matlab中方程根的近似计算(共14页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上实验一 方程根的近似计算一、问题求非线性方程的根二、实验目的1、学会使用matlab中内部函数roots、solve、fsolve、fzero求解方程，并用之解决实际问题。4、熟悉Matlab的编程思路，尤其是函数式M文件的编写方法。三、预备知识方程求根是初等数学的重要内容之一，也是科学和工程中经常碰到的数值计算问题。它的一般形式是求方程f(x)=0的根。如果有x*使得f(x*)=0，则称x*为f(x)=0的根，或函数f(x)的零点。并非所有的方程都能求出精确解或解析解。理论上已经证明，用代数方法可以求出不超过3次的代数方程的解析解，但对于次数大于等于5的代数方程，没

2、有代数求根方法，即它的根不能用方程系数的解析式表示。至于超越方程，通常很难求出其解析解。不存在解析解的方程就需要结合具体方程（函数）的性质，使用作图法或数值法求出近似解。而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。下面介绍几种常见的求近似根的方法。1. 求方程近似解的简单方法1.1 图形方法放大法求根图形的方法是分析方程根的性态最简洁的方法。不过，不要总是想得到根的精确值。这些值虽然粗糙但直观，多少个根，在何范围，一目了然。并且还可以借助图形局部放大功能，将根定位得更加准确一些。例1.1 求方程x5+2x2+4=0的所有根及其大致分布范围。解（1

3、）画出函数f(x)=x5+2x2+4的图形，确定方程的实数根的大致范围。为此，在matlab命令窗中输入clfezplot x-x,grid onhold onezplot('x5+2*x2+4',-2*pi,2*pi) 1-1 函数f(x)=x5+2x2+4的图形clfx=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros(size(x);y2= x.5+2*x.2+4;plot(x,y1,x,y2)grid on axis tighttitle('x5+2x2+4')xlabel('x') 从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。

4、（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。在matlab命令窗中先后键入subplot(2,2,1)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-2,2)subplot(2,2,2)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-2,-1)subplot(2,2,3)ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-1.6,-1.5)subplot(2,2,4)ezpl

5、ot x-x, grid on, hold on, ezplot('x5+2*x2+4',-1.55,-1.54) 图1-2 放大法求函数f(x)=x5+2x2+4的根由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。1.2 数值方法非线性方程f(x)=0求根的方法有区间法和迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程。（1）根的隔离与二分法根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一根x*

6、。二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列xn来逼近根x*。用该方法求f(x)=0的近似解可分两步做：第一步，确定根的近似位置或大致范围，即确定一个区间a,b,使所求根是位于这个区间内的唯一实根。这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：先画出y=f(x)的图形，然后从图上定出它与x轴交点的大概位置。第二步，以根的隔离区间a,b的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。具体步骤如下：取a,b的中点x0=(a+b)/2，若f(x0)=0，则x0就是f(x)=0的根x*。若f(a)

7、f(x0)<0，则根x*必在区间(a,x0)内，取a1=a, b1=x0；否则根x*必在区间(x0,b)内，取a1=x0, b1=b。这样，得到新区间a1,b1，其长度为a,b的一半。如此继续下去，进行n等分后，得到一组不断缩小的区间序列a,b, a1,b1, a2,b2, an,bn,和对应区间的中点数列xn=(an+bn)/2, n=0,1,2, 其中每个区间都含有根x*，满足a,ba1,b1 a2,b2 an,bn 且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。由于an,bn的长度为(b-a)/2n,当n不断变大时，这些区间将收敛于一点x*，该点即为所求的根。当做到第n步时，有选择适当的

8、步数n，就可达到满意的精度。用二分法，理论上区间中点序列xn将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。（2）简单迭代法迭代法的基本原理是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f(x)=0等价变换为，构造迭代计算公式。取定初值x0，算出数列xn。如果xn收敛于x*，则有这说明，x*就是方程f(x)=0的根。上面称为不动点方程，称为迭代函数，数列xn称为迭代数列。（3）牛顿迭代法如果f(x)在a,b

9、上具有二阶导数，f(a)f(b)<0，且f'(x)与f''(x)在a,b上保持同号，这时可采用牛顿迭代法求方程f(x)=0在(a,b)内的惟一实根。牛顿迭代法将非线性方程线性化处理为近似方程，然后用近似方程获得求根的迭代公式。具体做法如下：设xn是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在xk处作泰勒展开，得f(x)=f(xk)+f'(xk)(x-xk)+(f''(xk)/2!)(x-xk)2+取前两项来近似代替f(x)，则得近似线性方程f(x)f(xk)+f'(xk)(x-xk)=0如果f'(xk)0，令其解为xk+1，得xk

10、+1=xk-f(xk)/f'(xk), k=1,2,. （1-1）上式称为f(x)=0的根的牛顿迭代格式。牛顿法具有明显的几何意义，方程y=f(xk)+f'(xk)(x-xk) 是曲线在点(xk, f(xk)处的切线方程。迭代方程（1.1）就是切线与x轴交点的横坐标，所以牛顿迭代法就是用切线与x轴交点的横坐标近似替代曲线与x轴交点的横坐标。因此牛顿法也称切线法，是非线性方程求根方法中收敛最快的方法。2. matlab中方程求解的基本命令roots(p)：求多项式方程的根，其中p是多项式系数按降幂排列所形成的向量。solve(fun)：求方程fun=0的符号解，如果不能求得精确的

11、符号解，可以计算可变精度的数值解。solve(fun,var)：对指定变量var求代数方程fun=0的符号解。fsolve(fun,x0)：用最小二乘法求非线性方程fun=0在估计值x0附近的近似解。fzero(fun,x0)：求函数fun在x0附近的零点。四、实验过程1、编写二分法求根程序，求方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0实根的近似值，使误差不超过10-3。解：（1）求根的初始隔离区间在matlab工作区输入命令：ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x3+1.1*x2+0.9*x-1.4') 图1-4画出曲线图1-4。由上图

12、可知，根应在-2和2之间，进一步画出该部分的图形。ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x3+1.1*x2+0.9*x-1.4',-2,2) 图1-5由图1-5可见，根在0.5与1之间。（2）编写程序如下：f=input('输入函数：f(x)=');qujian=input('输入区间=');err=input('输入误差=');a=qujian(1);b=qujian(2);yc=1;while (b-a)>err)&(yc=0)c=(a+b)/2;x=a; ya=eval(f

13、);x=b; yb=eval(f);x=c; yc=eval(f);if ya*yc<0 b=c; else a=c; end x0=cend 存为文件erfenfa.m调用erfenfa得到如下结果：>> erfenfa输入函数：f(x)='x3+1.1*x2+0.9*x-1.4'输入区间=0,1输入误差=0.001x0=0.5000x0=0.7500x0=0.6250x0=0.6875x0=0.6563x0=0.6719x0=0.6641x0=0.6680x0=0.6699x0=0.6709由此得到，方程的根的近似值为0.6709.2、编写牛顿迭代法求根程

14、序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值，并计算迭代次数为6的近似根。解：由1可知，0.5,1是根所在的区间，在0.5,1上f(x)= x3+1.1x2+0.9x-1.4f'(x)=3*x2+2.2x+0.9, f''(x)=6x+2.2f'(x)与f''(x)在0.5, 1上保持同号，f(1)>0与f''(1)同号，所以取x0=1为迭代初始值。用matlab语言编写一般的程序如下：f=input('输入函数：f(x)=');n=input('请输入迭代次数：n=')

15、;x0=input('请输入迭代初始值：x0=');f1=diff(f);format longfor i=1:nx=x0;fx0=eval(f);f1x0=eval(f1);x0=x0-fx0/f1x0;fprintf('x0=%12.10fn',x0)end 存为文件niudunfa.m，调用及运行结果如下：>> niudunfa输入函数：f(x)='x3+1.1*x2+0.9*x-1.4'请输入迭代次数：n=6请输入迭代初始值：x0=1x0=0.x0=0.x0=0.x0=0.x0=0.x0=0.由此得到，方程的根的近似值为0.。

16、3. 用matlab中的内部函数求方程的根。（1）用roots求方程x9+x8+1=0的根；（2）用solve求上述方程的根；（3）用fzero求方程x2+4sinx=25的实根；（4）用fsolve求方程x=e-x在0附近的根；解：（1）在matlab命令窗口输入命令：p=zeros(10,1); p(1:2,end,1)=1; roots(p) ans = -1.9643 -0.8254 + 0.2893i -0.8254 - 0.2893i -0.6575 + 0.3146i -0.6575 - 0.3146i 0.6573 + 0.4660i 0.6573 - 0.4660i 0.80

17、75 + 0.7906i 0.8075 - 0.7906i （2）在matlab命令窗口输入命令：solve('x9+x8+1=0') ans =RootOf(X19 + X18 + 1, X1) （3）首先作图确定根的大致范围：clf, ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot('x2+4*sin(x)-25') 图1-6由图1-6可确定两根在x1-4，x25附近。再具体求根。x1=fzero('x2+4*sin(x)-25',-4)x2=fzero(' x2+4*sin(x)-25',5) x1 = -4.8049x2 = 5.6235 （4）在matlab命令窗口输入命令：x=fsolve('