复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

1、l3.1 3.1 复积分的概念复积分的概念l3.2 3.2 柯西积分定理柯西积分定理l3.3 3.3 柯西积分公式柯西积分公式l3.4 3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分c 设 为平面上一条光滑的简单有曲,义向线定定3. 13. 1,. ( )( , )( , )ab f zu x yiv x yc起点为终点为在 上有cn定义,把曲线成 个小弧,设分点为任任意意分分011,nnazzzzbkkki在每个小弧上任取一点,作作和和式式1()nkkkfz1max |,kk nz 设当时,若和式的极限存在 0 0k且不依赖于点 的选择和c的分法，则称

2、极限3.1 3.1 复积分的概念复积分的概念( )f zc为沿曲线 的积分，记为n nkkkknnk=1k=1c cf(z)dz =limf(f(z)dz =limf()z z( )dccf zz沿曲线 的负方向的积分记为 ,c如果 为闭曲线 则沿此闭曲线的积分记作( )d .cf zz ( )( , )( , )( )dcf zu x yiv x ycf zz设在光滑曲线 上连续则复积分存在且可表示为 定定理理3. 1 3. 1 1()nkkkfz 证：明明11 (,)(,) (,)(,)nkkkkkkknkkkkkkkuxvyivxuy( )ddd.cccf zzuxvyivdxudy1

3、(,)(,)()nkkkkkkkuivxiy i)( ),( )d.cf zcf zz当是连续函数而是光滑曲线时 积分是一：定存在的注注ii)( ) d.cfzz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算事 实 上 还 可 把 复 积 分 化 为 普 通 的 定 积 分( )( )( )( , cz tx tiy t ta b设曲线 的方程：）( )ddd.cccf zzuxvyivdxudy ( ), ( ) ( ), ( ) ( )( )du x ty tiv x ty tx tiy tt( )d ( ) ( )d .cf zzf z tz tt所以 ( ) ( )d .f z t z tt

4、( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )d ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dbabau x ty t x tv x ty ty ttiv x ty t x tu x ty ty tt i)() d() dccccfzzfzz 设为的 逆 向 曲 线 ，则ii)( )d( )d ;()cckf zzkf zz k 数线为常性性性性 ( )( )d( )d( )dcccf zg zzf zzg zz复积分的性质：12iii).ccc，其中1 12 2c cc cc cf f( (z z) )d dz z = =f f( (z z) )d dz z+ +f f( (z

5、z) )d dz ziv),( )|( ) |cl f zcf zm设曲线长度为在上满足则c cc cf f( (z z) )d dz z| |f f( (z z) )| |d ds sm ml ld1100czzii1 计算，其中c为(1)从 到 的直线段c ;(2)先从 到再从到的折线段.例例1 1解解：（1）1: ( )1(01)ccz ttitt=-+111000(1)(21)czdztit dttdtidti-=-+=-+=蝌蝌有，有，23_,ccczdzzdzzdz=+蝌（2）2132:( )1(01),:( )(01),cz tttcz titt=-=1100(1)()0.t d

6、tit dt= -+-=蝌010d,|,()nczzzrzzn 计算其中c:|为正向圆周，为整数。例例2 22211(1)000deded()eiinnni nnczirizzrr解：200,d2 ,nii当时 结果为200,(cossin)0.ninnindr当时 结果为010|2 ,0,d0,0.()nz zrinznzz 所以常用结论，常用结论，要牢记！要牢记！d34czzi 计算，其中c为从原点到的直线段.l 解解 直线的方程可写成直线的方程可写成l 又因为又因为l 容易验证，右边两个线积分都与路线容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，无关，所以所以 的值无论的值无论 是怎样的曲线都

7、等于是怎样的曲线都等于10 ,4,3ttytx22210210243210143214343ititdtitdtidzzcxdyydxiydyxdxidydxiyxdzzcccccdzzcc24321i1d34czzii 求的积分的一个绝对上界，其中c为从原点到的直线段.例例4 432| |0limd0.1zrrzzz 求证例例3 3练习练习 2,cz dz计算ic 如图所示：解解：1:,0, :11czx yx 112212;3cz dzx dx 2:,:0icze1c2c112220iicz dzeie d330012.33iii ede 可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。22222

8、22cccz dzxydxxydyixydxxydymnmn()yxyxmnuv yxyxmnvu20cz dz ( )d0.cf zz cd( )( )f zf zd定理3.2(柯西定理)设在单连通区域d内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线c的积分3.2 柯西积分定理1212( ),f zz zz z1212设在单连通区域d内解析，为d内任意两点，c ,c 为连接的两条路径,c ,c包含定理3.3于d,则12( )d( )dccf zzf zz即积分于路径无关。sin d ,1| 1czzz 例3.6 计算其中c是圆周|的上半周,走向从0到2.12( )f zddcc122112设c ,c 为

9、两条简单闭曲线,c 位于c 的内部,在c ,c 围成的二连通区域 d内解析，在上连续,则定定理理3 3. .4 4 12( )d( )dccf zzf zz连区积多多通通域域上上的的柯柯西西分分定定理理：aabbdfeef( )d0( )d0aebb e a aaa f b bfaf zzf zz证明：由柯西定理得1c2c1212( )d( )d0( )d( )dccccf zzf zzf zzf zz即或12( )d( )d( )d( )d( )d( )d0caaca abbb bf zzf zzf zzf zzf zzf zz:cc12n设为多连通区域内的一条简单闭曲线，c ,c ， ，c

10、 为 内部的简单闭曲线互论，它们推推( )f z12n不相交也互不包含，且c,c ,c ， ，c 围成的区域包含于d.若在区域 d内解析，则1i)() d() d;knkccfzzfzzii)( ) d0fzz ,kkcccc其 中为与围 成 的 复 合 闭 路与均 取 正 方 向cicd221d ,01czzzz 例3.7 计算其中c是包含和 的正向简单闭曲线。c1c2c0112222212121dddcczzzzzzzzzzzz112211dd111dd1cccczzzzzzzz02204iii7 77 8p习 题 3 . 1 3 . 2 3 . 3 3 . 5作 业 ： ( )f z设在

11、单连通区域d内解析，则由变上限积分所确定理3.5定的函数0( )( )dzzf zf( )( ).f zf z在区域d内解析，且00( )( )( )d( )d( )d .zzzzzzzzf zzf zfff证明：1( )( ) d .zzzff zz( )d( )d( )zzzzzzf zf zf zz又因( )( )( )1( )d( )zzzf zzf zf zzff zz0( )( )lim( )0,( )( )zf zzf zf zzf zf z这就是说即1 ( )( )d|1|( )( )|d|zzzzzzff zzff zsz1|zz ( )f z又因为在区域d上连续( )( )

12、( )( )( )f zf zf zf zf z数 设在单连通区域d内函数恒满足，则。数称为的原函原原函函( )( )( )( )( )f zf zf zcf zf z易知，若为的原函数，则仍为的原函数，故有无穷多个原函数。01( )( )( ),f zf zf zzz 设在单连通区域d解析，为的一个原函数，则对任意定理3.6d,有1010( )d( )()zzf zzf zf z111eeee1e1.22ii ,bnaz dz 计算其中n是正整数。例例8 80cos d .izzz 计算例例9 900cos dsincosiizzzzzz：解解sincos1iiiln(1),cz dzii计

13、算其中c为从到的直线段。例例10 10 1ln(1)d ,1izzz计算路径为圆周|z|=1在第一象限的部分.例例11 11 223ln2ln 23288i 21122ln(1)1dln (1)121ln (1)ln (2)2|iizzzzi解：2211ln2ln 2224i 计算(1) ;(2)zdzz10sin1010cos1coscos0zdzzzzdz= -轾犏= -犏臌10(1)sinzzdz1cossin0sin1cos1zzz= -=-dzezzi01izzdzeiez001()()00(2)1ziizze dzzi de-= -蝌()( )( )110cos1sin1sin1c

14、os1zzizeeieiii-轾= -+犏臌= -轾= -+-臌= -解：解：001( )()d .2cf zf zzizz 0( )f zddczd设在简单曲线围成的区域d内解析，在上连续， 是 内任意一点，则定定理理3. 73. 7积3. 3 柯3. 3 柯西西分分公公式式dc0z0000()( )()ddkkf zf zf zzzzzzz000( )()2 ()dkfzfzifzzzz ：由柯西积有证分定理，明明00( )( )ddckfzfzzzzzzz又因为，又因为，0000( )()|( )()|dd|d2kkkf zf zf zf zzszzzzsr001( )()d .2cf

15、zf zzizz 所以 12cfor f zdiz -解析函数可用复积分表示。解析函数可用复积分表示。20001()(e )d .2if zf zr00( )|1|f zzzrzzr设在内推论解析,在上连续，则一个解析函数在圆心处的值等于它在圆一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值周上的平均值.21221设c ,c 为两条简单闭曲线,c 位推于c论的内120( )f zddccd12部,在c ,c 围成的二连通区域d内解析，在上连续,是 内任意一点,则120001( )1( )()dd .22ccf zf zf zzzizzizzd0z1c2c例例1 czrrzcdzzzze)2 ,

16、1(:)2)(1(计算积分解解： 01,rczdzzzze)2)(1(izzeizz0)2)(1(212,r12323ccciieppi=+= -+蝌蜒1c2c3c0123(1)2zcezzd zz+- ieiei3322| | 4| | 4| | 412123)ddd13132 12 26 .zzzzzzzzzziii 求下列积例2分的值.| | 4| | 212123)d ; 4)d.1313zzzzzzzz2| | 4| | 21sin1)d ;2)d .2 (9)()zzzzzzizzzi0| |41sin1)dsin0;2 |zzzzziz 解解 ：7 77 8p习 题 3 . 73

17、 . 8 ( 2 ) ( 3 ) 3 . 1 0 ( 3 ) ( 4 ) 3 . 1 1作 业 ： ( )|( )|f zf z定理3.8()设为区域d内的非最大模原理常数解析函数，则在d内没有最大值.)1(f zf z设为区域d内的解析函数，若其模在d内达到最大值，则推论为常数.)|2( )|(f zdf z设在区域d内解析，在 上连续，则在d的边界上达到推论最大值。| |( )0,( )max |( )|,( )zrf zrm rf zm rr 设函数在全平面上解析，对任意的令求证是 的单调上升函数.例例3 3( )1!( )( )d(1,2,)2()nncnffzniz( )( )f z

18、ddcf zdz设在简单曲线围成的区域d内解析，在上连续，则的各阶导函数在内解析，且对内任意一点 有定定理理3. 93. 9数髙阶导数3.4 解3.4 解析析函函的的322| 1| | 4cose1)d ;2)d()(1)zz izzzzzizz 3| 11cos2d(cos)()(3 1)!().2|z iz izizzziiee 解：例3.12 求下列积分的值.22| | 4e3)d(1)zzzz 2212123).(1),.,.zeczizciic cc cc 函数在 内的处不解析我们在 内以 和为中心作两个正向圆周则此函数在由和所围成的区域内是解析的xyoc1c2ciix1222222