数值分析导论2外文翻译

1、 毕业设计(论文)外文资料翻译题 目: 牛顿法一些变量的收敛性 院系名称： 理学院 专业班级： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 教师职称： 起止日期： 2016年03月14日2016年03月27日 地 点: 莲花街校区6号楼 附 件： 1.外文资料翻译译文；2.外文原文。 指导教师评语： 签名： 2016年3月 日 5.3牛顿法一些变量的收敛性考虑到系统给定的函数.这样一个函数是可微的如果存在一个n*n的矩阵 在这种情况下一个满足雅可比矩阵(见5.1.5)。我们首先注意以下（5.3.1）定理 如果存在 对于所有，并且存在一个常数 所有的.然后对所有的估计 成立 (回想一下,一组M是凸如果x,

2、yM意味着这条线段段 包含在M。）证明。 这个函数给出 是可微的0t1, 是任意的。在此之前从链式法则: 因此当0t1那么另一方面，因此上述不等式收益率这就完成了证明。我们现在可以表明,牛顿法收敛平方：(5.3.2)定理。 令是一个给定的开集，此外，让是一个凸集,并且令是一个函数，所有的和连续可微的 并令的属性 存在并满足 然后（1） 从开始，每个点 是定义良好并满足 （2） 存在并满足，（3） 对于所有的 从0 h 1,牛顿法至少是成平方收敛。证明（1）因为存在，明确的定义 。假设k=和k=1是有效的（c）.现在 j=0,1,.k，然后从假设（b） 从的定义表明 但是,根据定理(5.3.1)

3、,(5.3.3) 因此(5.3.4) 从（c）可知最后一个k = 0的不平等是正确的。如果是k0正确的,那么这对k + 1是正确的,因为(5.3.3）表明 因此。 （2）：从(5.3.4)很容易确定,是一个柯西序列,因为mn（5.3.5） 又因为0h1，所有充分大。因此有一个限制 包含在关闭之前的这一事实 。 通过极限（5.3.5）我们获得(3)结果: 我们还必须证明的在是零。 因为（a）并且 因此 不等式 遵循方程 因此 由于在是连续的， 即，在上是零。 下面有所增强的假设可以表明的在只有一个零：(5.3.6)定理(Newton-Kantorovich)。 考虑到函数和凸集。让在上是连续可微

4、的并且满足条件 对于一些。考虑到数量 如果且。然后定义序列 仍在和收敛于独特的零。 证明见奥尔特加和Rheinboldt(1970)或Collatz(1968)。 5.4 修正牛顿法定理(5.3.2)保证牛顿法的收敛性的只有起点迭代选择“足够接近”理想的解决方案 下面的例子表明,牛顿法可能会发散例：令是由。然后= 0是一个解。 牛顿迭代定义为 如果我们这样决定 然后序列发散：我们把可以证明修正的牛顿法的全局收敛性的一大类函数称为。修改一个涉及的额外引入的参数和搜索方向的定义序列（5.4.0.1） 通常情况下，并且满足这样的序列，严格单调递减及收敛到最小值点的。（比较这个和非线性最小二乘数据拟合

5、4.8.4节中提到的问题。） 因为对于所有的x， 每一个h中满足的局部最小值点也是全球性的最小值点以及的一个零点。 下一节我们将先考虑几个一般的任意函数极小化方法的收敛性结果。这些结果将被用于5.4.2节研究修正后的牛顿方法的收敛性。 5.4.1最小化方法的收敛性让是欧几里得向量范数及。我们考虑一组各个方向的形成又不能过大锐角的梯度 下面的引理显示，x在哪些条件下，一个标量和存在这样的关系。5.4.1.2定理。 令是一个有连续导数的函数，所有的在一个领域。假设进一步的，且。还有一个领域及使得 所有的，以及。证明。一组 一个非空的的一个领域。因为且在上连续。同样 一个非空的的一个领域。选择，因此

6、 并且 如果，存在，使得 由于意味着,由此可见 我们考虑以下可微函数的最小化方法。(5.4.1.3)(a) 选择数字， ， ，选择一个起点。（b) 对于所有的选择且 在 以下给出这种方法的收敛性质：（5.4.1.4）定理 是一个函数且满足（a） 紧凑（b）在开集是连续可微的，然后对任意序列定义的方法类型（5.4.1.3）：（1） 在至少有一个聚点（2） 每一个在上的聚点都是的一个驻点 证明 （1）序列的定义是它紧跟着单调序列 ：。因此， 是紧凑的;因此至少有一个聚点。 （2）假设 是的一个聚点但不是的驻点(5.4.1.5) 不失一般性，令，令，令。 根据定理(5.4.1.2)有一个的领域和许多

7、满足(5.4.1.6) 所有的，以及。 由于，连续且因为（5.4.1.5）存在使得所有的(a) ,(b) 令，。因为，它满足 。因此，从的定义可得 因为，（5.4.1.6）所以 所有的。这意味着，与矛盾。因此是的一个驻点。(5.4.1.3)的步骤(b)被称为行搜索。即使(5.4.1.3)的方法相当一般，它的实际应用是有限的通过这一事实必须精确线搜索。即 ,为了确定，确切的函数的最小值点 在被发现。一般甚至需要付出大量的努力得到一个近似最小值点。以下是对（5.4.1.3）步骤（b）的改进，用一个确切最小化搜索取代一个不精确线搜索的特定的有限的搜索过程：（5.4.1.7）。（a）选择数字， ， ，

8、选择一个起点（b) 对于每一个从获得如下：（）选择 定义 , 并确定满足最小的整数 （）确定这样最小且， 注意， 从（5.4.1.7b）很容易看出整数存在的性质：如果是一个驻点，那么。如果不是驻点，那么存在的意义就是引理（5.4.1.2）的应用。在任何情况下经过有限的步骤可以找到（和）。（5.4.1.7）修改后的步骤满足模拟（5.4.1.4）： (5.4.1.8)定理 在定理（5.4.1.4）的假设下序列所产生的一种方法（5.4.1.7）满足定理（5.4.1.4）的结论。 证明. 我们像（5.4.1.7）以前一样假设是序列所定义的一个聚点，但不是驻点，即 再次，一般地，令，令，令。 根据引理(

9、5.4.1.2)有一个的领域和许多满足(5.4.1.9) 所有的，以及。再次，因为所以是连续的且意味着存在(5.4.1.10a) (5.4.1.10b) 所有的。 我们需要表明，有一个对于 所有的。我们首先要注意到(5.4.1.10)和使得 所有的。因此根据的定义(5.4.1.11) 现在的最小整数满足(5.4.1.12) 根据（5.1.1.11），以及的定义，我们有(5.4.1.13) 有两种情况：情况1，。令，请注意。然后(5.4.1.12)和(5.4.1.13)意味着 独立于。情况2.。由的极小化可知 因为，且，它紧跟着（5.4.1.9） 结合(5.4.1.12)和(5.4.1.13)得

10、出独立于。因此，对 所有的，对于所有的k 是矛盾的。因此是的一个驻点。5.4.2 修正牛顿法收敛性判定定理的应用 为了解决方程，我们让应用（5.4.1.3）或者（5.4.1.7）去最小化。我们用牛顿法取值 , 从到作为搜索方向。如果存在且这个方向将被确定。（表示欧几里得规范。）定理的应用需要最后一点小小的准备。我们首次展示，存在每一个使 及存在且，我们可得（5.4.2.1） ，所有，由上述， 且 是对欧式范数的定义。证明。 因为，我们可得（5.4.2.2） 不等式 显然，因此现在对于所有的，由此可见根据（5.4.1.1）中给出的定义。 由于（5.4.2.2）我们注意到：如果存在，那么（5.4.

11、2.3） 即，当且仅当使为0时，是的一个驻点。 思考下面的牛顿修正法 与（5.4.1.7）比较：（5.4.2.4）。 （a） 选择一个起点（b）对于每一个从获得如下 （）集合 ， 且在，。并确定满足最小的整数 （）确定使得，且令 作为一个模拟定理（5.4.1.8）我们可得 5.4.2.5定理 令是一个给定的函数，且令是一个具有以下属性的点：（a） 集合，紧凑（b） 在开集上是连续可微的（c） 对于所有的存在然后由（5.4.2.4）定义的序列是定义良好且满足（1） ，所有的，且至少有一个聚点。（2） 每一个序列的聚点都是的零点，。证明. 根据解释，是单调的： 因此,。如果是确定的，假设（c），及

12、是定义良好的。从（5.4.2.1） 在的情况下。根据(5.4.1.7)的情况，在（5.4.2.4)有一个给出属性的。因此根据每个定义。 现在(5.4.2.4)成为(5.4.1.7)给出的正式的过程，如果被定义为 剩下的在定理（5.4.1.8）已经证明 , 根据假设（b），（c）及在紧致集上是连续的。因此是连续的，且存在 一般的，我们可以假设不是的驻点；这意味着它不是的零点，因为(5.4.2.3)和假设(c)。【如果，那么紧跟着，并没有显示。】因此，由于, 另一方面，从事实，（5.4.2.2）及不等式 它紧接着 【在上是连续的紧凑的】。因此所有定理（5.4.1.8）【或者（5.4.1.4）】的结

13、果适用于序列。因此假设（c）和（5.4.2.3）意味着每个驻点也是一个零点，证明已完成。方法（5.4.2.4）要求计算和每步迭代的步骤。证明（5.4.1.8），然而，显示它足以取代所有下界，。符合这一点，通常是在实际中决定的 然而，由于这只要求，使用以上的证明方法不能足够强大的保证变量的收敛性。进一步评价方法（5.4.2.4）：在为零的一个足够小的领域自主选择方法。这意味着该方法符合普通牛顿法和成平方收敛。我们可以看到如下：由于及，在的每步迭代中有一个领域满足普通牛顿法的条件(5.4.2.6) 且(5.4.2.7) 泰勒的在上的扩展 因为，有另一个领域 所有的。 选择一个领域 令满足 所有的。这是可能的因为。思考 即在（