关注学生发展

1、关注学生发展追求“优效教学”16“直线与平面平行的判定”案例分析肖凌戆（510700广东省广州市黄埔区教育局教研室）本文发表在中国数学教育（高中版）2010年第1 - 2期P39-44.高中数学“优效教学”的案例研究，是笔者主持的高中数学“优效教学”的行动研究 （“广州市中小学教学领域进一步深化素质教育”的立项课题）的重要内容.在案例研究中，我们开展“同课异构”活动，引导教师进行教学反思，提炼优效教学的教学课例，积极推进 素质教育.现以“直线与平面平行的判定”为例，与同行分享.一、课例描述（一）课例1的教学过程与点评1 .引入新课师：空间中直线和平面有哪几种位置关系？生1：直线在平面内，直线与

2、平面平行，直线与平面相交.师：根据直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行你认为方便吗？生2 :根据直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行不方便.师：由于直线的无限延伸性和平面的无限伸展性，用定义判定直线与平面平行确实有困难。现在我们来学习直线与平面平行的判定定理.2. 探索判定定理师：根据日常生活的观察，同学们能举出直线与平面平行的具体事例吗？（教师演示：教师取出预先准备好的直角梯形板进行演示。把互相平行的一边放在讲台 桌面上并绕这一边所在直线转动直角梯形板，让学生观察另一边与桌面的位置关系.）生3 :另一边与桌面平行.师：若把垂直于底边的腰放在桌面上并转动直角梯形板，另一腰所在直线与桌面

3、平行 吗？（教师演示）生4 :另一腰所在直线与桌面不平行 .师：上述演示中，直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用 呢？（通过观察感知，教师归纳，呈现课件.）则该直线与直线和平面平行的判定定理：平面一外一条真线与此平面内的一二条直线平行丄 此平面平行.简单概括：线线平行=线面平行.符号表示：aHa,bua,a/b= a/a .作用：判定或证明线面平行.关键：在平面内找（或作）出一条直线与平面外的直线平行思想：空间问题转化为平面问题，复杂问题转化为简单问题3. 定理运用教师讲解例题：EF /平面例1已知空间四边形 ABCD中，E, F分别是AB和AD的中点，求证:BCD.学生

4、思考问题.1 1变式1: E, F 一定要是中点上面结论才成立吗？若改为“AE = AB AF = AD ”3'3呢？已知空间四边形 ABCD中，E,F分别是AB、AD上的点，若则EF /平面BCD .（请填上一个使命题成立的条件）变式2 :如图1，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为各边上的中点，请找出图中线面平行的关系变式3:在三棱锥ABCD中，E,F,G,H分别为棱AB,BC,CD,DA边上的中点，请找出图中线面平行的关系.变式4:设两个全等的正方形 ABCD和ABEF相交于AB , 中点，如图2所示，求证： MN / 平面BCE.M、N分别为AC和BF4. 巩固练习学生演

5、练课本练习.教师引导思考:(1)在课本练习的第 2题中，如果ABCD -ABiCiDi是长方体，结论仍然成立吗?罟 =2 ,能否在D.E上找一点F ,使得BF/平(2) 在课本练习的第2题中，如果 面AEC ?如果 DE =3,4,5呢？(3) 在课本练习的第2题中，你能在平面BBQC内画一条直线和平面 AEC平行吗?5. 课堂小结(1) 线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与 这个平面平行.定理的符号表示：a位a,bua,a/b= alia .简述：线线平行=线面平行.(2) 定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行 四边形或三角

6、形中位线性质等。6. 布置作业课本习题2.2A组第3题和第4题.点评：在本课例中，教师注重直线与平面平行的判定定理的运用.在例题教学时，重视规范表达解题过程，注重变式教学，但忽视文字语言、图形语言、符号语言的转化训练.在直线与平面平行的判定定理的形成过程中，教师直接告知结论，忽视学生对判定定理的理性认识.(二) 课例2的教学过程与点评1. 复习回顾，弓I入新课师：空间直线与平面的位置关系有哪几种？生：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交.(教师提出如下问题，让学生观察探究.)问题1:将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何?问题2:将课室门打开，门上靠近把手的边与门

7、框所在的墙面有何关系?D'ZE2. 操作确认，抽象概括(学生操作确认.)如图3,在长方体 ABCD-A'B'C'D'中, 直线AB与直线C'D'的位置关系为 直线AB与平面A'B'C'D'的位置关系为_ 直线AB与平面DCC'D'的位置关系为 (教师抽象概括.)则该直线直线与平面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 与此平面平行.线线平行=线面平行.如图 4.简单概括：图形表示：符号表示:a 区 a,bua,a/b= a/a.线线平行=线面平行.简要表述：作用：判定或证

8、明线面平行图43. 例题讲解，变式演练例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面已知：如图5，空间四边形 ABCD中，E,F分别是AB和AC的中点.求证：EF /平面BCD.变式练习：C'(1)如图6,在长方体ABCD-ABCD冲，E为棱DD '的中点.试判断BD与平面 AEC的位置关系，并证明.图6(2)如图7,已知四棱锥P- ABCD的底面是梯形， AB/ CD且CD = 2AB .问：线 段PC上是否存在点F使得BF /平面PAD ?并证明你的结论.n4. 课堂小结(1) 直线与平面平行的判定方法：定义法，判定定理法.(2) 证明线线平行的常见方法

9、：三角形中位线、相似三角形、平行四边形的性质5. 布置作业课后作业：习题2.2A组第3题.点评：在本课例中，教师注重对实物的观察，引导学生在直观感知、操作确认的基础上抽象概括出判定定理，注重经历观察探究、操作确认、抽象概括、定理运用的过程.在操作确认上，通过长方体模型中的线线平行、线面平行关系来具体认识线面平行的判定定理的本质属性，使学生明确判定定理的条件和结论.但是，教师直接告知结论，忽视学生对判定定理的理性认识.变式练习第(2)题的教学中，局限于用平行四边形的性质来证明线线平行这 一预设目标，刻意从平行四边形的角度来解决问题，忽视了对三角形中位线定理的具体操作：通过分析条件 AB/ CD

10、, CD =2AB ,可引导学生由中点联想中位线， 进而延长CB和DA 交于点G，得到三角形，再中位线定理证明线线平行，进而推出线面平行.由于时间安排较紧，学生参与不充分，没有充分激发学生的数学思维，未能达到预设的教学效果.(三) 课例3的教学过程与点评教学步骤教学内容学生反应教师指导复习提问1. 空间中直线和平面有哪些位置关系？2. 在上述三种位置中，直线与平 面的公共点的个数各是多少？3. 用图形和符号是如何表示 的？1. 直线与平面平行，直线与平 面相交，直线在平面内.2. 依次是：无公共点，有且只 有一个公共点，有无数多个公 共点。引导学生温 故知新.问题提出如何判定一条直线和一个平面

11、 平行呢？思考、讨论设置疑难：定 义法难以证 明“无公共 占”八、定理导入1. 观察：门扇的两边是平行的， 当门扇绕着一边转动时，另一边 与门框所在平面具有什么样的 位置关系？2. 观察：课本的对边是平行的， 将课本的一边紧贴桌面，沿着这1. 平行.2. 平行.引导学生从 实例中感受 线面平行的 判定依据.条边转动课本，课本的上边缘与 桌面所在平面具有什么样的位 置关系？3.拿在手上的一支笔，你如何确 保它能和桌面平行呢？ 直线与平面平行的判定定理:平 面外的一条直线与此平面内的 一条直线平行， 面平行.3.在桌面上“找” 一条直线与 之平行.定理讲解则该直线与此平图形语aa/b J定理的再认

12、识判断：(1)若直线I平行于平面a内 的无数条直线，则I / a(2)如果a, b是两条直线，且a/ b，那么a平行于经过b的任 何平面如图，在长方体ABCD -ABiCiDi 中，与 AB平行的平面有；与AA平行的平面有;与AD平行的平基础训练面有；与AB1平行的平面。为什么?(1)错误.(2)错误.(1)平面A,BiCiDi和平面D1DCC1 ；(2 )平面D1DCC1和平面B1BCC1 ；(3)平面B1BCC1和平面Al B1C1D1;(4)平面 D1DCC1.定理说明：1. 符号语言 中的三个条 件缺一不可；2. 定理简述为：线线平行= 线面平行.线线平行是 条件的核心， 要证明线面

13、平行，可转化 为证明线线 平行.dLEBT*AC1CB例题讲解能力提高例.求证：空间四边形相邻两边 中点的连线平行于经过另外两 边所在的平面。已知：如图，空间四边形ABCD中，E, F分别是AB, CD的中点.求证：EF /平面BCD .变式训练：(1 )在上题中，设H为BC 的中点，连接EH .你能找出哪 个平面与EH平行吗？(2 )已知：空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,AD, DC,BC 的中点.求证：BD /平面EFGH .已知：在长方体ABCD -ABiGDi 中，E 为DDi的中点.求证：BD1 /平面AEC .CAEFR图 IE - 5证明：连接BD./ AE =

14、EB , AF = FD , EF / BD(三角形中位线的性质) EF 2 平面 BCD , BD 匚 平面BCD ,由直线和平面平行的判定定理得：EF /平面BCD .让学生先探 索：在该长方 体中，自己构 造线段，使之 与平面AEC平行.小结1. 今天我们学习了直线与 平面平行的判定，同学们在运用 该判定定理时应注意什么？2. 在证明线面平行的问题 时，常将之转换为线线平行问 题.让学生先自己总结三个条件，缺 一不可； 线线平行= 线面平行. 难点：如何在 平面内“找” 出平行的直 线.布置作业1. 课本习题2. 课本习题3.在长方体2.2 A组第3题.2.2 B组第1题.ABCD -A

15、BGDi中，E、F分别是棱BC与CiDi的中点.EF / 平面BDDB BDD.Bv4. 在 正ABCD ABiGDi ，P, Q分别是AD1和BD上AP = BQ .求证：PQ /平面dCCiDi .点评：这节课的亮点是：学生的探究在前，老师的讲解、点评在后，尊重学生，重视思维 训练.不足之处有以下几点：(1)对学生的能力估计不足.因为是借班上课，对学生的能力不 太了解，所以与学生的沟通、交流上显得生疏.(2)忽视板书.在重视思维训练的同时，对几个证明题的解题过程和解题格式没有板书.从实际来看，效果不理想.如果老师能板书解题过程，可能效果更好些.原打算请学生上台板演，但由于时间关系没能实施.

16、(3) 线面平行的判定定理，教师直接告知结论，忽视学生对判定定理的理性认识.二、教学反思上面三个课例存在的主要问题是：新课导入缺乏有效的问题情境；直观感知缺少必要的.下面就直理性分析，只告知判定定理，不重视判定定理的形成过程；变式训练不够充分线与平面平行的判定的教学环节进行探讨：1. 关于新课引入从建构主义理论来看，学生原有认知结构是新授课的基础.本节课学生已有的认知结构包括知识储备（直线与平面平行的定义）和方法储备（空间问题平面化的化归与转化思想）.因此，在新课引入时，首先应引起认知冲突.通过复习直线与平面的位置关系及其图形表示、符号语言，采用问题导入方式，提出如何判定直线与平面平行以引发学

17、生思考.其次，宜提供先行组织者，让学生明确探究方法.通过回想研究异面直线所成的角的方法，指明判定直线与平面平行可采用空间问题平面化的思想方法.2. 关于判定定理的形成可采用“观察模型-直观感知-操作确认-抽象概括-思考探究”的方式.课本用如下问题1作为观察的对象：问题1：将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？教学时，可通过（多媒体）演示翻书过程，让学生直观感知直线与平面平行的条件.再通过长方体中线线、线面平行关系的分析，进一步强化几何直观，确认线面平行的三个条件 和结论.并由此抽象出探究问题 2 （抽象概括，有利于数学化）.a内的直线b，问:问

18、题2:如图8，平面a外的直线a平行于平面图8（1）直线a,b共面吗?（2）直线在问题2的教学中，要引导学生讲清理由3.关于判定定理的运用课本仅提供一个例题（文字叙述的证明问题） 来理解题意，进而结合图形写出已知和求证， 能力.在证明思路的探求中，a与平面a相交吗?同时，要通过变式教学，强化解题技能，要引导学生分析问题，让学生通过作图这样处理有利于提高学生的作图、识图、用图要强化学生的目标意识，要对运用判定定理解题进行有效指导.体悟解题方法.三、改进建议高中数学优效教学的基本理念是：于数学教育的三维目标的高效率性.侧重于学生的“基础性发展”，关注数学课堂教学的有效性，强调课堂教学的预设与生成，

19、注重教学目标的“达成”，追求课堂教学的优质高效；“优效的数学教学”的“优”是指“优 效”与“长效”，致力于学生的“发展性发展”，强调理性思维的培养和数学素养的发展，注 重“数学文化价值”的发挥，关注“数学思维方式”的教学，关注学生“数学活动经验”的 获得，关注学生创新意识的发展.展示过程，变式探究，提炼方法 课堂教学目标应当强调“准确”优效教学是提高教学效率的活动，强调课堂教学相对“优效的数学教学”的“效”是指“有效”和“高效”高中数学优效教学的基本策略是：目标定向，问题驱动，.教学目标是实施优效教学的依据，对教学具有定向作用，“具体” “有用”；问题驱动强调数学教学要创设问题情境;展示过程强

20、调数学教学要展示思维过程(知识的形成过程、问题的提出与探究过程、方法的建构与反思过程)；变式探究即通过“问题变式”弓I领学生提出问题、发现结论；提炼方法 强调在数学教学中要重视数学思想方法的教学.1上述三个课例是我区三位青年教师讲课比赛一等奖的教学实录.基于优效教学的追求和上述课例的反思，下面给出“直线与平面平行的判定”的教学设计的改进方案.教学目标：引导学生经历直线与平面平行的判定定理的直观感知和操作确认过程；在直线与平面平行的判定定理的运用过程中， 让学生掌握线面平行的判定方法， 体悟空间问题平 面化的化归思想，享受解题成功的喜悦，提高空间想像能力.教学重点：直线和平面平行的判定定理及其应

21、用 .教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用.教学过程设计见下表：教学教学程序设计意图环节(师生活动)问题情境：(1) 直线和平面有哪几种位置关系？能用图形或 符号来表示吗？(2) 在课室中，门扇的对边是平行的。当门扇绕 着一边转动时，门扇转动的一边所在直线与门框所在 平面具有什么样的位置关系？(3) 将课本平放在桌面上，翻动书的封面，封面 边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关 系？(学生独立思考，合作交流，回答上述问题) 教师：由于判断直线与平面公共点的个数较为困 难，所以，我们需要找一种比较实用的直线与平面平 行的判定方法.在研究异面直线所成的角时，我们通过平移，唤起

22、学生对已有知识 的回忆，为新课做铺垫利用教室实物，吸引 学生注意力.从实际背景出发，直 观感知直线与平面平行的 位置关系.引起认知冲突.提供先行组织者.让学生观察、猜想、 探究.问题转化为研究两条相交直线所成的角，即采用空间问题平面化的方法来解决问题.能否把线面平行的判 定转化为线线平行来解决呢？观察猜想： 在长方体 ABCD ABCjDj中，回答如下问题:(1)直线AB与直线AiBi的关系为直线AB与平面A1B1C1D1的关系是(2)直线AC与直线AG的关系为直线AC与平面A1B1C1D1的关系是(3)提出猜想:自主探究：如图，平面a外的直线a平行于平面a内的直(1)线b，问:直线a, b共

23、面吗?直线a与平面a相交吗?(2)抽象概括：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.(直线与平面平行的判定定理)(1) 用文字语言表述直线与平面平行的判定定理(2) 用图形语言表述直线与平面平行的判定定理(3) 用符号语言表述直线与平面平行的判定定理(aH a ,b u a , a / b a / a )简记为：线线平行=线面平行.教师强调：(1) 直线与平面平行的判定定理中的三个条件缺 一不可.(2) 直线与平面平行的判定定理提供了证明直线 与平面平行的一种方法，即化归为判断直线与直线平 行(空间问题平面化).例题讲评：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经 过

24、另外两边所在的平面.(课本例题)D引导学生根据已有知 识进行推理.通过三种语言表述定 理，让学生感受判定定理 的条件与结论.适时归纳知识与方 法，让学生进一步理解知 识，形成认知结构.在学生学完定理后， 安排应用定理的例题，可 加深学生对定理的理解.通过平面四边形沿对 角线折起的动态演示，加 深学生对空间四边形的认 识.同时，在动态演示的过 程中，体会线面平行判定 定理的应用.式18已知：如图，空间四边形 ABCD中，E,F分别是AB和AC的中点.求证：EF /平面BCD.证明：略.指导学生规范答题 强调定理的三个条件，让 学生感悟定理的三个条件 缺一不可.以例题的变式为切入 口，引导学生进一步熟悉 定理、应用定理。因为一 个定理的灵活应用是离不 开“反复操作”的.引导学生寻找适当的 辅助线，为运用定理创造 条件.变式训练：变式1：已知空间四边形 ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点