含参二次不等式因式分解

1、必会的乘法公式【公式 1 】(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca2233【公式2】(a b)(aab b ) ab (立方和公式)【公式3】(a b)(a2 ab b2) a3 b3(立方差公式)【公式 4】(a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2【公式 5】(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3用立方和或立方差公式分解下列各多项式:【例1】33X3 (2) 0.125 27b3【例2】分解因式:(1) 3a3b 81b4a7ab6二、分组分解法从前面可以看岀，项式，如ma mb能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多 na nb既

2、没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组.1.分组后能提取公因式【例3】把2ax 10ay 5by bx分解因式.2 2 2 2例4】把ab(c d ) (a b )cd分解因式.2分组后能直接运用公式例5】把X22y ax ay分解因式.【例6】把2x22 24xy 2y2 8z2分解因式.十字相乘法分解因式1 .二次三项式(1)多项式ax2 bx c，称为字母 _的二次三项式，其中称为二次项,为一次项,常数项.例如：x2x 3和X 5x 6都是关于X的二次三项式.(2)在多项式2 2x 6xy 8

3、y中，如果把.看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式.(3)在多项式2a2b2 7ab 3中，把看作一个整体， 即,就是关于的二次三项式.同样，多项式(X y)2 7(xy) 12，把看作一个整体，就是关于的二次三项式.2 十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式2x (a b)x ab (x a)(x b)方法的特征是“拆常数项，凑一次项 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相 同.(2)对于二次项系数不是

4、1的二次三项式2 2ax bx c a1a2x(a1c2 a2c1 )x GO(a1x c1)(a2x c2)大家知道，(x c1 )(a2x c2)a1a2x2 (a1c2 a2c1)x GCz -2反过来，就得到：a1a2x(a1c2a2c1)x c,c2(a1x c1)(a2x c2)我们发现，二次项系数 a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，把ai ,a2,c1,c2写成a2C1C2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2 a2c1，如果它正好等于 ax2 bx c的一次项系数 b，那么2ax bx c就可以分解成(ajxc?)，其中a1,c1位于上一行，a2,C2位于下一行.

5、十字相乘法的要领是：头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三 项式能否用十字相乘法分解.它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时 ，先提岀负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符 号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误岀现：一是没有认真地验

6、证交叉相乘的两个积 的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写岀的因式漏写字母.【例11把下列各式因式分解：(1)2 x7x62(2) x13x362 x5x242(4) x2x15(5)2 xxy6y22(xx)28(x2竖分二次项与常数项x) 12 交叉相乘，和相加 检验确定，横写因式顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱 例2、因式分解与系数的关系 若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数 个k 可取的值有 ( )分析：因为二次项系数为 1 ，所以原式可分解为 (a+m)(a+n) 可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m n为整数)因为 16=2X8，

7、 16=(-2) X(-8)X 4， 16=(-4) X (-4)X 16 ， 16=(-1) k=±10，的形式，其中 mn=16, k=m+n,所以整数k16=416=1所以答案： B±8，X (-16) ±1622一般二次三项式 ax2bxc 型的因式分解例 2 把下列各式因式分解：2(1) 12x2 5x 2(2)5x226xy 8y2加法”凑”，先 ”凑 ”绝对值，然后调整，添加正、负号练习 1：分解因式(1)2x215x 7(2)3a2 8a4(3)5x27x6(4)6y2 11y 10 (5)225a b23ab10(6) 3a2b217abxy 1

8、0x2y2(7)2 x27xy 12y2(8)4 x7x218(9)4m228mn 3n”凑”，用减法1 时较困难，具体分解时，为提高速 看是否符合一次项系数，否则用说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，(10) 5x5 15x3y220xy2练习 2 分解因式(1) x4 10x2 9 ；(2) 7(x y)35(xy)2 2(xy)；(3) (a28a)2 22(a2 8a) 120 4、 (x2 2x 3)(x22x 24) 90 5 6x4 5x3 38x25x 6 226 x 2xy y 5x5y 67 ca(ca

9、)bc(bc)ab(ab)三、十字相乘与其它知识综合例1. 分组分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y 2-11x+22y+15 分解因式22解：原式 =(2x 2-8xy+8y 2)-(11x-22y)+152=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=（x-2y）-32（x-2y）-5=（x-2y-3）（2x-4y-5） 说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项 一组 . 本题通过这样分组就化为关于 （x-2y） 的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解 .把这个2+3u-4 ，例 2. 换元法与十字相乘法 把 （x 2+x+1）（x 2+x+

10、2）-6 分解因式 分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把（x 2+x） 看成一个“字母”，22式子展开，就可以得到关于（X +x）的一个二次三项式（或设x +x=u，将原式化为（u+1）（u+2）-6=u 则更为直观 ） 再利用十字相乘法进行因式分解 .解： （x 2+x+1）（x 2+x+2）-6 =（x2+x）+1（x 2+x）+2-6=（x2+x） 2+3（x 2+x）-4=（x2+x+4）（x 2+x-1）若能分解一定要继续分解，例 3、 把 10x2-27xy-28y2-x+25y-3 分解因式分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、 10x2-

11、27xy-28y2-x+25y-3=10x2- (27y+1 )x - (28y2-25y+3 )4y -37y X -127y+1)x - (4y-3 )(7y -1 )-(7y - 1 )X 4y - 37y -1 ) 5x +( 4y -3 ) =10x2-说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，=2x -=（ 2x -7y +1 ）（ 5x +4y -3 ）说明：在本题中先把 28y2-25y+3 用十字相乘法分解为（ 4y-3 ）（7y -1 ），再用十字相乘法把 10x2- （ 27y+1） x - （4y-3 ）（ 7y -1 ）分解为： 2x - （7y -

12、1 ）5x + （4y -3 ）解法二、 10x2-27xy-28y2-x+25y-32 -7y5 X 4y=（2x -7y ）（5x +4y ）-（x -25y ）- 32 x -7y15 x +4y X -3= （2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3=（2x -7y+1 ）（5x +4y -3 ）说明 : 在本题中先把 10x2-27xy-28y2 用十字相乘法分解为（ 2x -7y ）（ 5x +4y ）,再把（ 2x -7y ）（ 5x +4y）-（x -25y ）- 3 用十字相乘法分解为 （2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3.（ 试比一下“分组分解”与“十字相乘”

13、适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数 去分析 ）求：解：例 4. 因式分解与十字相乘法 已知 (x 2+y2)(x 2-1+y 2)=12 x2+y2的值(x 2+y2)(x 2-1+y 2)=122 2 2 2(x2+y2)(x 2+y2)-1-12=02 2 2 2 2(x +y ) -(x +y )-12=0 (x2+y2)-4(x2+y2)+3=0 x2+y2 > 0例 5 把下列各式分解因式：4(1) x4210x29；(2) 7(x3y)35(x y)2 2(x y);(3) (a28a)2222(a2 8a) 120 .2点悟： (1)把 x2 看作一整体，从

14、而转化为关于2x的二次三项式;提取公因式(x+y)后，原式可转化为关于(X+ y)的二次三项式;22以(a8a)为整体，转化为关于 (a8a)的二次三项式.解: (1)x4 10x2 9 (x2 1)(x2 9)=(X+ 1)(x 1)(x + 3)(x 3).32(2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y)=(X+ y)(x + y) 17(x + y) + 2=(x+ y)(x + y 1)(7x + 7y+ 2).2 2 2(3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120点拨： 要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体， 才能构成二次三

15、项式，以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要 分解到不能再分解为止.例 6 分解因式： (x2 2x 3)(x2 2x 24) 90 .点悟：把x2 2x看作一个变量，利用换元法解之.解： 设 x2 2x y ，则 原式=(y 3)(y 24) + 90=(y 18)( y 9)(x2 2x 18)(x2 2x 9).点拨：本题中将x2 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果.此我们用了“十字相乘法”进行分解.外，y227 y 162 (y 18)( y 9) 一步,例7分解因式6x4 5x338x2 5x点悟：可考虑换元法及变形降

16、次来解之.解：原式x26(x2 4r) 5(x 丄)x386(x1 21)5( x -) 50，xxy，则原式x2(6y2 5y 50)(x 2)(2x 1)(x 3)(3x1)-本题连续应用了 “十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花了乱.但点拨：是，品味之余应想到对换元后得岀的结论一定要“还原”，这是一个重要环节.例 & 解关于 x 方程：x2- 3ax + 2a2- ab -b2=0分析：2a2 - ab-b2可以用十字相乘法进行因式分解解：x2- 3ax + 2a2- ab -b2=0x2- 3ax +(2a2 ab - b2)=01 -bX +bx2-

17、 3ax(2a+b)( a-b) =0(2a+b) (a-b)x-(2a+b)x- (a-b ) =0所以x1=2a+b x2=a-b42已知x 6x x 12有一个因式是2x ax 4，求a值和这个多项式的其他因式.点悟：因为x4 6x2x 12是四次多项式，有一个因式是x2 ax 4，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是 x2 bx3 （a、b是待定常数），故有x4 6x2 x 12 (x2ax4) (x2 bx3）.根据此恒等关系式，可求岀a, b的值.解：设另一个多项式为x2bx 3，则x4 (a b)x3(3ab)x2(3a4b)x 12 ,x4 6x2 x 12 与 x4 (ab

18、)x3(3 4 ab)x2(3a4b) x12是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等.即有由、解得，a= 1， b= 1，代入，等式成立.a = 1,另一个因式为x2 x点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、 用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视.配方法、换元法是因式分解较为常练习3、1、已知x4 6x2 x212有一个因式是x ax4，求a值和这个多项式的其他因式.2、若x y = 6，xy 17，则代数式36x3y 2x2y2 xy3的值为练习练习四、提咼版练习4(1)x2、1、把下列各式分解因式:7x26 ；r 3. 3 c. 67a b 8b

19、；x4 5x236 ；432(5) 6a 5a 4a ； 4x465x2y216y4；-r 4, 2-2437 a b9a b .2(1)(x(x23已知3)2 4x2 ；2 2x) 17(xx)x + y= 2， xy= a + 4,其它因式分解的方法1.配方法2例 11】分解因式x2 6x解：x2 6x 16 x22 x2(x 2)29；2(3x 2x1)2(2x2 3x 3)2 ；2 2 260 ； (5) (x 2x)7(x2x) 8 ；(2ab)2 14(2a b) 48 .163y 26，求a的值.3232 1 6 (x3)2 52说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配

20、方后将二次三项式化为两个平方式，然后用 平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.2.拆、添项法例 12】分解因式X3 3x24分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它 能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决.32解：X 3x 432(X 1) (3x3)说明：本解法把原常数式法及提取公因式的条件.4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公本题还可以将 3x2拆成X2 4y2，将多项式分成两组 （X3 X2）和4x2 4 .（1）（如十字相乘法）来分解;一般

21、地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.A1.把下列各式分解因式:3(1) a 27(2) 83 m(3)27x3813133 3113313(4)-p q(5) 8x y(6)-Xyc864125216272.把下列各式分解因式：,、34n 3n 3(1) xyX(2) XXy2.,32 3(3) a (m n) a b(4) y2. 2(X-,322x) y3把下列各式分解因式：2

22、(1) X 3x 22X 37x362 .(3) X 11x262(4) X 6x 27(5)m2 4mn5n2(a b)211(ab) 284.把下列各式分解因式： ax5 10ax4 16ax3an 2an 1b6anb2(3) (X22x)29(4) X4 7x2182(5) 6x7x 32(6) 8x26xy15y22 7(a b) 5(a b)2(8)2 2(6x7x)255把下列各式分解因式：2(1) 3ax 3ay xy y(2) 8x3 4x22x 1(3) 5x215x2xy 6y2 2 4a 20ab 25b36(5) 4xy 1,2244x y (6) a ba3b22

23、J.4a b ab x6 y6 2x31(8)x2(x 1)y(xy X)1.把下列各式分解因式:(1) ab(e2 d2)ed(a2b2)x2 4mx 8mn 4n26411x231x213223(5) x 4xy 2x y 8y2.已知ab 2 ,ab32，求代数式a2b 2a2b2 ab2 的值.3证明：当n为大于2的整数时,n535n 4n能被120整除.4已知a求证:a3a2e b2e abe b30.第二讲因式分解答案21. (a 3)(a 3a9),(22m)(4 2m m2),(23x)(46x 9x2),1 2存2p q)(4p2pqq2),(2 xy 1)(4x2y2525xy1 1 2 2 2),(xy 2e)(x y 2xye 4e ) 225 216.x(x y)(y2 xy2 n22x ), x (x y)(x xy y ),3.(X 2)(x1),(x36)(x 1),(x 13)(x 2),( x9)( x3)4. ax3(x 2)(x8)an(a 3b)(a2b),(x 3)(x1)(x22x 3),( x 3)(x3)(x22)(2x 3)(3x1),(2xy)(4x15y),(7 a 7