基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析

1、基于ABAQUS勺悬臂梁的弹塑性弯曲分析学院：航空宇航学院专业：工程力学 指导教师：姓名： 学号:1.问题描述考虑端点受集中力F作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m， 高度h=1m,宽度b=1m。材料为理想弹塑性钢材（如图2）,并遵守Mises屈服 准则，屈服强度为 “ =380MPa，弹性模量E=200GPa ,泊松比u =0.3。图1受集中力作用的悬臂梁图2钢材的应力-应变行为首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷Fe和塑性极限载荷fy ；其次利用ABAQUS模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出

2、弹性极限载荷Fe、塑性极限载荷fy、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，验证有限元分析的准确性。2.理论分析2.1梁的弹塑性纯弯曲对于矩形截面Euler-Bernoulli梁，受弯矩M作用，如图3所示，根据平截面假定，有图3矩形截面梁受弯矩M的作用Z =T<y(1)其中瓷为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w以与y同向为正，则在小变形情况有d2w57当弯矩M由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke定律给出b(y )=ES =EXy(3)再由平衡方程，可得到M =E岸（4）其中，I =2bh3是截面的惯性矩。将配=M/EI带入（3）式，可知12显然，最外层纤

3、维的应力值最大。当 M增大时，最外层纤维首先达到屈服,(5)1 2 ym/2=M/6bh "Y这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，即为弹性极限弯 矩，它等于(6)Me =-bYbh2e 6对应的曲率可由式（4）求得% =Me/ El =2®/ Eh当M >Me时，梁的外层纤维的应变继续增大,但应力值保持为CTy不再增加,塑性区将逐渐向内扩大。弹塑性的交界面距中性面为ye（0 朴 0。在弹性区：0<y<ye，b =CTy ；yeh在塑性区：ye'y兰2， bY在弹塑性区的交界处， S，因而E瓷（）2=5，由此可求出此时的曲率和弯矩分别

4、为Eh1£I(9)M 旦fe-E2）2从这两个式子消去匕，可得M >Me时的弯矩-曲率关系为(10)（当M继续增加使得Et 0时，截面全部进入塑性状态。这时 Mt 3Me，而2此极限值即为塑性极限弯瓷T比。当梁的曲率无限增大时，弯矩趋向一极限值,矩。可得矩形截面梁的塑性极限弯矩为M P = Ybh24采用以下量纲为一的量：(13)m=M/Me，0=瓷/乓(14)矩形截面梁的弯矩-曲率关系可以写成m,m <1* = 1/J3 -2m,1 <m <1.5(15)2.2梁在横向载荷作用下的弹塑性弯曲I »h （本例中-=10满足h此要求），则梁中的剪应力可

5、以忽略，平截面假定近似成立，于是就可以利用弹考虑端点受集中力F作用的矩形截面悬臂梁，若塑性纯弯曲的分析结果来研究横向载荷作用下的弹塑性弯曲问题。本例中，显然根部弯矩最大，因而根部截面的最外层纤维（图1中的A点与B点）应力的绝对值最大。当F增加时，A、B点将进入塑性，这时的载荷是梁的弹性极限载荷Fe = Me/l =bYbh2/6l(16)当F >Fe时，弯矩仍沿梁轴方向呈线性分布。设在x = x处有F（l-x）=Me，则x=l-（Me/F）。在XX范围内的各截面，都有部分区域进入塑性，且由式（9）可知各截面上弹塑性区域的交界线决定于1 1J±(3_2M)±3-2F(l

6、-x)rMeFel(17)其中已用到M =F（l-x ）。式（17）证明，弹塑性区域的交界线是两段抛物线。3当F =Fy -Fe =bYbh2/4l时，梁的根部（x=0）处的弯矩达到塑性极限弯3矩，即M =FyI = Mp -Me,这时梁内塑性区如图4中的阴影部分所示，且塑性区域分界线连接成一条抛物线，梁的根部形成塑性铰。这时，由于根部的曲率可以任意增长，悬臂梁丧失了进一步承载的能力。因此，Fy=M p/l即为悬臂梁的极限载荷，悬臂梁不能承受超过氏的载荷。Fy图4受集中力作用的悬臂梁在小挠度情形下，利用y'K的关系可以求得梁的挠度。具体来说，在悬臂梁受端部集中载荷的问题中，以 M =F

7、（l -X ）带入式（15）可得m = P(1 -£),1-丄<1P1 1F=1/j3-2p+3p匕，0<匕 <1 -J32mp(18)，d2y，其中，m=M/Me， f=F/Fe，匕= x/l ， y =2，利用边界条件 y(0) = y (0) = 0 dx和在匕=1-1处的关于y和y'的连续性条件，可对式（18）积分两次，得到梁端P挠度6 =y（i）的表达式右=划5-(3+f)j3-2p/f2(19)其中4是f=1 （即F =Fe ）时的6，可按材料力学方法求出为4=e|2/3(20)当V （即f=Fy=）时'式（19）给出相应的梁端挠度为20

8、(21)代入题目所给数据可得到3.有限兀分析3.1有限元模型此问题属于平面应力问题，采用二维有限元模型，选取平面图形作为分析模型，其长度l=10m，高度h=1m。3.2材料属性定义圆筒材料为钢材，弹性模量 200Gpa,屈服强度380Mpa,泊松比0.3，截面 属性选用实体、匀质，采用理想弹塑性本构关系。3.3分析步的定义由于是非线性分析，Step中设置分析过程和输出要求选择静态分析，最小分 析步取0.05,最大分析步取0.1，输出要求采用默认输出。3.4载荷施加和边界条件布置载荷边界条件和位移边界条件，将模型左端固支， 右上端顶点施加集中 力载荷。3.5网格划分按照四节点四边形平面应力单元

9、CPS4I （如图5）戈扮网格，定义不同大小 位移载荷进行分析计算，分析采用 Mises准则。图5悬臂梁的有限元网格3.6结果及分析3.6.1弹性极限载荷和塑性载荷压力的确定当取F =6.76x106N时，等效塑性应变分布如图6所示，结构的等效塑性应 变均为0,可以看出系统处于弹性状态并未产生塑性应变，此时悬臂梁处于弹性 阶段。图6 F =6.7 6：1 On等效塑性应变云图当取F =6.77%1O6N时，等效塑性应变分布如图7所示，最大等效塑性应变均为3.811e-6,最小等效塑性应变为0,可以看出系统部分处于弹性状态，部分 处于塑性阶段，此时结构处于弹塑性阶段。图7 F =6.7 71 （

10、6 N等效塑性应变云图当取F =9.84x106N时，应力分布如图8所示，可以看出根部还没有形成塑 性铰，即根部还没有完全进入塑性，也就是说系统部分处于弹性状态， 部分处于 塑性阶段，此时结构仍处于弹塑性阶段。图8 F =9.84X1O6N应力云图当取F =9.85幻06N时，应力分布如图9所示，可以看出根部形成塑性铰,悬臂梁不能再承受超过f=9.85幻06N的载荷。图9 F =9.85x106N应力云图综上分析可知，有限元模拟所得的弹性极限载荷在 6.76X1066.77X106 N之间，塑性极限载荷在9.84咒1069.85x106N之间。与理论解相比，有限元所得弹 性极限载荷的误差大约为

11、疇33 =69%，有限元所得塑性极限压力的误差大约为9.85弩2=3.6%，与理论解相比，误差较小。不仅如此，图9表明，弹塑9.50性区域的交界线是两段抛物线，与塑性力学解式（17）相同。3.6.2悬臂梁弹塑性弯曲过程分析对于这种悬臂梁在端部受集中力的问题，在ABAQUS中施加位移载荷模拟, 取位移6 =30mm，可以得到载荷作用点的载荷-位移曲线，如图10所示,图10有限元所得的载荷-位移曲线将有限元所得的载荷-位移曲线与式（19）相比可知，有限元中悬臂梁的变 形与理论分析结果基本一致，刚开始都是弹性阶段，随着载荷增大，进入弹塑性 阶段，直到载荷增大到塑性极限载荷，根部形成塑性铰，悬臂梁丧失进一步承载 的能力。由上图也可看出，Fe大约为6.77X106N，Fy大约为9.85X106N，同时可以 得到6e大约为13.6mm，6p大约为30.0mm，与理论解相比，弹性极限位移误差 大约为罟尹“1%，塑性极限位移误差大约为 驾I82 =6.4%，位移误 差相对于载荷误差较大。原因可能有：一是随着位移增加，可能会进入弹塑性大 挠度情形；二是模型所采用的单元不独有弯曲应力，即不满足平截面假设。4.总结首先，本文通过理论分