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1、南航理学院复变函数与积分变换14 4 原函数与不定积分原函数与不定积分& 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念& 2. 积分计算公式积分计算公式南航理学院复变函数与积分变换1 1. 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由由2基本定理的推论知：设基本定理的推论知：设f (z)在单连通区在单连通区域域B内解析，则对内解析，则对B中任意曲线中任意曲线C, 积分积分c f (z)dz与与路径无关，只与起点和终点有关。路径无关，只与起点和终点有关。 当起点固定在当起点固定在z0, 终点终点z在在B内变动内变动,c f (z)dz在在B内就定义了一个变上限的单值函数

2、，记作内就定义了一个变上限的单值函数，记作 zzdfzF0)1()()( 定理定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，则内解析，则F(z)在在B内解析，且内解析，且)()( zfzF 南航理学院复变函数与积分变换1定义定义 若函数若函数 (z) 在区域在区域B内的导数等于内的导数等于f (z)，即，即 ,称称 (z)为为f (z)在在B内的原函数内的原函数. )()( zfz zzdfzF0)()( 上面定理表明上面定理表明 是是f (z)的一个的一个原函数。原函数。设设H (z)与与G(z)是是f (z)的任何两个原函数，的任何两个原函数，)(,)()(0)()()( )( )

3、()(为任意常数为任意常数cczHzGzfzfzHzGzHzG 这表明：这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。( (见第二章见第二章2 2例例3)3)南航理学院复变函数与积分变换1 czFdzzf)()(2. 积分计算公式积分计算公式定义定义 设设F(z)是是f (z)的一个原函数，称的一个原函数，称F(z)+c(c为为任意常数任意常数)为为f (z)的不定积分，记作的不定积分，记作定理定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析， F(z)是是f (z)的一个原函数，则的一个原函数，则),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式。兹公式。南航理学院复变函数与积分变换1例例1 计算下列积分：计算下列积分：;3,3, 0Re, 31)12iizzCdzzC终终点点为为起起点点为为为为半半圆圆周周：其其中中 解解1) 321211,00Re1331222izdzzzzziiC 故故上解析上解析，在在南航理学院复变函数与积分变换1., 1arg1)2的的任任意意曲曲线线终终点点为为起起点点为为内内：为为单单连连通通区区域域其其中中zzDCdzzC

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