定积分的近似计算2

1、定积分的近似计算虽然牛顿一一莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情 形，我们就有必要考虑近似计算的方法。定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方 法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。一 梯形法将积分区间a,b 作n等分，分点依次为= XoXib aXn=b，Cp 1(xdx=xix： + PiXo+Y户也 iXi2 + PiXi+Y1M 1x2 + 31X2+T相应的函数为yo，yi，y妆=f (Xi，i =0,，n )曲线y = f（X ）上相应的

2、点为Po, P1，Pn(pixyi，i =0,，nEX '上将曲线的每一段弧，pj用过点 p , p （线性函数）来代替，这使得每个的曲边梯形形成了真正的梯形（图11 25），其面积为gx'f n于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即bn + V- AX n /bb -a亦即 f f(X dx止"ay0V+y +必y n42J称此式为梯形法公式。在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而 有詈m*亠Rn3其中心心）i2n2抛物线法由梯形法求近似值，当 y = f（X为凹曲线时，它就偏小；当 y = f（X）为凸曲线时，它就可

3、减少上述缺点。下面介绍抛物就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似, 线法。将区间a, b 作2n等分（图）分点依次为.b aa = Xo X1 X2 X2n = b,心X =石-对应的函数值为yo，yi，y2，y.yf(Xi，i =0,1,2,，,2n)曲线上相应的点为 p0 ,p1,p2, p2n,p（xi，%，=0,1,2,，2n）现把区间Xo，X2上的曲线段 yf(x)用通过Po（xo，y。）Pi *1，yi）P2（X2, y2 的抛物线2y F1X/+丫1 = P1(x)来近似代替，然后求函数 p（X ）从Xo到X2的定积分:X2Cp 1(xTUPXo2+7ixa 1f 33

4、)+巳1° iX2 + PiXo"iHQ 1XX i(xo+X2)2Fi(Xo+x2)+4 订"Xo亍 X " Xo' 5 % " X：丫 1(X2 Xo由于X（X0 + XJ'2，将它代入上式整理后可得=宁如4%"2鼻詈 W4yi + y2)同样也有n-.X2kb即f(xdx涪U +肿4心3 +yzn 丿+2(V2 +y4+V 9y 2n_2f P'x dx=詈(yz+'y/y.Lp n(xdx=b6na(y2J4y2，y2n将这n个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值:n Ib -a FJb f

5、(xdx 2 Jpk(x dx =z二石(y2J4y2k+y2k这就是抛物线法公式，也就是辛卜生公式。 也bf f(X dxa浹詈V。十肿4乂7广Tyzn'叫“七+V2+Rn其中Rn可见n越大，近似计算越准确。一般说来，将积分区间a，b作同样数目等份的情况下,1、抛物线形公式比梯形公式更精确一些。插值型求积公式：nbIn =5： Akf(Xk)，其中 Ak = Ikgdxa k =eb f(n十)(E)余项 R f = f w(x)dx，w(x) =(x x0)(x-xn)'a (n +1)!至少具有n次代数精度。2、牛顿一柯特斯公式（等距节点）n( _1) n 上In =(b

6、-a)2 Ckn)f (Xk)，其中 Ck =k,nk!(n k)!n nP (t-j)dtj=0j卅1=1时，COCyn1，求积公式即为梯形公式。2=2 时，cQ2'1，G641=6，甘)=6，求积公式变为辛普森(Simpson)公式,Rs =b aa +bhf(a)+4f()+ f(b)6 2b -a (b -a)4 f(4)严)180 2当n >8时，计算不稳定，此时一般不用该公式。n阶的Newton-Cotes公式至少具有n次的代数精度；当 n为偶数时，至少有 n+1次代 数精度。3、复化梯形公式：h n AhnbaTn=32f(Xk)+f(xS=?f(a)+2.f(Xk

7、)+f(b)，xk=a + kh , h =二kA尺占5)4、复化辛普森公式：hl-1n -1Snf(Xk)+4f(Xk + f(Xk=Hf(a) +4送 f(x赵)f(Xk)+f(b)G 6k=Qkzi6 k zo尺一宀(a，b)5、龙贝格求积公式：To(k)表示二分k次后求得的梯形值，Tmk)表示序列 To(k) 的m次加速值。T/q) _ b - a1 h n 4f (a) + f (b)，通过递推公式 TqE = Tq2 +S f (xk也)，计算 TqE。2 2 k=Q按公式Tmk)-m=T(k+).m J mX4 -11- 一Tk1计算加速值，直到Tk(0)-Tk(O)V J积分值

8、即为4 -16、高斯求积公式:x" p(x)dx成立，解出Ak及Xk ,b取 f(X)= x"，对 m =0,1，2n +1，使 S Akx" = fkz0" ak = 0,1，,n具有2n +1次代数精度。0£)严)Rn(fX(2n+2)!b 2gn申(X)P(X)dXa7、高斯-勒让德求积公式:在高斯求积公式中，取权函数P(x) =1，区间为_1,1，n1即艺 Akf (Xk) = r f (x)dx。 kd2余项 Rn(f)= 2n(n+ 1)!4f(2nCi)3(2n +3)(2 n+2)!3勒让德多项式的零点就是求积公式的高斯点。1勒让德多项式：P0(x) =1，Pn(x)=2nn! dxdn (21)n孑( X -1)，n =1,2,两点高斯-勒让德求积公式的形式是:f(- 1173)773)三点高斯-勒让德求积公式的形式是:1Lf(x)dx俺5f(_l)+8f(0)£(竝)9599510、高斯-切比雪夫求积公式:a = 1，b =1，且取权函数P(x)n1 f (x)，即艺 Ak f (Xk) = J J 心J1-X2d