勾股定理及其应用

1、第五次课勾股定理及其应用本章知识要点A.勾股定理及其逆定理。B.验证、证明勾股定理及其依据（面积法）C.勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。D.勾股定理及其逆定理的应用。E.感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。内容/概念表示方法/举例勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a , b表示直角三角形的两直角边，c表示斜边， 那么a2 b2 c2勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边满足：两短边的平方和等于最长边的平 方，那么这个三角形是直角三角 形用a,b,c （ c为最长边）表示 三角形的三边，如果a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形勾股

2、数满足a2 b2 c2的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5 ；5,12,13 ； 6,8,10 ； 7,24,25 ；8,15,17 等基本勾股数组满足a2 b2 c2且a,b,c互质的三个正整数，称为一组基本勾股数组常见的基本勾股数组有：3,4,5 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ；8,15,17 等重点知识勾股定理的验证验证方法验证过程（美）伽菲尔德总统拼图如右图,以1 a2直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所11b ? a b 2 -ab -22a2 b2c2赵爽弦图直角边长分别为a,b的直角三角形和一个边长为b a的正方形，所以其面积为b a2 所以

3、 c24 1ab b a2从而c2a2 b2.刘徽：青朱出如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以a,b为入图边长的两个正方形的面积之和如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以b a为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长 为c，所以面积为c2，又因为大正方形被分割成了四个全等的名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；根据同一种图 形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定重点知识确定几何体上的最短路线描述几长将长方体相邻何方侧面展开，转体化成一个长方体形的FEDA 7 B乙名师提示圆柱的侧

4、面展开图是一个长方形展开ABrFDEF展开C示意图9AB C甲D丙(1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个 侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径.(2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一 个典范(3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。例1两个全等的长方形如图1-1-1放置，可验证勾股定理.连接AC,AC，CC，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC D的面积验证勾股定理a2 b2 c2.7C本；基例2 (1)在下列数组3, 4,

5、 5;4，5，6;5，12，1.340, 41;8, 15, 17; 10, 24, 26 中，勾股数组勾股数组有已知ABC中，B 90o , A, B, C的对应边分别是a,口 Ab,c 图1?1-15山B12 ,则c2(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4,第三边的平方为,求四边形ABCD勺面积例 3 已知，如图 1-1-2 ,四边形 ABCDK AB=3cmAD=4cmBC=13cmCD=12cm 且/ A=90°例4如图1-1-4，已知在 ABC中，AB=10 BC=21 AC=17 求 BC边上的高 AD的长.例 5 (1)已知Rt ABC的两直角边 AC=5 BC=

6、12 D是BC的平分线时，求CD的长?占八、点C恰好落在点A上，求AE的长。£F C图 1-1-6y 图1-1-5-一-D图 1-1-4(2)如图1-1-5 , 一张长为8cm,宽为4cm的矩形纸片ABCD沿EF折叠，(3)如图1-1-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰 好落在BC边上F点处，已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分 的面积.例6. (1)如图1-2-9 (1)，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上, 请问它飞行的最短路程是多少米？(先画出示意图，然后再求解)(2)如图咋1-遇2)矗风过番蘭一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，已知旗杆原长16 m

7、 ,你能求出旗杆在离底部多少曲W米的位置断裂吗？】细图 1-2-9 (1)7Ke B图 1-2-A、B两个小镇在河流CD同侧，至府可的距离分别为 AO 10千0千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向两镇供水/甫设设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的 位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用.ft例8如图1-2-7，一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离 墙底0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m ，求梯子底端将向左滑动多少O. 4of家庭作业1-2-6A.三个角度之比为1 :3的三角形是直角三角形;图 1-2-7B.三条边长之比为3 :5的

8、三角形是直角三角形;1.下列结论错误的是（C.三条边长比为8： 16： 17的三角形是直角三角形;D.三个角度之比为1 ： 1 ： 2的三角形是直角三角形。)2.在Rt ABC中，斜边AB=1,贝U式子AB2 BC2 AC 2的值为（5. ABC中，A吐25,BO20,C心15,CM和CH分别是中线和高。那么Saabc=,M*6.已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为7. ABC中, AB=AC=17m , BC=163m , ADL BC于 D,贝U AD=8.如图 1-1-2 , D为ABC的边 BC上的一点,已知 AB=13 AD=12 AC=15,BD=5 ,A则BC的长为9.如图1-1-5 , A B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为'AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建A B两镇图 1-1-2供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?10.如图1-1-6 , 一架梯子的长度为25米,如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。这个梯子顶端离地面有多高?C 图 1-