第五章弯曲应力

1、材料力学第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学5.1 5.1 纯弯曲纯弯曲材料力学LaaFFF图图 SF(+)(-)-FFa(+)M-图图纯弯曲：纯弯曲：梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪力（力（ ）。）。0, 0FsM0, 0FsM横力弯曲：横力弯曲：梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（ ）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲纯弯曲材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲纯弯曲材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲纯弯曲MMM凹边缩短凹边缩短凸边伸长凸边伸长说明横截面上只有存

2、在正应力。说明横截面上只有存在正应力。现象一：现象一：材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲纯弯曲MMM纵向纤维间距离不变纵向纤维间距离不变现象二：现象二：说明横截面上没有切应力。说明横截面上没有切应力。材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲纯弯曲MMM现象三：现象三：横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的轴线，此即弯曲的平面假设。变形后的轴线，此即弯曲的平面假设。材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲纯弯曲MM现象四：现象四：有一个曲面，其纵向线段既不伸长又不缩短。有一个曲面，其纵向线段既不伸长又不缩短。材料力学中性层：中性层：杆件弯曲变形时，其纵向线

3、段既不伸长杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长 又不缩短的曲面。又不缩短的曲面。中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲纯弯曲材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5.25.2纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力材料力学mmnndx1o2oaby变形后变形后oo曲率中心，曲率中心，y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层中性层 的曲率半径，的曲率半径，21oo纵向纤维纵向纤维ab:变形前变形前 21dxooab d 变形后变形后 ba dy)( 弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力oa b

4、 材料力学所以纵向纤维所以纵向纤维ab的应变为的应变为:abab dxddy )( dyd y 轴向变形规律：轴向变形规律：与实验结果相符（见图）。与实验结果相符（见图）。轴向变形的大小与到中性层的距离成正比，轴向变形的大小与到中性层的距离成正比，离中性轴越远，变形越大。离中性轴越远，变形越大。M弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力材料力学在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律 E yE 对一定材料，对一定材料， E=C； 对一定截面，对一定截面，.1C y与实验结果相符与实验结果相符 （见图）。（见图）。横截面上的正应力分布规律：横截面上的正应力分布规律：

5、横截面上正应力的大小与到中性层的距离成横截面上正应力的大小与到中性层的距离成正比，离中性轴越远，应力越大。正比，离中性轴越远，应力越大。材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力zIMyM M：横截面上的弯矩；：横截面上的弯矩；y y：横截面上任意一点与中性轴的距离；：横截面上任意一点与中性轴的距离；I Iz z：横截面上对中性轴的惯性矩。：横截面上对中性轴的惯性矩。材料力学zbh竖放：竖放：矩形截面：矩形截面：3121bhIz z hb平放：平放：3121zhbI 弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力材料力学zd464dIz dzD)1(64I44Z D

6、)(Dd 圆形截面：圆形截面：实心：实心：空心：空心：弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力正应力的符号规定：正应力的符号规定： 拉为正，压为负。拉为正，压为负。练习根据内力（弯矩），分析符号：练习根据内力（弯矩），分析符号：zxzx材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力zIMy 材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力材料力学弯曲应力弯曲应力/ /纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力zx2IIpz 材料力学5.35.3横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力弯曲应力弯曲应力/

7、/横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力材料力学现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲梁弯曲变形时，既有剪力又有弯矩。梁弯曲变形时，既有剪力又有弯矩。梁弯曲变形时，横截面上不但有正应力梁弯曲变形时，横截面上不但有正应力还有切应力。还有切应力。说法一：说法一：说法二：说法二：材料力学弯曲应力弯曲应力/ /横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力zIMy材料力学弯曲应力弯曲应力/ /横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力zIMy 在弯矩最大的截面上，在弯矩最大的截面上，并且离中性轴最远处。并且离中性轴最远处。思考：何处正应力最大？思考：何处正应力最大？材料力学弯曲应力弯曲应力/

8、/横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力最大正应力为：最大正应力为：maxzyIWz zIyMmaxmaxmax 引入符号引入符号Wz：抗弯截面系数：抗弯截面系数则公式变为：则公式变为：zmaxmaxWM 材料力学弯曲应力弯曲应力/ /横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力常见截面常见截面Wz的计算如下：的计算如下：zbh竖放：竖放：2z61bhW z hb平放：平放：2z61Whb 矩形截面矩形截面材料力学弯曲应力弯曲应力/ /横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力圆形截面圆形截面zd实心：实心：3z32dW dzD空心：空心：)1(3243z DW材料力学q=60kN/mAB1m2m111212

9、018030Z简支梁如图所示，截面尺寸如图，单简支梁如图所示，截面尺寸如图，单位为位为mm，求，求1-1截面上截面上1、2两点正应力的两点正应力的大小，并求此截面上的最大正应力。大小，并求此截面上的最大正应力。材料力学q=60kN/mAB1m2m111212018030ZzIMy 材料力学zmaxmaxWM max zIyMmaxmaxmax 材料力学WMzmaxmax 材料力学F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m材料力学FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mkN5 . 2FAR kN5 .10FBR 材料力学FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-

10、+4kN2.5kNkN5 . 2FAR kN5 .10FBR mkN4Mmax 材料力学mkN4Mmax IyMzmaxmaxmax mm52dymax 64dI4Z 材料力学F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m80y1y22020120z材料力学思路：思路：做弯矩图，根据弯矩图和截面特性确定出危险截面做弯矩图，根据弯矩图和截面特性确定出危险截面分别校核危险截面的抗拉和抗压强度分别校核危险截面的抗拉和抗压强度F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m80y1y22020120z材料力学FRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mkN5 . 2FAR kN5 .10FBR

11、材料力学-+4kN2.5kNT T型截面相对中性轴不对称，因此同一截型截面相对中性轴不对称，因此同一截面上的最大拉应力和最大压应力是不同的，面上的最大拉应力和最大压应力是不同的，正负弯矩的最大值处均可能是危险截面。正负弯矩的最大值处均可能是危险截面。80y1y22020120z材料力学F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kNmkN5 . 2MC mkN4MB 材料力学MPa2 .27IyMtz1Bmax 拉拉MPa2 .46IyMcz2Bmax 压压MPa8 .28IyMtz2Cmax 拉拉80y1y22020120zmkN5 . 2MC mkN4MB 材料力学选择题：

12、设计钢梁时，宜采用中性轴为（）的选择题：设计钢梁时，宜采用中性轴为（）的截面，设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（）的截面，设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（）的截面。截面。（A）对称轴；对称轴；（D）对称或非对称轴。对称或非对称轴。（B）偏于受拉边的非对称轴；偏于受拉边的非对称轴；（C）偏于受压边的非对称轴；偏于受压边的非对称轴；材料力学弯曲应力弯曲应力/ /横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力相似题目相似题目课本课本146146页例页例5.35.3材料力学WMzmaxmax 材料力学WMzmaxmax 材料力学ACBFa2a203014材料力学FaACBFa2aFaMMmaxB 材料力学FaMMma

13、xB IyMzmaxmaxmax 203014mm10ymax 433zcm07. 112)cm2)(cm4 . 1(12)cm2)(cm3(I 材料力学弯曲应力弯曲应力/ /横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力相似题目相似题目课本课本144144页例页例5.15.1材料力学弯曲应力弯曲应力/ /横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力完成课本完成课本145145页例页例5.25.2思路：思路：做出卷筒心轴的简化图做出卷筒心轴的简化图求出支座反力求出支座反力画出弯矩图画出弯矩图根据弯矩图和截面特性确定出危险截面根据弯矩图和截面特性确定出危险截面 WM分别校核危险截面的强度分别校核危险截面的强度材料

14、力学5.4 5.4 弯曲切应力弯曲切应力弯曲应力弯曲应力/ /弯曲切应力弯曲切应力材料力学弯曲应力弯曲应力/ /弯曲切应力弯曲切应力横力弯曲时，既有弯矩又有剪力，横力弯曲时，既有弯矩又有剪力，因此横截面上既有正应力又有切应力。因此横截面上既有正应力又有切应力。LABF0.9L(+)(-)图图 Fs0.9F0.1F图图 M(+)0.09FL材料力学弯曲应力弯曲应力/ /弯曲切应力弯曲切应力1. 矩形截面切应力的计算公式矩形截面切应力的计算公式)4(6223yhbhFS bhz:y横截面上任意一点到中性轴的距离横截面上任意一点到中性轴的距离材料力学)4(6223yhbhFS 矩形截面梁横截面上的切

15、矩形截面梁横截面上的切应力大小沿着梁的高度按应力大小沿着梁的高度按抛物线抛物线规律分布。规律分布。;0,2hymin bhFsy23,0max AFS23 弯曲应力弯曲应力/ /弯曲切应力弯曲切应力2. 矩形截面切应力的分布规律矩形截面切应力的分布规律材料力学弯曲应力弯曲应力/ /弯曲切应力弯曲切应力材料力学bh2F3Smax 弯曲应力弯曲应力/ /弯曲切应力弯曲切应力max 材料力学5.65.6提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施弯曲应力弯曲应力/ /提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件WMzmaxmax 提高弯曲强度的措施：提高弯曲强度的措施

16、：W,Mzmax ，材料力学LABF0.5L图图 M(+)0.25FLLABF0.8L图图 M(+)0.16FL弯曲应力弯曲应力/ /提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学LABF0.9L图图 M(+)0.09FLLABF图图 M材料力学LABF0.5L图M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L图M0.125FL弯曲应力弯曲应力/ /提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学ABF0.6L0.2L0.2L图图 M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL图图 M0.125FL(+)弯曲应力弯曲应力/ /提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施ABF0.5L0.5L图

17、图 M(+)(+)FL321FL5129FL5129材料力学（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。z弯曲应力弯曲应力/ /提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学（2 2）可在中性轴附近开孔。）可在中性轴附近开孔。弯曲应力弯曲应力/ /提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学（1 1）在相同面积的前提下，选择）在相同面积的前提下，选择W WZ Z较大的截面。较大的截面。相相对对值值ZW截面形状截面形状圆形圆形正方形正方形矩形矩形工字形工字形11.181.674.57弯曲应力弯曲应力/ /提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学北宋李诫于北宋李诫于11001100年著年著营造法式营造法式一书中指出：一书中指出：矩形截面梁的合理高宽比矩形截面梁的合理高宽比h:b=3:2h:b=3:2，试用弯曲正应力，试用弯曲正应力强度理论说明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述比例强度理论说明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述比例接近于最佳比值。接近于最佳比值。（2 2）相同形状的截面，选择）相同形状的截面，选择W WZ Z较大的。较大的。材料力学弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件WMzmaxmax 材料力学英（英（T.YoungT.Young）于）于18071807年著的年著的自