用换底公式将原方程化为：10gxx21410gxx34010gxx_010gx(0.5x210gx(16%10gx(4x)201 10g x 2 1 410g x 2 1 210gx 20-2-_210gx2310gx2201logx2或10gx22.2x=4或x=经检验4,它差系多上原方程的根。2由于换底时，可能失此1,经检验x=1是原方程的根。.x=4,x=1,x=型差不多上原方程的根。2讲明：通过本题，训练学生查找失根的能力，使之

35、具备解复杂方程的能力9 .指数不等式与对数不等式指数不等式与对数不等式差不多上超越不等式，其解法与它们的方程解法有点类似（例如换元法）。解如此的不等式需要用到指数函数与对数函数的性质，专门是单调性。对其底数是否大于1或小于1及定义域要专门重视。例25解下列不等式2(1)910g3x-71og48x-12>0(2)1og0.3x2x2<1og0.3(2x27x3)(3)1oga(3)x2+1oga(c4)2x<ioga；32-3x13(4)1og4(3x-1)1og13<解：(1)910g3x-71Og48x2-12>03210g3x-710g7x-12>0x

36、2-x-12>0x>4或x<-3(舍).原不等式的解为x|x>4(2)原不套0化为：2x27x3>0解之得：3cx<52xM不净瓷的翻集为x13cx<5(3)原不等式化为x210ga(|)+4x10ga(1)>510ga(3)当a>1时，10ga(|)<0,贝Ux2+4x-5>0解得x<-5或x>1当0<a<1时，10ga(3)<0,则x2+4x-5<0解得-5<x<12当a>1时，原不等式解集为乂乂<-5或乂>1当0<a<1时，原不等式解集为x|-5

37、<x<1(4)利用对数的性质将原不等式化为log4(3x-1)2-2log4(3x-1)+3=04令t=log4(3x-1)得4t2-8t+3A0解得：区工或931 22当twl时，0<3x-1<2,即1<3xW3/.0<x<12 3当tn3时，3x-1A4"即3xA8+1/.x>2.原不等式的解集为xI0<x<1或xA2讲明：通过解指数不等式与对数不等式，训练学习应用函数性质能力，使之具备解指数不等式与对数不等式的能力。10 .综合咨询题(1)函数y=f(x)可看成是函数y=f(u)与u=(x)复合而来的。或称y=f(x)

38、是丫=也)与口=(x)的复合函数。在现在u=(x)的值域应为y=f(u)的定义域的子集。例如：y=102x-1能够看作是函数y=10x与u=2x-1复合而成的。(2)y=f(x)的定义域是指使得u=(x)有意义且同时使y=f(u)有意义的x的取值范畴。记此定义域为D,当x6D时，u的值域为D',当u在D'内变化时，现在y的取值集合称为y=f(x)的值域。(3)在复合函数y=f(x)中，若u=0(x)在区间(a,b)上是单调函数,复合函数y=f(u)在区间(a),8)或(b),(a)上是单调函数，那么复合函数y=f(x)在区间(a,b)上也一定是单调函数，它的增减性如下：当口=(

39、x)与y=f(u)的增减性相同时，y=f(x)是增函数，否则为减函数。(4)通过对函数图像的平移、对称等变换，可使函数形式变得更为简洁。(A)y=f(x+a)的图像：是将y=f(x)图像左移a个单位。(B)y=f(x)+b的图像：是将y=f(x)图像上移b个单位。(C)y=-f(x)的图像：是将y=f(x)图像关于x轴对称而得到。(D)y=f(-x)的图像：是将y=f(x)图像关于y轴对称而得到。(E)y=|f(x)|图像：是将f(x)<0的部分曲线关于x轴对称、同时将f(x)A0的部分曲线保持不变。(F)y=f(1x1)的图像：是将xA0处的图像y=f(x)保持不变，xW0处的图像由y

40、=f(x)(x>0)关于y轴对称而得到。(5)如果f(m+x)=f(m-x)成立,则y=f(x)图像关于x=m对称,若f(x)=f(2m-x),则y=f(x)图像关于x=m对称。(6)函数y=f(x-m)与y=f(m-x)的图像关于x=m对称。函数y=f(x)与y=f(2m-x)的图像关于x=m对称。(7)函数的最值咨询题与含参咨询题是两类重要题型，具覆盖面广、综合性强，对提升能力专门有关心。(8)例题赏析：例26求函数y=log0.2(2x2-x-3)的定义域与值域并讨论其单调性。解：设2x2-x-3=u,则函数能够看成是y=log0.2u与u=2x2-x-3的复合函数。.,2x2-x

41、-3>0.x<-1或x>323函数定义域为x|x<-1或x>33rr一2当x<-1或x>。时，u=2x2-x-36(0,+oo)2.y6R,即值域为R当x<-1时u(x)y=log0.2u.y=log0.2u(x)Z当x>3时u(x)/y=log0.2u-.y=log0.2u(x)23.y=log0.2(2x2-x-3)的递增区间是(-s,-1),递减区间是(,+)讲明：讨论复合函数的单调性，值域等均不能离开定义域，通过本题训练，使学生具备深刻认识复合函数的能力。例27设a>0,a#1,f(x)=loga(x+Vx21)(1)判定函数

42、f(x)的奇偶性；(2)求函数的反函数f-1(x);(3)若方程f(x)=loga(2x+ak)有实数解，求k的取值范畴。解.x+V7_7>x+|x|>0.f(x)定义域为Ro设u=x+Jx21,则u6(0,+°°),f(x)值域为Rof(-x)=loga(-x+1)=loga(x+x21)-1=-f(x)二f(x)是奇函数。设y=loga(x+vx21),则ay=x+x21,a-y=x21-x1 ,、,ayay2xx(ay-a-y):反函数f-1(x)=1(ax-a-x)(xR)2由对数性质知loga(x+vx21)=loga(2x+ak)2xak>0x

43、>a/.d/.2当k=0x寸,1总解"从而原用星无解。a2k242,2当k?0时，又a>0,由得x=LU代入得,1a2b2ak2ak>2ak2,222,21 ab_a>o2ak>0/.k>02ak当k>0时，原方程有实数解。讲明：通过讨论复合函数的性质和方程的解，训练学生解题技能和运算能力，使之具备一定综合分析能力。例28方程1+log2(2lgax)210gx2有解。求a的取值范畴。1og2x解：由题意知x>0JLx#1且x<21ga整理化简原方程得：x2-21gax+4=0.A0,.41g2a-16A0.1gaW-2或1gaA

44、20<a<或an100100又x1x2=4>0,x>0.x1+x2=21ga>0ta>1故an100,现在x1,2=1ga±，1g2明显lga-lg2a4>0lga+x'lg2a4<2lga,即0<x<2Iga成立。若5lga-0ga4=1则lga=,a=102,现在lga+Jlga4=4是原方程的根。这确实是讲aA100时，方程必有解x合条件：0<x<2lga,且x#1。.方程有解时，a的取值范畴是an100讲明：通过含参一元二次方程的讨论，训练学生对判不式及求根公式和韦达定理的综合运用能力，使之具备正

45、确审题，全面分析的能力。例29设奇函数f(x)的定义域为(。，0)U(0,+s)且在(0,+s)上单调递增，f(1)=0,解不等式：f：x(x-)<02解：奇函数f(X)在(0,+s)上递增f(x)在(-8,0)上单调递增又f(-1)=-f(1)/.f(-1)=f(1)=0当x6(-1,0)U(1,+8)时f(x)>0当x6(-oo,-1)U(0,1)时f(x)<0又x(x-1)=(x)2-工A-工>-1欲使fx(x-工)<0成立，则必有2416162x-(x-1)(0,1)>210<Xx-1)<1懈之得：_3cx<0或1<x<

46、3424讲明：通过解抽象函数不等式，训练学生的逻辑思维能力使之具备分析抽象函数性质的能力。例30关于k6N,用Ik表示区间(2k-1,2k+1。已知x6Ik时，f(x)=(x-2k)2,求集合Mk=a|使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值解：y=f(x)图像确实是将y=x2(x6(-1,1)向右平移2k个单位所得，其中kN设y1=f(x),y2=ax,同集合Mk可知，若aSM,则函数y1=f(x)与y2=ax图像有两个交点，即当x=2k+1时，0<y2<1.二0<aw2k12k 1.Mk=a|0<a<k6N=,即Mk=(0,2k1讲明：通过化简集

47、合，训练学生图像变换，数形结合能力，使之具备用图像法分析方程根的能力。例31设函数y=f(x)定义在R上，当x>0时，f(x)>1,且对任意m,nWR,有f(m+n)=f(m)f(n),当m?n时，有f(m)?f(n)(1)证明：f(0)=1(2)证明：f(x)为增函数证明：(1)令m=0,则对任意n6R,有f(n)=f(n+0)=f(0)f(n).f(0)=1设x<0则-x>0且x+(-x)=0由知fx+(-x)=1又fx+(-x)=f(x)f(-x),f(-x)>1f(x)=-1-(0,1)f(x)故当x<0时f(x)6(0,1)当x=0时f(x)=1,

48、当x>0时f(x)>1即对任意x6R,f(x)>0成立。设x1,x26R,且x1<x2,贝Ux2-x1>0,x2=x1+(x2-x1),f(x2-x1)1f(x1)-f(x2)=f(x1)-fx1+(x2-x1)=f(x1)1-f(x2-x1)<0f(x1)<f(x2),f(x)为增函数。讲明：通过证明f(x)的单调性，训练学生讨论抽象函数f(x)性质的能力,使之具备定的逻辑思维能力。u.(【同步法纲练习】M、P、S是I的3个子集，则阴影部分的集合是A.(MAP)ASB.(BAP)USc.(mnp)nSD.(MAP)US2 .函数y=vx1的值域为()

49、A：,B.(0,22)C.22,+°°D.0,+°°)23 .若函数f(x)=log=,2x3)中，当x<-1时，f(x)是增函数，则a的取值范畴是A.a> 1C.a> 1 或 a<-1B.-1<a<1D.-1<a<1且a?04.函数f(x)=log 1 (6-x-x2)的单调递增区间是(A. -1, +°° c21C.(。，-1)215用数 y=log 1(x+2B.D.(-3)-1, 2A.函数y=a | xB+1)(x> 1潮:最大值是(口，了B.2C.-3D.37 .已知函

50、数f(x)存在反函数，且f(x+1)的图像过点(0,2),那么下列函数中，可能是f(x)的反函数的是()A.y=1+<4x2(0<x<2)B.y=1-v,4x2(-2<x<2)C.y=2-v14x2(0<x<2)D.y=4nx(0<x<2)8 .设1<(1)b<(l)a<1,那么()222A.aacab<baB.aacba<abC.ab<aa<baD.abcba<aa19 .设f(x)是以4为周期的偶函数(xR),已知x0,2时，f(x)=x马,则()B.f(3)<f(|)<f(p

51、D.f(7)<f(3)<f(1)22a的取值范畴是()B. 1 < aw 233D. 1<a< 2 或33A.f(3)<f(7)<f(5)C.f(5)<f(3)<f(7)2210 .已知lOga(3a1)恒为正数,那么实数A.a<13C.a>1a>1(二)填空题11 .函数y=v'42x24x5的定义域为12 .已知函数f(x)=ax+m的图像通过点(1,3),其反函数f-1(x)的图像通过点(2,0),那么函数f(x)的解析式是13 .已知定义在闭区间0,3上的函数f(x)=kx2-2kx的最大值为3,那么实数k

52、的值是14 .方程10g2(9-2x)=3-x的解集是15 .如果奇函数f(x)在区间a,b(a,b>0)上是增函数且有最小值3,则f(x)在区间-b,-a上的最大值是(三)解答题16 .求函数f(x)=10gax21(a>0,a#1)的定义域.|x|x17 .已知函数f(x)=(a#0)的图像过点(-4,4),且关于直线y=-x或axb轴对称图形，试确定f(x)的解析式.18 .已知函数f(x)=loga(x-ka),g(x)=loga2(x2-a2)(1)用k、a表示f(x)、g(x)的公共定义域；(2)如果方程loga(x-ka)=loga2(x2-a2)有解；k的取值范畴如

53、何？19 .为了爱护环境，实现都市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形ABCD上规划出一块长方形地面建筑公园，公园一边落在CD上(如图)，但不得”:知爱护区AEF的EF.咨询如何设计才能使公园占地面积最大，并求昌葭情献.其中:AB=200m.BC=160m,AE=60m,AF=40m.A£B19题图20 .定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且x6(0,1)时,f(x)=34x1求f(x)在-1,1上的解析式;(2)证明f(x)在(0,1)上是减函数;(3)当入取何实数值时，方程f(x)=入，在-1,1上有解.参考答案【同步达纲练习】21 )1.C2.B3.D4.B5.A6.B7

54、.A8.C9.D10.D提示：1 .了解并集、交集以及两集合互补的含义.2 .给出函数的定义域为1,+s),又y二2t,故函数在1,.x1.x1+0°)上是减函数，且y>0.3 .x<-1时，f(x)=x2-2x-3是减函数，而f(x)是增函数，故0<a2c1选D.4 .函数f(x)的定义域为(-3,2).且f(x)由u=-x2-x+6与丫=唠/复合而成.5 .当x>1时，x+1=(x-1)+2>2j(x1)+2=2+2=4.x1x1x1当且仅当x-1=,，即(x-1)2=1,即x=2时，上式中等号成立，并注意y=x1唠在(0,+oo)上是减函数.x,6.y=a(x),先作y=ax(xA0)图像，因为y=a|x|是偶函数，故选ax(x<0)B.7 .f(x)的图像向左平移1个单位可得到f(x+1)的图像，故f(x+1)的图像向右平移1个单位得f(x)的图像.因此f(x+1)