导数在研究函数中的应用（课堂PPT）

1、1/17/202211/17/20222 要要 点点 复复 习习)(xf )(xf 1 1. . 函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系:设函数设函数y=f(x)在区间（在区间（a,b）内可导，）内可导，如果在区间（如果在区间（a, b）内）内, 0 ,那么函数那么函数y=f(x)在这个区间内单调在这个区间内单调递增；如果在区间（递增；如果在区间（a, b）内）内, 0,那么函数那么函数y=f(x)在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减.如果在区间（如果在区间（a, b）内）内, 函数函数y=f(x)单调递增，那么在这个区间内单调递增，那么在这个区间内 0;如果在区间如果在区间（a

2、, b）内）内, 函数函数y=f(x)单调递减，那么在这个区间内单调递减，那么在这个区间内 0。 )(xf)(xf)(xf)(xf2.2.用导数法求可导函数单调性区间的步骤：用导数法求可导函数单调性区间的步骤：确定函数确定函数f(x)的定义域；的定义域；求函数求函数f(x)的导数的导数 ；令令 0，解不等式得，解不等式得x的范围就是递增区间；令的范围就是递增区间；令 0，解，解不等式得不等式得x的范围就是递减区间的范围就是递减区间.)(xf)(xf)(xf1/17/20223 要要 点点 复复 习习)(xf )(xf 3 3. . 函数的极值函数的极值函数极值的定义：函数极值的定义：设函数设函

3、数f(x)在包含在包含x0的一个区间（的一个区间（a, b）内定义，）内定义，如果如果y=f(x)在区间（在区间（a, b）内任何一点的函数值都不大于）内任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，点的函数值，就称点就称点x0为函数为函数f(x)的极大值点，其函数值的极大值点，其函数值 为函数的极大值，记为函数的极大值，记作作:y极大值极大值= ；如果如果y=f(x)在区间（在区间（a, b）内任何一点的函数值都不小于）内任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，点的函数值，就称点就称点x0为函数为函数f(x)的极小值点，其函数值的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值，记作为函数的极小值，记作

4、:y极小值极小值 = ；极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值统称为极值点。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值统称为极值点。)(0 xf)(0 xf)(0 xf判断极值的方法：判断极值的方法：当函数当函数f(x)在点在点x0处可导，判断处可导，判断f(x0)是极大（小）值的方法有：是极大（小）值的方法有：定义法；定义法；导数法：如果在导数法：如果在x0的左侧的左侧 0，右侧，右侧 0，那么，那么x0是极大值点，是极大值点，f(x0)是极大值；如果在是极大值；如果在x0的左侧的左侧 0，右侧，右侧 0，那么，那么x0是极小值点，是极小值点，f(x0)是极小值。是极小值。简记为：若简记

5、为：若 在在x0两侧异号，两侧异号，x0是极值点，是极值点，f(x0)是极值；若是极值；若f(x)在在x0两侧同号，则两侧同号，则x0不是极值点。不是极值点。)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf1/17/20224 要要 点点 复复 习习)(xf )(xf 若函数若函数f(x)可导，则可导，则 =0是是x0为极值点的必要不充分为极值点的必要不充分条件。条件。)(0 xf )(xf 用导数法求可导函数用导数法求可导函数y=f(x)极值的步骤：极值的步骤： 确定函数确定函数f(x)的定义域；的定义域； 求函数求函数f(x)的导数的导数 ； 解方程解方程 =0；用用 =0的每一个解的每一个解x0

6、顺次将函数的定义域分成若干个小区间，并顺次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格，分析列成表格，分析f(x)在在x0两侧的符号（即两侧的符号（即f(x)的单调性），确定极值的单调性），确定极值点。点。)(xf)(xf)(xf函数的最值函数的最值 函数的最大与最小值函数的最大与最小值:在闭区间在闭区间a, b上可导的函数上可导的函数f(x)，在区间，在区间a, b上一定有上一定有最大值与最小值，但在开区间（最大值与最小值，但在开区间（a, b）内可导的函数）内可导的函数f(x)不一定有最大值与最不一定有最大值与最小值。小值。 用导数法求可导函数用导数法求可导函数f(x)在闭区间在闭区间a,

7、b上最值的步骤：上最值的步骤： 求函数求函数f(x) 在区间（在区间（a, b）内的极值；）内的极值； 求函数求函数f(x) 在区间端点的函数值在区间端点的函数值f(a),f(b); 将函数将函数f(x) 在区间（在区间（a, b）内的每个极值与）内的每个极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。最大值，最小的一个是最小值。1/17/20225问题提出:极值与最值的区别与联系是什么？X练习 函数f(x) 在区间a, b上的图像如下图:函数f(x)在区间a ,b的极大值是 极小值是 ，最小值是 ，最大值是 0 x5x1x4yabX33X2f(

8、x1) f(x3) f(x5)f(x2) f(x4)f(a)f(a)1/17/20226典例分类剖析典例分类剖析题型1 求函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间 f(x)=2x3-3x2 -36x+16 f(x)= x3-3bx+2 (b0)解：（1）函数f(x)的定义域为R， =6x2-6x-36=6(x+2)(x-3) 令 =6(x+2)(x-3) 0，解得x-2或x3 令 = 6(x+2)(x-3) 0，解之得-2 x 3 故f(x)的单调递增区间为（-，-2），(3，+ )；单调递减区间为（-2，3）)(xf )(xf )(xf )(xf （2）函数f(x)的定义域为R， =3x2

9、-3b 当b 0时， 0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为（-，+ )；当b0时，解 0即x2 b得x - 或x ；解 0得- x 所以f(x)的单调递增区间为（-，- )，（ ，+ ）；单调递减区间为（- ， ）.)(xf )(xf )(xf bbbbbbbb1/17/20227 )(xf )(xf 题型题型2 求函数的极值求函数的极值例例2.求函数求函数y= 的极值。的极值。2221xx- + - 极小值 极大值 由表知函数f(x)的极大值为f(x)=-1，极小值为f(-1)=-3解：解： 令令 =0，解得，解得x=1或或x=-1列表如下：列表如下：222222)1()1 (2)1(22

10、)1(2)()(xxxxxxxfRxf的定义域为)(xf f(x)00(1，+ )1(-1，1)-1(-，-1）x)(xf1/17/20228 )(xf )(xf 题型题型3 求函数的最值求函数的最值例例3.求函数求函数y= x3-12x2+45x-10在区间在区间0,10上的最大值和上的最大值和最小值最小值.解：函数解：函数 = 3x2-24x+45 令令 =0得得 3x2-24x+45=0即即x2-8x+15=0 解得解得 x1=3或或x2=5列表如下：列表如下：)(xf )(xf 极大值 极小值 (3，5)05f(x)010(5，10)3(0，3)0 x)(xf + - +-10240由

11、表知：极大值由表知：极大值f(3)=62，极小值，极小值f(5)=40所以所以f(x)在在0，10上的最大值为上的最大值为240，最小值为，最小值为-10.1/17/202291. f(x)= 5x2-2x的单调递增区间是 2.f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间是（ ） A、（2，+） B、（-，2） C、（-，0） D、（0，2）3.（2009广东）函数f(x)=（x-3）ex的单调递增区间是（ ） A、（-，2） B、（0，3） C、（1，4） D、（2,+）4.函数f(x)的定义域为（a，b），其导函数 在（a，b）内的图像如下图所示，则函数f(x)在区间（a，b）内极小值点的个数是（ ） 5.（2009.辽宁）若函数f(x)= 在x=1处取得极值，则a= .6.(2007.江苏)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间-3，3上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m= .7.（2008.安徽）设函数f(x)=