课题直线与圆锥曲线的位置关系(二)

1、课题：直线与圆锥曲线的位置关系（二）【考纲解读】能正确熟练地解决关于直线与圆锥曲线关系的问题.具体地有：1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2、会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题；3、能够运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系【教学目标】 1、会研究直线与圆锥曲线的交点问题；2、进一步熟悉把三角形、四边形、比例线段等问题转化为直线与圆锥曲线关系的问题；3、能把有关对称问题转化为直线与圆锥曲线关系的问题；4、会研究有关定值和

2、最值问题.【例题讲解】例题一 选择题：1、在椭圆上有一点，是椭圆的左右焦点，为直角三角形，则这样的点有 ( C )（A） （B） （C） （D）2、已知为双曲线的渐近线上的任意一点，过作直线与双曲线有且只有一个公共点，则直线的条数为 ( D )（A） （B） （C） （D）以上都不对3、若抛物线上两点关于直线对称，且，则 ( D )（A） （B） （C） （D） 4、若直线与抛物线有且只有一个公共点，则不同值的个数为（A） （B） （C） （D） （ B ）5、已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D） （ C ）6、设为椭圆的左右焦点，过椭圆中心任作一直

3、线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于 （ C ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）4例题二 填空题：1、是椭圆上在第三象限内的点，若它与两焦点的连线互相垂直，则到右准线的距离是 12 .2、过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 2 .3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则中点到抛物线准线的距离为 4 . 4、过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，则的面积的最大值为. 例题三 已知抛物线，是的焦点，过点的直线与相交于两点，设，若，求直线在轴上的截距的变化范围.解：设，又点，则由题设得，则.则，又因，所以，则可

4、解得，所以点或，直线的方程为或，当时，在轴上的截距为或，由，可知在上是递减的.所以，直线在轴上的截距的变化范围为.例题四已知为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量，且.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：(1)由题设得. 由椭圆定义知，轨迹方程为. (2)直线l过点(0，3)，若直线l的斜率不存在，则A、B为椭圆的顶点. ，O、P重合与OAPB是矩形矛盾. 直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，代入，得(4+3k2)x2

5、+18kx-21=0，则有=(18k)2-4(4+3k2)(-21)0，且x1+x2=-，x1x2=-(*) ，四边形OAPB是平行四边形， 假设存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则有， 即有·=x1x2+y1y2=0(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0. 将(*)代入，解得k=±均适合0. 存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形.例题五21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0，-1)，且其右焦点到直线x-y+=0的距离为3.(1)求椭圆方程；(2)是否存在斜率为k(k0)且过定点Q(0，)的直线l，使l与椭圆交于两个

6、不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：(1)设椭圆方程为(ab0)， 则b=1. 令右焦点F(c，0)(c0)， 则由条件得，得. 那么a2=b2+c2=3，椭圆方程为. (2)假设存在直线l：y=kx+(k0)， 与椭圆联立，消去y得 . 由=(9k)2-4(1+3k2)·0，得k2. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)的中点P(x0，y0)， 由|BM|=|BN|，则有BPMN. 由韦达定理代入kBP=，可求得k2=. 满足条件k2，所以所求直线存在，直线方程为. 例题六如图，设离心率为e的双曲线的右焦点为F，斜率为k的直线过点F且与双曲线以及y轴的交点依次为P、Q、R.(1)试比较e2与1+k2的大小；(2)若P为FQ的中点，且ek=2，求e的值.解：(1)过右焦点且斜率为k的直线为y=k(x-c)，把y=k(x-c)代入双曲线方程，得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-(a2c2k2+a2b2)=0. 直线与双曲线有两个交点P、R， 由x1x2=-0，得b2-a2k20， 即c2-a2-a2k20. ()2-1-k20.e21+k2. (2)令y=k(x