25函数与方程

1、251(1)函数与方程：一元二次函数与一元二次方程教学目标一、知识与技能：会用函数图象的交点解释方程根的意义，掌握二次函数的三种表达 方式；结合二次函数与x 轴交点个数判断一元二次方程根的存在性和根的个数；了解函数的零点与对应方程根的联系二、过程与方法：通过零点与方程根的联系，理解函数与方程相互转化的思想，渗透 算发，培养理性思维、观察问题及分析问题的能力三、情感态度和价值观：体会知识间的联系，体会函数与方程相互转化的思想方法，感受数学的系统性教学重点、难点根据二次函数的图象与x 轴交点的个数判断方程根的个数教学过程一、引入：方程X2-X-2=0 是 x 的一元二次方程，y=x2-x-2 是一

2、元二次函数，它们之间 到底有什么关系？引入主题：一元二次方程与一元二次函数二、 新课：1、 探究二次函数与对应的一元二次方程之间的关系：求出方程X2-X-2=0 的根(2 和-1);画出函数 y=x2-X-2 的图象发现并归纳：一元二次方程X2-X-2=0 的两个实数根就是二次函数y=x2-x-2 的图象和X轴交点的横坐标，也是二次函数y=x2-x-2 的函数值等于 0 时的自变量X的值2、 零点的定义：方程 f(x)=0 的实数根的个数又叫函数y=f(x)的零点。这个方程 f(x)=0 叫做函数y=f(x)所确定的方程。2 23、函数 y=x -X-2 可以表示成什么形式： y=x -X-2

3、 (一般式)： y=(x-2)(x+1)两点式 或零点式； y=(x-1)J3 (顶点式)一般情况下，二次函数解析式也有三种表达方式：一般式 f(x)=ax +bx+c(a丰0)，两点式或零点式 f(x)=a(x-x1)(x-X2),顶点式 f(x)=a(x-h) +k4、 一般的情况，一元二次函数 y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况如顶点 h 函数值的 与 0的大小关系af(h)0例 1、求证方程X2+6X+4=0 有两个不等的实数根(教材P76 2)证明：方法一 H36-160,所以方程有两个不等的实数根方法二设 f(x)=X2+6X+4,在顶点的函数值

4、 f(-3)=-50 所以方程有两个不等的实数根说明：判断一元二次方程解的个数问题，如果X无条件限制，可以用判别式法(体现等价转化)，也可以用图象法(看顶点的函数值-体现数形结合)例 2、(教材 P75-例 2)一个二次函数 y=f(x)的图象如图求出这个二次函数的零点； 写出它的解析式；分别指出 f(-4)f(-1),f(0)f(2)与 0 的大小关系。解：两个零点为-3 和 1 ；设 f(x)=a(x+3)(x_1),由 f(-1)=4 得 a=-1,故 f(x)=- (x+3)(x_1)=_x2-2X+3 f(-4)=-5,f(-1)=4,f(0)=3,f(2)=-5, 故 f(-4)f

5、(-1)=-200,f(0)f(2)=-150说明：一元二次函数 y=f(x)对于实数 m,n,mn, f(m)f(n)0方法二设 f(x)= x2+2mx+3，作出其图象有：0 点函数值大于 0,对称轴在原点左侧,D =4m2一 12 _0于是 0，解得 m-m v0方法一将方法一中的 xi,X2分别换成 xi+1,X2+1 其余不变，有 X1+1+X2+仁-2m+2 0,结果-,/3 m0,对称轴在-1 左侧有-m-1,结果、3奇0,1关于 t 的方程t2-4t+9+a=0 有两个不等的正实数根，结果(-9,-7)2三、小结：今天主要介绍了一元二次方程与一元二次函数根之间的关系四、作业：教

6、材 P81-习题 1、2补充作业21、一 个二次函数 f(x)=ax +bx+10(1) 有两个零点 5 和 1,贝 U a=_,b=_(2) c 存在一正一负两个零点的条件是 _(3) 若 f(Xi)=f(X2),(Xix2),则 f(Xi+X2)=_2、已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)-2(ab)的零点为a、B,贝 U a,b,a,B从小到大用小于号相连的顺序是_3、 方程 x2-ax+a2-7=0,填满足下列条件的实数 a 的范围。有两个负根 _有两个大于 1 的实数根_ ;有一个大于 2 另一个小于 2 的实数根 _2 24、函数 f(x)=-x -2ax(0 x 1)的最大值

7、为 a ,求实数 a 的范围5、已知 m,n 是函数 f(x)=x +(2-k)x+k +3k+5 的两个零点，求 m+n 的值域26*、找出二次函数 f(x)=ax +bx+c 有一个比 d 大一个比 d 小的零点的等价条件，并证 明答案1、a=2,b=-12;ac0(或 af(0)0);c 2、aab3；4、f(x)的对称轴为x=-a,这样有对称轴在0,1的左侧、之间、右侧三种情况，如图3、 ,3-7)佝(3,;(-1,3)3或fmax(X)=f一1-23H2 3=1总之-12425、A=-3k -16k-16 为,-4 钗匕一,m+n=k-2,mn=k +3k-5,322222250f(

8、k)= m +n =(m+n) -2mn=(k-2) -2(k +3k-5)=-k -10k-6J,值域为,189从图形看也是如此,2次函数 f(x)=ax +bx+c 有一个比 d 大一个比 d 小的零点af(d)0 ;证 明：f(x)=ax2+bx+c 有 一个比 d 大一个比 d 小 的零点，设为2c b22X1,X2=(X1-d)(X2-d)=X1X2-d(x 什 X2)+d = +d +d 0= ac+abd+ad 0= af(d)02,5.1（ 2）函数与方程：具体的一元二次不等式解法教学目的：一、知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图 象法解一元-a

9、0（X）屮。）=皿无解或a_16*、二次不等式的方法；培养数形结合的能力二、过程与方法：通过图象与不等式的关系，得出一元二次不等式的解的方法，并应用；三、情感态度和价值观：通过学习，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 *教学重点:图象法解一元二次不等式”教学难点一元二次方程一元二次不等式与二次函数的关系教学过程一、复习引入：画出函数y = x2-x-6的图象，禾 U 用图象回答：（1）函数的零点是什么；（2） x 取什么值时，函数值大于 0；（3） x 取什么值时，函数值小于 02（解答：零点是2 ,3;当 x3 时，y0，即x -X -

10、60 ;当-2x 3 时，2y 0，即卩x - x - 60 的解集是x|x3; 一元二次不等式X2-X-60 的解集是2 2x|-2x0 与ax bx c 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2+bx +c=0 的判别式心=b24ac三种取值情况（ 0, =0 0 来确定.(2) a0”设相应的一元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0的两根为x2且 xi x2,2.：=b -4ac，则不等式的解的各种情况如下表:A 0= 0也0)的图象rrV.E兀次方程有两相异实根有两相等实根2ax +bx+c=0b* X2（X1VX2）入1入2 无实根（a 0 的根2a

11、2ax +bx+c:0If!b Xxx0)的解集2a JR2ax +bx+cc01 仪羽X 0)的解集0例 1解不等式3x26x+2A02解：作出函数y =3x -6x 2的图像2J3J3因为:0,方程 3x2- 6x 2 = 0 的解是 x1=1,x2=1.33后V31所以，原不等式的解集是 x 1 -CXC1+.33J说明：解一元二次不等式的步骤：1看看：看二次项系数将二次项系数是否为正，否则一般化为“ + ”:2算算：计算判别式厶，在 0 时，求确定方程的根3画画：画出函数图象4写写：写出不等式相应解集练习1解不等式3X2A2X2. (Jx x ,或 x2；.)练习 2 解不等式4x24

12、x+1 0.(练习 3 解不等式_x2 2x -3 .0.(、)例 2,关于X的不等式2x2 kx - k乞0的解集是,求 k 的范围解 ：-k28k二k(k 8)=k2+8k0,故-8k 0 恒成立的条件是(答：0m0 的解集为x|-1x2,求 cx2+bx+a0 的解集bc(解答：-1 与 2 是确定的方程 ax2+bx+c=0 的两个根，且 a0,于是-1+2=1=-,-1X2=-2=,aab 1 二 小22b a211两式相除得一=一，从而 c0,cx +bx+a0=X+X- 0 =c 2c c22三、.小结：解一元二次不等式的步骤：2看看：看二次项系数将二次项系数是否为正，否则一般化

13、为“+ ”：2算算：计算判别式厶，在 0 时，求确定方程的根3画画：画出函数图象4写写：写出不等式相应解集四、 作业：教材：P94-27,P95-30补充习题1、若不等式 ax2+bx+b0(a 0)的解集是 R，那么下列式子正确的是()A. a0B. a0 且 b2 4ab0C.a0 且 b2 4ab 0D.a 02、_ .不等式34X4X2W0 的解集是 _1 13、_若 0a1,则不等式(Xa)(x )0 的解为 *xm,其中 *0m,求不等式 cx +bx+a0 的解 答案 1、1 13 3x|xw0 或 1wx 2 22 21 1axa aa =2 或 aw -42= =4(a4(a

14、 -2)-2)24(a4(a -2)-2)4：0 0RnRn即一 2va av2 综上一 2va aW2a a -2-2 : 0 01 1知A=(1m m)24m m2X)X)3m m2+2m m1 切二1Wn nw-且 mOmO3 32.5.2 函数与方程：二分法求方程的近似解教学目标一、 知识与技能：理解逼近法、二分法的操作方法，了解二分法的实际意义二、 过程与方法：借助现代化工具一一计算器，说明二分法的实际应用三、 情感态度与价值观：体会正面与迂回都是解决问题的方法的思想教学重点二分法的掌握教学难点二分法的理解备注本节是一个课件2、【解若 a a=2，不等式的解为全体实数【解当 m m=

15、0时，原当 m m 和时，由题意1 1 一 一m m | 1wmw-mw- 时，原方程有实根.3 3bc,a 0,n+m=- ,nm= 0aaa1 1 %21 1=-(+),=，故 x2-( +)x+综上，当 m m8* ,由已知bx+c1,1 10,解为一 x-mn m,cx2+bx+a0 u x2+-0,f(5)0,故在(3,5)之间有解说明 1:不能作了图象后就直接说它有解，即不能看起来 象就说它是，还需要证明。练习 1 :方程 aX=|ogaX 是否只有一个解？(答：未必；用课件演示)说明 2：对于二次函数 y=f(x),y=f(x),如果 f(m)f(n)0,f(m)f(n)0,则

16、f(x)=0f(x)=0 在(m,n)(m,n)有且仅有一个实数 根。对于一般的函数 f(x)f(x)，这个结论还是否成立？不成立需要加说明条件？结论又是什 么？,15，先检查第 8 个接点处,3.60.033833023.80.015538724-0.00212864.2-0.01919054.4-0.03566774.6-0.05158034.8-0.06694755-0.0817881以如此应用，而且还可以求方程的近似解。主题：二分法求方程的近似解二、新课内容例 1、判断 O.84x=o.5 在(3,5)之间是否有解？x-0.5,方法一0.84Ax-0.5取 X0=X1X22于连续函数

17、y=f(x),f(m)f(n)0,则 f(x)=O 在(m,n)内一定有解，但未必只有一个解练习 2:判断方程 x3+3x-1=0 在(0,1)内是否有解？(有)例 2、利用计算器求方程 lgx=3-x 的近似解(精确到 0.1)Xgx+x-3V)-2-0.698972.1-0.577782.2-0.457582.3-0.338272.4-0.2197912.5-0.102061f2.60.0149732.70.131364解：作出 y=lgx 与 y=3-X 的图象如图，(也可以列表如表)2.80.2471582.90.362398解在(2,3)之间，检验设 f(x)=lgx+x-3，有:f

18、(2)0,解XI30.477121(2,3);f(2.5)0,解 Xi 2.5,2.75);f(2.625)0.解在(2.5,2.625)之间；f(2.5625)0,解在(2.5625,2.625).故解的近似值为 2.6说明：以上就是用二分法求方程近似解的一个过程，是依次将区间二分，最后根据精确度四舍五入找到近似解。二分法求方程近似解的一般步骤是：取Xi,X2，使 f(Xl)f(X2)0定有解，但不是惟一解。一般的，对不成立,练习：求方程 2x+x=4 及X3=2X+1 的近似解(精确到 0.1 )(答案：1.4 ;，-1 , -0.6,1.6 )三、小结：本节的主要问题是二分法求方程的近似解：其中找异号端点值的方法有函 数法和图象法四：作业：教材 P81-习题 5,补充作业补充习题1、 写出下列方程解的个数：_4x2-6x-仁 0 在(-1,2)内;(2) log2(x+4)=3x_ex=1/x_ ;x=ln(x+2)在e-2-2,e4-2内_2、下列不能用二分法求方程近似解的序号是()3、已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图，贝 U b 的范围是 _8*4、 函数 f(x)=x(x-1)(x-2)+a定有零点的区间是_5、 方程J2x - 1=2x-3