数形结合思想例题分析

1、v1.0可编辑可修改数形结合思想例题分析、构造几何图形解决代数与三角问题:1、证明恒等式:例i已知z2, z . x2 r求证:rzxy.2r均为正数，且x分析:2z,自然联想到勾股定理。、.2 ,x.可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。证明：（略）小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然 后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。2、证明不等式:例2已知：0ai, 0bvi. 求证Ioo/ooIooIoo22222222a a b (1 a) b a (1 b) (1 a)

2、 (1 b) 2、2.证明：如图，作边长为 1的正方形ABCD在AB上取点E,使AE=a ;在AD上取点G,使 AG=b ,过E、g分别作EF由题设及作图知4 AOG、 BOE、 COF、 DOG均为直角三角形，因此OA 、, a2 b2OB ,(1 a)2 b2OC (1 a)2 (1 b)2且 AC BD 2OD a2 (1 b)2由于 OA OC AC,OB OD BD.所以： a2b2 J(1 a)2b2 、a2(1 -b)2 J(1 -a)2(1 -b)2 2 2.b 1当且仅当a b 时，等号成立。 2小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或

3、者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。3、求参数的值或参数的取值范围：2例3若方程ax 2x 1 0 ( a 0)的两根满足：X1 0)的草图：由图可知：当x=1时，y 0.即 a 12 2 1 10.解得:v a V 1.例4若关于x的不等式0x2 mx 2 1的解集仅有一个元素，求 m的值。2y 1 与 y x mx 22x mx 2在直线y 0与且抛物线开口向上。由图形的直观v1.0可编辑可修改性质可知：这个交点只能在直线y 1上，故方程组1mx仅有一组解。m2 4 1 0 即 m 2.小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭 示问

4、题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。4、求最值问题:例5已知a、b均为正数，且a b1的最小值。解：如图，作线段 AB=2,在AB上截取AE=a ,EB=b ,过A作AC AB,且AC=2 过B作BD AB,且BD=%由勾股定 理：CE=Za2_4 , BD=Vb_1 ,原题即求CE+ED勺最/、值。又如图，延长CA至G,使AG=AC连接GE,由三角形两边之和大于第三边， 则G E D三点共线时，GE+ED=DG1短。作出图形，延长 DB至F,使BF则在 RtDGF中,DF=1+2=3, GF=AB=2DG DF2 GF2 32 2213CE+DE勺最小值是 13.1的最小值是,

5、13.4第5页共5页小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。二、用代数与三角方法解决几何问题：例6 如图，在 ABC中，ABAC, CF、BE分另是 AR AC边上的高。试证：AB CF AC BE证法一：（三角法）因为0 sin A 1,AB AC (AB AC) sin AAB AC sin A AC AB sin AAB CF AC BE（当A 90：时取等号）证法二：（代数法）由 AB AO CF, AB BE11及 SA ABC -AB CF AC BE22AB AC变形得.空受AC CFBE CFAB ACAB BE AC CFAB CF AC BE当 A 90；时，A

6、B CF =AC BE.综上：AB CF AC BE.小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。例7 如图，在正 ABC的三边 AB BG CA上分别有点 DX E、F.若DE BC EF AC, FD AB同时成立，求点 D在AB上的位置分析：先假设符合条件的点 D、E F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：设 AB=1, AD=X因为 ABC为正三角形，且 DE BC EF AC, FD AB,故 AF 2x , CF 1 2x , CD 2CFBE 1 CE 4x 1 , BD 2BE 8x而 AD BD1，即 x (8x 2) 111解得：x 二.即点D位于AB边上二分点处.33x Df为垂足).若BD CE AF 27.求：BD BF的长.解：设 BD x , CE y , AF z ,则DC 17 x , AE 18 y , FB 19 z连接 PA PB PC.在 RtAPBDD RtPFB中， 2222x PD (19 z) PF 2222同理：y2PE2(17x)2PD22222z2PF2(18y)2PE2将以上三式相