第一讲：课前准备、数学美

1、第一讲 课前准备和数学美自我介绍、点名认识学生我是谁？ 教师、客体、导演你们是谁？ 学生、主体、编剧、主演我做什么？ 引导、互动、任务、情景、观点、问题你们做什么？ 执行、配合、完成、演绎、讨论、探究课程教授方式？课程考核方式？工具准备：本子、红笔、黑笔纪律准备：关于迟到 later better than never？关于早退 尿遁？关于手机 低头族？关于食物 炸鸡与啤酒？关于闲聊 两个女人等于一千只鸭子？关于睡觉 眼睛一闭一睁，一天就没了？关于后排 我送你离开千里之外，你无声黑白？数学是理性思维和想象的结合,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由

2、计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所赏识，却很少有人把它与美学联系起来，数学起源于建筑，正是对美的追求，才产生了数学。似乎数学与美学毫不相干。其实，这是对数学本质的一种误解，是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识，数学以一种独特的方式来诠释美学。古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关，而且数学中充满着美的因素,到处闪现着美的光辉。早在二千年多前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就

3、极度赞赏整数的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。第五世纪著名数学评论家普洛克拉斯进而断言：“那里有数,那里就有美”。近现代许多著名的数学家对数学中的美更是赞叹不已。英国著名数理逻辑学家罗素指出:“数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。”英国著名数学家哈代认为,不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。美国数学家、控制论的创始人维纳则说：数学实质上是艺术的一种。 我国著名数学家华罗庚教授说过：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”数学中的美是千姿

4、百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。把内容和形式结合起来考察,数学美的特征主要有两个：一个是和谐性,一个是奇异性。 和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征,任何美的东西无一不给人以和谐之感。和谐性的表现形式很多，就数学而言,其典型表现有以下几种形式。统一性（1） 数学概念、规律、方法的统一。一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算

5、、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。又如代数中的算术平均几何平均定理、加权平均定理、幂平均定理、加权幂平均定理等著名不等式,都可以统一于一元凹、凸函数的琴森不等式。在数学方法上，同样渗透着统一性的美。例如,从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法。数学中的公理化方法,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一。（2）数学理论的统一。在数学发现的历史过程中，一直存在着分化和整体化两种趋势。数学理论的统一性主要表现在它的整体性趋势。欧几里德的

6、几何原本,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论体系,显示出高度的统一性。布尔基学派的数学原本,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的高度统一性上给人一美的启迪。（3）数学和其它科学的统一。数学和其它科学的相互渗透，导致了科学数学化。正如马克思所说的,一门科学只有当它成功的运用数学时,才算达到了真正完善的地步。力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系。科学的数学化使物理学与数学趋于统一。建立在相对论和量子论两大基础理论上的物理学,其各个分支都离不开数学方法的应用,它们的理论表述

7、也采用了数学的形式。化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学过渡。生物数学化使生物学日益摆脱对生命过程进行现象描述的阶段,从定性研究转向定量研究,这个数学化的方向,必将同物理学、化学的数学化方向一样,把人类对生命世界的认识提高到一个崭新的水平。不仅自然科学普遍数学化了,而且数学方法也进入了经济学、法学、人口学、人种学、史学、考古学、语言学等社会科学领域,日益显示出它的效用。数学进入经济学领域最大的成就是本世纪出现的计量经济学。数学进入语言学领域，使语言学研究经历了统计语言学、代数语言学和算法语言学三个阶段。数学向文学的渗透,发现了数学的抽象推理和符号运算同文学的形象思维之

8、间有着奇妙的联系。对称性从数学美来讲,对称包括狭义对称、常义对称与泛对称等,内容十分丰富。狭义对称可分为代数对称（共轭根式、共轭复数、对称多项式、轮换对称多项式、线性方程组的克莱姆法则、对称矩阵、反对称矩阵、厄米特矩阵、反厄米特矩阵等)与几何对称（轴对称、中心对称、平面对称等）,常义对称包括同构、同态、映射、反演、互补、互逆、相似、全等等，泛对称包括数学对象的系统性、守恒性、不变性、周期性、对偶性、等价性和匀称等。1*8+1=9 1*9+2=1112*8+2=98 12*9+3=111123*8+3=987 123*9+4=1111简单性简单、明快才能给人以和谐之感,繁杂晦涩就谈不上和谐一 致

9、。因此,简单性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。数学美的简单性，并非指数学对象本身简单、浅显,而是指数学对象由尽可能少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成,并且蕴含着丰富和深刻的内容。数学的简单美,主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简单性。（1）数学结构的简单美。（2）数学方法的简单美。（3）数学形式的简单美。简单性也是数学形态美的主要特征。数学形态美，是数学美的外部表现形态，是数学定理和数学公式(或表达式)的外在结构中呈现出来的美。形态美的主要特征，在于它的简单性。例如，牛顿用F=ma概括了力、质量、加速度之间的定量关系；爱因斯坦用E=mc2 揭示了自然界的质量和能量的转

10、换关系；这里F=ma、E=mc2就外在形式而论，都是非常简洁的，不失为数学形态美的范例。奇异性(1 )突变性。法国数学家托姆创立的突变论，就是研究自然界和社会某些突变现象的一门数学学科。他运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然界和社会一些事物的性态、结构突然变化的规律，所给出的拓扑模型既形象又精确，给人一种特有的美感。(2) 反常性。反常事实，如德国数学家魏尔斯特拉斯在1856年提出的一个处处连续又处处不可导的函数，就与人们的传统认识 “连续函数至少在某些点处可导”相冲突；反常命题，如非欧几何的命题“平行线在无穷远处相交”，反常于欧氏几何的“平行线永不相交”；(3) 无限性。比如

11、圆周率(4) 奇巧性。欧拉求无穷级数 1/n2和的方法、蒲丰投针求p值的方法、希尔伯特解决果尔丹问题的存在性证明方法，都以其巧妙而赢得学术界的高度赞美。(5) 神秘性。比如，在历史上，虚数曾一度被看作是“幻想中的数”、“介于存在和不存在之间的两栖物”；无穷小量dx曾长期被蒙上神秘的面纱，被英国大主教贝克莱称为“消失了量的鬼魂”；非欧几何在长达半个世纪的时间内被人称为“想象的几何”、“虚拟的几何”等等。 弗兰西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，

12、都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。和谐性和奇异性作为数学美的两个基本特征 ，是对数学美的两个侧面的模写和反映，它们既相互区别，又相互依存、相互补充，数学对象就是在两者的对立统一中显现出美的光辉的。5表现形式语言美数学有着自身特有的语言数学语言，其中包括：1 数的语言符号语言关于“” ，九章算术 如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大

13、海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。还有sin、 等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。2形的语言视角语言从形的角度来看对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值” 让我们联想起“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。简洁

14、美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。欧拉给出的公式：VE+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的周长公式：C=2R勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 。正弦定理：ABC的外接圆半径R，则数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说

15、清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。庞加莱指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。和谐美美是和谐的和谐性也是数学美的特征之一和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。 Carus,Paul数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式： ，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、这样的组合可以给出 ，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。欧拉公式： ，曾获得

16、“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗欧拉公式是 （1）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹确是“天作之合”。和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比 ，即0.61803398。在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。建筑物的窗口，宽与高度的比一般为 ；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体

17、温）约为0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割比 为“神圣比例”他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。与 有关的问题还有许多， “黄金分割”、“神圣比例”的美称，她受之无愧。统一美数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和更简单的方法”。爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式

18、E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。抽象美和自由美从初等数学的基本概念到现代数学的各种原理都具有普遍的抽象性与一般性。正如开普勒所说的：“对于外部世界进行研究的主要目的，在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的”。数学的第一特征在于她具有抽象思维的能力，在数学中所处理的是抽象的量，是脱离了具体事物内容的用符号表示的量。它可以成为任何一个具体数的代数，但它又不等于任何具体数。比如“N”表示自然数，它不是N个岗位，N只鸡或N张照片也不是哪一个具体的数，分不清是0 ？是1？或者