填空题的解法

1、、直接法填空题的解法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。【例11设a =（m+1）i-3j,b=i +（m-1）j,其中i , j为互相垂直的单位向量，又（a+b）丄（ab），则实数 m =【解析 1 a+b =(m+2)i+(m-4)j,a-b = mi-(m + 2)j. (a + b)丄(a-b),222(a+b)”(a-b) = m(m+2)j +(m+2)+m(m-4)i j (m + 2)(m-4) j =0 ,而i , j为互相垂直的单位向量，故可得 m(m +2) (m + 2)(m 4)

2、=0, m = 2 o【例2】已知等差数列an的公差dM0,且a1, a3, a?成等比数列，则驚；：；：=【解析】，八 /口 22a1+ 83+ 89 3a1 + 10d 13由已知得 a3= a9，：(a1 + 2d) = ag+ 8d), a1 = d, a2 + a4 + a10 = 3a1+ 13d =乔【例3】f兀、（2008江苏）f（X）= COSIG）X-的最小正周期为I6丿3T，其中 0，则=52江辽【解析1直接代入公式即可。寫T=10O 5【例41 （2010四川理数）直线X2y+5=0与圆x2 + y2=8相交于A、B两点，贝U IabI =8【解析1圆心为（0, 0）,

3、半径为 2 42 , 圆心到直线X 2 y+ 5 = 0的距离为d =故(LABI F+(妁鼻卩血)2得|ab| = 23 J12 +(-2)2-【解析】 X 1 >0, X >1 .【例51（ 10广东理数）9.函数f（x）=lg（x-2）的定义域是二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。【例11在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为COS A + COS C1 +cosAcosCa、b、c。若a、b、c成等差数列，则三角形,【例21【解析1【例31。【解析】特殊化：令a=3,b=4,c

4、= 5，则 ABC 为直角cos A = 3, COSC = 0，从而所求值为3。55QQr-,Q求值 cos a+ cos (a+ 120j+cos (a+240J =题目中“求值”二字提供了信息：答案为一定值，于是不妨令右ABC的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,0H =m(OA + OB+OC),则实数m=【解析1当NB=90时，AABC为直角三角形，O为AC中点,AB,BC边上的高的交点 H和 B 重合，(OA + OB+OC) =OB =OH，二 m=146.【例41(06全国卷I )已知函数f(x)=a-1，若f (X )为奇函数，则a =2x+1【解析1【例511 1

5、1函数 f(x) =a-r若 f (x)为奇函数，则 f (0) =0，即 a-亠=0 , a=-. 2x+120+12若函数f(x)=x 2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，则f(1),f(2),f(4)的大小关系是 【解析1由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是 x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。.f(2)<f(1)<f(4)。【例61 (2010江苏卷)5、设函数 f(x)=x(e x+ae-x)(x <R)是偶函数，则实数 a=【解析1考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex

6、+ae-x为奇函数，由g(0)=0 ,得a= 1。、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。【例11如果不等式J4x - X2(a -1)x的解集为A，且A匚x|0cxc2,。【解析1根据不等式解集的几何意义，作函那么实数a的取值范围是数y = J4x-X2和函数y =(a - 1)x的图象(如图)，从图上得出实数 a的范围是A0范围是(答案用区间表示)【例2】直线y= kx+ 3k 2与直线y=- 4X+ 1的交点在第一象限，则k的取值范围是 【解析】因为y= kx+ 3k 2，即y= k(x+ 3) 2，故直线过定点 P(

7、3, 2)，而定直、 1 2线y=只+ 1在两坐标轴上的交点分别为A(4,0), B(0,1).如图.所示，求得7<k<1.【例3】若关于X的方程Jl_x2 =k(x-2)有两个不等实根，则 k的取值范围是【解析】令 = J1 X2 ,y2=k(x-2),由图 14-3 可知 kAB<k<0,其中AB为半圆的切线，计算得kAB= -!, -Jlvk<0。33【例4】(2010辽宁理数)(14)已知-1 C X + y c4且2 C X - y C 3，则z = 2x -3y的取值【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图60A

8、且a与P -a的夹角为120°贝U a的取值范围是C-【解析】考查平面向量的基础知识和正弦定理的应用等，如图，设uuu in uur uAC =a,AB = P,则在VABC中NACB =60°，根据正弦定理Bsin NABC sin 60°，即 -SinNABC 朋Sin 60o=WABC， AI 一1 c X + V V 4【解析】画出不等式组4y 表示的可行域，在可行域内平移直线 z=2x -3y,当直线(2 C X - y C 3经过x-y=2与x+y=4的交点A( 3,1 )时，目标函数有最小值 z=2 X 3-3 X 1=3;当直线经过x+y=-1 与

9、x-y=3的焦点A ( 1, -2)时，目标函数有最大值z=2 X 1+3 X 2=8.故(3, 8)，则【例5】(2010年江西理)13.已知向量a,b满足a =1,b =2,a与b的夹角为a=OA,b =OB,a-b =OA-OB = BA，由余弦定理得:【例61 (.10浙江理数)已知平面向量Ct, P(a HO,a H P)满足P =1 ,u由于 0 csinNABC <1，所以，故 0 <a四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出 正确的结果。【例1】不论k为何实数，直线 y ：= kx +1与曲线X2 + y2 2ax

10、 + a2 2a 4 = 0恒有交点，则实数a的取值范围是【解析】题设条件等价于点（0, 1）在圆内或圆上，或等价于点（0, 1）到圆(X -a)2 + y2 =2a +4 , 1 < a <3o【例2】（2010.江苏）设实数x,y满足 3 w xy2 w 8,3则JX_的最大值是4y【解析】考查不等式的基本性质,等价转化思想。x211 17)2可16,81,歹飞,1,32.X /X、214= ()*y y32亡2,27 , 7的最大值是27oxyy【例3】（2010天津理数）（16 ）设函数f（X）= X2 -1 ,对任意X晋，母】 1_3丿fx yf -4m2f（x） <

11、; f（X1）+4f （m）恒成立，则实数 m的取值范围是Im丿2【解析】 依据题意得 务-1 -4m2（x2 -1）<（x-仃-1 + 4（m2 - 1在xj?址）上恒定成m2立，即-4m- +1在X迂-,邑）上恒成立。当x=-时函数y = -q-Z +1取51得最小值-一，所以 23mX22X X-4m2<5,即(3m2+1)(4m23) >0, 解得 m<-亟32【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解【例4】（2010重庆理数）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球 中至多命中一次的概

12、率为 16，则该队员每次罚球的命中率为 .163=25 得 p = 325【解析】等价转化为求它的对立事件即可，由1-P2第2讲填空题的解题方法与技巧解题方法例析题型一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通 过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质， 自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.例1在等差数列an中，ai = 3,11a5 = 5a813，则数列an的前n项和Sn的最小 值.变式训练1设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2 = 3,6= 11,则3 =题型二特殊值法特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊

13、到一般，优点 是简便易行.当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为 特殊形式.当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效.例2已知 ABC的三个内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(sin A sin C)(a + c) 口 rm,b= Sin A Sin B，贝0 C =.变式训练2在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,如果a、b、c成 “乂、“ I 十 cos A+ cos C等差数列，则 ；=.，1 + cos Acos C 变式训练3设0是 ABC内部一点，且0A+

14、 0C= 2OB，则 AOB与 AOC的 面积之比为题型三图象分析法(数形结合法)依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题， 称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显.由于填空题不要求 写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性 质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确 的答案.事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅 显易懂，又能节省时间.利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础 知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容.例4已知方程(X

15、2 2x+ m)(x2 2x+ n) = 0的四个根组成一个首项为4的等差数列， 则m n|的值等于.n变式训练4 不等式(|x|-2) sin x<0 ， X - n ,2 n的解集为题型四等价转化法将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模 式.通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的 冋题，从而得出正确的结果.x?4x + 6,X0例6设函数f(x)=l，若互不相等的实数X1, X2, X3满足f(X1)3x+ 4,x<0=f(X2) = f(X3)，贝U X1 + X2 + X3 的取值范围是 .变式训练6已知关于X的不等式

16、 齐1<0的解集是(一X, 1)U (),则a的值.规律方法总结1. 解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采 用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几 种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.2. 解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填 空题时要注意如下几个方面：(1) 要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2) 要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3) 要重视对所求结果的检验.知能提升演练1. 在各项均为正数的等比数列an中，若a5a6 = 9,则log3ai + log3a2 +, + log3aio2. 在数列an中，若a1 = 1, an+1 = 2an+ 3(n1),则