与二次函数有关的存在性问题

1、学习好资料欢迎下载与二次函数有关的存在性问题1、如图， 已知抛物线与x轴交于A、 B两点，A在B的左侧，A坐标为(-1,0),与y轴交 于点C(0,3),ABC的面积为 6.(1)求抛物线的解析式；抛物线的对称轴与直线BC相交于点M ,点N为x轴上一点，当以M , N , B为顶点的三 角形与.IABC相似时，请你求出BN的长度；(3)设抛物线的顶点为D,在线段BC上方的抛物线上是否存在点P,使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由2、如图所示,在平面直角坐标系 xoy 中，直角梯形 CBAO 勺边 OC 在 y 轴的负半轴上，OA 在x 轴的正半轴上，/

2、 AOC=90，且 OA=OC=3,BC=。(1) 求过点AB、C 的抛物线的解析式；(2) 将线段 OA 绕 O 逆时针旋转 45 ,交对称轴于点 F,连接 CF,已知点 M 是抛物线上一动 点，且 M的横坐标为 a,且 a1,当点 M 运动到直线 y=1 的下方时，设 CFM 勺面积为 S,试 写出 S 与 a 的函数关系式，并求出使得 CFM 的面积最大时 M 的坐标；(3) 在对称轴上是否存在一个点P,使得 P 与AB 构成的 PAB 为直角三角形，若存在，求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由。学习好资料欢迎下载123、如图，已知抛物线y= x +mx + n（n式0）与直线y =x

3、交于 A、B 两点，与y轴交2于点 C，OA = OB, BC /x轴.（1）求该抛物线的解析式；（2）设 D、E 是线段 AB 上异于 A、B 的两个动点（点 E 在点 D 的上方），DE= 、,2.过D、E 两点分别作y轴的平行线，交抛物线于点 F、G .设 D 点的横坐标为x，四边形 DEGF 的 面积为y，求y与x之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并求出x为何值时，y有最 大值，最大值为多少？（3）若点 P 为该抛物线对称轴上一动点，在第（2）问条件下，当y取得最大值时，是否存在点 P,使得以P、 D、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若有，请求出 P 点坐标；若没有,练习：1、如图

4、，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与 y 轴负半轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点，其中 B 点的坐标为（3, 0），且 OB = OC.求此抛物线的解析式；学习好资料欢迎下载若点 G (2, y)是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时， APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点(其中点 M 在点 N 的右侧)，在 x 轴 上是否存在点 0,使厶 MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.31 /V 2图题图2、如

5、图，抛物线 y=ax2 10ax+8 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 C、D,点 B 在抛物线 上，且 AB /x 轴，AB=AC，点 P 是抛物线的对称轴上一动点。(1) 求抛物线的对称轴及 a 的值；(2) 当厶 PAC 的周长最小时，求出点 P 的坐标；(3 )在 y 轴上是否存在点 M,使四边形 MPBC 为等腰梯形，若存在，求出点 M 的坐 标，若不存在，请说明理由。23、已知：m,n是方程x - 6x 5 =0的两个实数根，且m：n, 抛物线y - -x2bx c的图象经过点 A(m,0), B(0, n).学习好资料欢迎下载(1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设(1)中

6、的抛物线与x轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D，试求出点 C, D 的坐标学习好资料欢迎下载和BCD的面积；(注：抛物线目二ax2 bx c (a = 0)的顶点坐标为b2a4acb24a)；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH _ x轴，与抛物线交于 PCH分成面积之比为2:3的两部分，请求出P点的坐标.H点，若直线BC把1、解:(1)C(0,3)-OC二31又SABCAB OC =6-AB =4 A为(-1,0)B为(3,0)答案:设抛物线解析式y =a(x T)(x -3),将C(0,3)代入求得a = -1,(2)抛物线的对称轴为直线KX一一=1,由B(3,0),C(0,3)

7、2a得直线BC解析式为y - -x 3对称轴x二1与直线BC :-x 3相交于点M . M为(1,2)设N为(t,0)，当MNBL ACB时，刖二3二t=zJ=t=o- BC AB 24可直接设BN 的长为未知数.BN MB3t 22丄MNB CAB时，t =-AB CB 43/23学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载所以BN的长为 3 或83存在.由y二-x22x 3得，抛物线的对称轴为直线(1,4).当PD二PC时，设P点坐标为（x,y）,根据勾股定理,得x2(3 -y)2=(x -1)2(4 - y)2,即y = 4 - x.又P点(x, y)在抛物线上，4-x = -x2 2x 3，即

8、x2-3x T = 0，解得3 _；5x =25 - . 55亠. 53亠J5 5 - . 5、十-y=4-x或，即点P坐标为(，)或22 2 2当CD二PD时，即P,C关于对称轴对称2此时P的纵坐标为 3，即3=-x2x 3，解得x,=2,x0（舍去），. P为(2,3)当PC =CD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑符合条件的点P坐标为（3-亦5 +亦）（3+苗5-需）或（2,3）.2 2 2 22、(1)vO2OC= 3 A(3,0) C(0,-3)BC = 2又四边形 OCBA 为梯形 BC / x 轴- B(2,-3)将 A B 代入到y=ax2+bx- 3 中9a 3b -

9、 3 = 04a 2b - 3 = -3bx1,顶点D为2a学习好资料欢迎下载V22a 4 4a -4a26a221= a23a7 分2b313又:02a-12当 a=3 时，S 有最大值.此时 M(3, 0)8 分存在：当/PAB= 900设 P(1, n)则AF2= 22+ n2= 4 + n2a二1 b 2c = -32 y=x - 2x-3.4 分.对称轴：_= 12a 2 F(1, 1) C(0, 3)设 CF：y=kx-3将 F 代入k-3=1k=4 CF: y=4x-3.5 分设 M(a, a2-2a-3)分别过 M 过 F 作垂线，如图所示交y 轴于 E,两垂线交于 D,则四边

10、形角梯形S.CFM二SMDEC _SADF一SEFC(DM CE)DE221 - a 2a 3令-a2+ 2a + 4 = mMD DECE41)(1 - a2原式=(4m)_2(a - 1)mm 4aMDE(为直2a 3)4学习好资料欢迎下载AB2 2 2=(3 - 2)+ 3=10BP2= 12+ (3 + n)2=2n + 6n + 10AF2+ AB2= BP24 + n2 2+10 = n + 6n + 10学习好资料欢迎下载1|(1, -2)11 分2+ BP2= AP28-P4(1,一3) P(1,2),PQ,-1),P(|1, _2)尸4(1,一8)使得 ABP 为 Rt33练

11、习：1、.解：设抛物线的解析式为y =ax2+bx+c(aH0)由已知得：C (0, 3), A (- 1, 0)1 分a - b c = 0J.a =1彳9a+3b + c=0解得 b =-22 分c = -3c= -3抛物线的解析式为 y =x2-2x-33 分过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q由 y =x2-2x -3，令 x=2，则 y= 3点 G 为(2, 3)设直线 AG 为y = kx n( k 0)设 P ( x,x22x3)，则 F(x, x 1) , PF=x2+x + 2.131 sAPG二sAPFSGPF= ?(-x2x 2) 3= -?x2?x 36n

12、= 4n =/ APB= 900时2 .n = 4 +2 2AP = 2+BP = 1+A 扌=104 + n +(3 + n)2n2n2 2=n + 6n + 10+ 6n + 10 =102+ 6n + 4 = 0i= -1 n2= -2二 P2(1, -1)/ ABP= 9012 分-k+n =0、2k+ n= 3解得r=_1n-AB学习好资料欢迎下载当X时， APG 的面积最大2此时 P 点的坐标为 丄，-15,SAPG的最大值为2724丿滋8（注：利用四边形的面积来表示APG 的面积也可以，只要答案正确即可）存在/ MN / x 轴，且 M、N 在抛物线上 M、N 关于直线 x=1

13、对称设点 M 为（m , m -2m _3）且m . 1MN =2（m -1）当/ QMN=90。，且 MN=MQ 时， MNQ 为等腰直角三角形 MQ 丄 MN 即 MQ 丄 x 轴22（m1） = m 2m3即2(m-1) =m2-2m-3或2(m _1) _ -(m2_2m _3)解得g = 2,m2 = 2 - 5(舍)或m - 5，m2= - 5(舍)点 M 为（2、5,2 2、5）或（5，2-2 5）点 Q 为（2 , 0）或（5，0）当/ QNM=90。，且 MN=NQ 时， MNQ 为等腰直角三角形同理可求点 Q 为（一 5 , 0）或（2-5, 0）当/ NQM=90。，且

14、MQ=NQ 时， MNQ 为等腰直角三角形过 Q 作 QE 丄 MN 于点 E,贝 U QE=丄 MN21 =2（m _1） =|m2_2m _3丁方程有解由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q 为（1, 0）综上所述，满足存在满足条件的点Q,分别为（ 5 , 0）或（5 , 0）或（2 5, 0）或（2_ 5，0）或（1 , 0）12 分2、解：(I)：y=ax2-100ax 8抛物线的对称轴为：x =a= 5.1 分2a令 x = 0,贝 U: y = 8点 A 坐标为：（0,8）/ AB / x 轴点 A 与点 B 关于对称轴 x = 5 对称点 B 坐标为：（10,8 ）2 分 AB

15、 = 10 又 AB = ACN 7M26题图学习好资料欢迎下载1在 Rt AOC 中，0C二.ACAO .106点C的坐标为(-b , 0)3 分将 C(-b , 0)代入y二ax2-100ax 8得：36a + 60a +8 = 0a.4 分12(2)VcPAC二AC PC PA而 AC = 10 为定值当CPAC的取得最小值时，PC + PA 最小由抛物线的对称性可知:此时点 P 即为 BC 直线 x = 5 的交点.5 分 令直线 BC 的解析式为：y = kx + b （k 工 0）.由 C(-6,0), B(0,8)得：-6k b=010k b = 81亡解得：52b = 31直线

16、 BC 的解析式为：y x 8.6 分2t5丄21当 x = 5 时，y 8 =2 2此时点 P 的坐标为（5,21）7 分2（3）符合条件的点 M 存在.8 分由四边形的表示方法知：点 M 与点 P 在直线 BC 的同侧.显然：MC 与 PB 不平行. MP / BC令M点的坐标为（0, m）,贝直线 MP 的解析式为:5点 P 的坐标为：（5,m）在 Rt MO（与 Rt PBE 中MC2=MO2OC2=m236学习好资料欢迎下载2 2 22 2 2221PB2二PE2EB2=（m8）252二m211m 24由：MC = PB 得：MC2= PB22 cc2221二m 36二m11m47m

17、 =4此时点 M 的坐标为：（0,7）10 分43、解：（1）解方程x2_6x5=0,得洛=5,x2=1. （1分）由 m：n，有m=1,n=5所以点A,B的坐标分别为A 1,0,B 0,5 . （2分）将A 1,0,B 0,5的坐标分别代入y = -x2bx c,学习好资料欢迎下载得-1。,解这个方程组，得c =5.b =-4,c = 5.所以抛物线的解析式为（3（2）由y = -x2-4x 5，令y = 0，得-x2-4x 5解这个方程，得x1= -5,x2= 1.所以C点的坐标为-5,0.由顶点坐标公式计算，得点D -2,9.（4 分）过D作x轴的垂线交x轴于M,127则SADMC二；95-2=，221S梯形MDBO2 9 5 = 14，.s15 525（5分）27 25所以SABCD二S梯形MDBOSADMC- SA（6分）（3）设P点的坐