解三角形最佳补习教程

1、彭老师数学 解三角形专题第1讲 正弦定理和余弦定理 知 识 梳理 1 内角和定理：在中，；2 面积公式: = 3正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一： (解三角形的重要工具,注意比例性质的应用)形式二： (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.（1）形式一： (解三角形的重要工具)形式二： ； ； cosC=（2）斯特瓦特定理：在ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=（3）海伦公式：SABC=这里 重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利

2、用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 （ ） A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 问题2: 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 运用正、余弦定理求角或边题型1.求三角

3、形中的某些元素例1已知：A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，.（）求角A的大小；（）若求的长.【新题导练】1.在ABC中，a1，b，B60，求c.2若在ABC中，求ABC外接圆的半径R. 题型2判断三角形形状例3在ABC中，bcosAcosB，试判断三角形的形状.【新题导练】3.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形4. 在ABC中，若，则ABC的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形D.等边三角形考点2: 三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换

4、,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.例1 设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：的值；【新题导练】5三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，, 若,求角B的大小； 6在RtABC中，C=90,且A，B，C所对的边a,b,c满足a+b=cx，求实数x的取值范围. 考点3 与三角形的面积相关的题题型1:已知条件求面积例1:在中， （）求的值；（）设，求的面积题型2:已知面积求线段长或角例2在中， 、求的值；、设的面积，求的长【新题导练】7.在三角形中，求三角形的面积。8. 在中，则等于 A、 B、 C、或 D、或基础巩固训练1. 在中，若，则一定是( )

5、A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形2. 在中，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为（）A2 B3 C4 D53.在ABC中，C=，则的最大值是_.4. 若中，则角C的大小是_5.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, ， =，则其外接圆的半径为_.6.在ABC中，已知，A45，BC=，求角C。综合拔高训练7.在ABC中，已知，试判断ABC的形状。8.在锐角三角形中，边a、b是方程x22x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)=0，求ABC的面积。9. 在ABC中，若.(1)判断ABC的形状； (2)在上述ABC中，若角C的对边，

6、求该三角形内切圆半径的取值范围。10. (汕头金山中学09届高三11月考)在中，内角对边的边长分别是，已知，（）若的面积等于，求；（）若，求的面积第2讲 解三角形应用举例1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C5.方向角一般

7、是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东度， 北偏西度，南偏东度，南偏西度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，是仰角， 是俯角.7.关于三角形面积问题=ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；absinCbcsinAacsinB；2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）；海伦公式：SABC=这里,( r为ABC内切圆的半径) 1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中

8、的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，问题1. 如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两个测量点，现测得， ，求两景点与的距离（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.问题2. 用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的

9、上空，分别测得气球的仰角是和,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在RtEGA中求解EG，只有角一个条件，需要再有一边长被确定，而EAC中有较多已知条件，故可在EAC中考虑EA边长的求解，而在EAC中有角，EAC180两角与BDa一边，故可以利用正弦定理求解EA.考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题 例1 如图4-4-12，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题

10、思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用求出边长,再进行进一步分析.北甲乙【新题导练】2在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示） 考点2 运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质例2如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了

11、10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【新题导练】A C B北北152o32 o122oCAB1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o求此时货轮与灯塔之间的距离2.为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米

12、？基础巩固训练1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A0.5小时B1小时 C1.5小时D2小时2在中，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ） A B C D 3如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜度q，则cosq= . 3 如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源

13、的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么电灯悬挂的高度h= ，才能使桌子边缘处最亮.5. 某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中，需要在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离. 现测量人员在相距的、两地（假设、在同一平面上），测得，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是、距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？ 综合拔高训练6. 在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为60

14、的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？7. 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值 8. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？第四章 综合检测一、选择

15、题：1. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B的值为（ ）A. B. C.或 D.或2. 在ABC中，a12，b13，C60，此三角形的解的情况是（ ）A无解B一解C二解D不能确定3. 在ABC中，已知,那么ABC一定是 ()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形 4在ABC中，面积为，那么的长度为（ ）A B C D5. 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC

16、)cos(CA)=1，则ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( )A 1 B 2 C 3 D 46在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则的取值是（ ）A、-1 B、1 C、-2 D、28在三角形ABC中“cosAsinAcosBsinB”是“C90”的( ) A、充分非必要条件B、必要非充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件二、填空题：9若AB=2, AC=BC ，则的最大值 .10在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=

17、，sinB=，则cos2(B+C)=_ 11分别为角的对边，为的面积，且则= 12在ABC中，若_ 13在中, 角A、B、C的对边分别为、.若的外接圆的半径,且, 则B= 14 ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60o，ADC150o，则ABC的面积为 15. 在ABC中，内角A满足，且，则A的取值范围是_。三、解答题：16（本小题满分13分）在中，内角对边的边长分别是，已知， （）若的面积等于，求；（）若，求的面积18（本小题满分13分）在中，角所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，判断ABC的形状18（本小题满分14分）航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机

18、的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取1.4,1.7） 图1 图219（本小题满分14分）xOyBCA 如图：是圆上的两点，点是圆与轴正半轴的交点，已知，且点在劣弧上，为正三角形。（1） 求；（2） 求的值。20（本小题满分14分）甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？AB21（本小题满分12分）xyAEBCOA如图，已知单

19、位圆上有四点，分别设的面积为.（1）用表示；（2）求的最大值及取最大值时的值.（补充）2012年高三四月调考（理科）第17题竞赛探究1.一个常用的代换：在ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例： 在ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.2三角换元。例 ： 设a, b, cR+，且abc+a+c=b，试求的最大值。再例 在ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc3、联赛一试水平训练题1在ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是_.2在ABC中，若

20、，则ABC 的形状为_.3对任意的ABC，-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为_.4在ABC中，的最大值为_.5平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记SABD=S，SBCD=T，则S2+T2的取值范围是_.6在ABC中，AC=BC，O为ABC的一点，ABO=300，则ACO=_.7在ABC中，ABC，则乘积的最大值为_，最小值为_.8在ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则=_.9如图所示，M，N分别是ABC外接圆的弧，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。10如图所示，P，Q，R分别是ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA2（PQ+QR+RP）。11在ABC外作三个等腰三角形BFC，ADC，AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断AB