介观物理讲义

1、介观物理讲义刘玉良清华大学高等研究中心目录第一章 介观物理的特征长度和基本概念1.1 什么是介观系统1.2 费米波长、费米面和态密度1.3 平均自由程1.4 位相相干长度1.5 弹性和非弹性散射1.6 扩散区和弹道区1.7 低磁场磁阻和漂移率第二章 量子输运和Anderson局域化2.1 Anderson局域化和Mott迁移率边2.2 局域化区的热激发电导2.3 Thouless表象和导线中的局域化及有限温度效应2.4 局域化的标度理论2.5 弱局域化2.6 退相干的基本原理第三章 输运中的量子干涉效应和Landauer-Bttiker公式3.1 电导和透射几率3.2 S矩阵3.3 多通道La

2、ndauer-Bttiker公式3.4 多端Landauer-Bttiker公式和Onsager-Casimir对称性3.5 量子电阻的串联和一维局域化3.6 量子电阻的并联和电导的Aharonov-Bohm振荡3.7 普适电导涨落3.8 正常金属环中的持续电流第四章 弹道输运和库仑阻塞4.1 电子的弹道输运4.2 库仑阻塞4.3 量子点中的库仑阻塞4.4 共振透射和Kondo效应第一章 介观系统的特征长度和基本概念1.1 什么是介观系统 对于宏观导体，在保持外界条件不变的情况下，把它分成两块，每一块的物理性质，如温度、比热、电导率等，应保持不变。这已为大量的实验所证实，并在此基础上建立了普通

3、物理学、热力学和统计物理等。我们可以一直这样分割下去而保持每一个子系统有相同的物理性质吗？现代物理学告诉我们，答案是否定的！在接近于粒子的de Broglie波长的微观尺度内，粒子具有波-粒二象性，它的坐标和动量，能量和时间满足测不准原理。经典意义上的粒子的轨道的概念失去意义，而用状态波函数来描述粒子的传播。一般情况下，粒子的状态波函数由两部分组成，一部分是它的振幅，其平方表示粒子在该点出现的几率，另一部分是它的位相，表示粒子的量子相干，一般情况下它是时间和坐标的函数。位相的出现有其深刻的物理含义，而不是数学上的一个简单相因子，它表征粒子内在的波的本性。由此我们可以观测到电子的干涉和衍射现象。

4、然而粒子的量子行为随着系统尺度的增大、大量粒子的热运动及与杂质的散射破坏了粒子的量子相干性而迅速消失，这就是为什么除超导、超流和量子Hall效应等外，我们观测不到一般宏观系统的量子现象。 根据Ohm定律，一个长方体导体的电导与它的横截面积S成正比而与它的长度L成反比：这里电导率只与导体的内部性质有关，而与导体的大小形状没有关系。人们非常关心在什么样的尺度下这个关系不再成立，因为在微观尺度下，如接近于粒子的de Broglie波长，粒子的量子行为将显现出来。在应用固体理论和统计物理研究宏观系统的物理性质时，通过取热力学极限（取系统的体积和粒子数N趋于无穷大，而保持粒子数密度n=N/为常数）而得到

5、系统的物理性质。除了在系统的连续相变点外，系统的宏观尺度远大于任何表征粒子量子行为的微观特征长度，因此系统的量子行为很难被观测到。80年代中期随着科学技术的发展和微加工技术的进步，实验上可以制备出接近微观特征长度的样品，这样观测和测量系统的一些重要的量子行为变成可能。 尺度介于宏观和微观的系统称为介观系统。更确切地说，尺度接近下面所定义的，表征粒子量子行为的特征长度的系统称为介观系统。如果一个导体它的电导满足Ohm定律，它的尺度必须远大于下面三个表征粒子量子行为的特征长度中的任何一个：（1）在费米面（Fermi surface）附近的电子的de Broglie波长 ；（2）平均自由程（mean

6、 free path），它表示占据初始动量本征态的电子被散射到其它动量本征态之前电子所传播的平均距离；（3）位相相干长度（phase coherence length），它表示占据某一个本征态的电子在完全失去位相相干前所传播的平均距离，它一般由电子与其它电子、声子和杂质等的非弹性散射所决定。这些特征长度对温度和外磁场有很强的依赖性，并且对不同的材料有很大的变化范围。正因为如此，我们可以在一个很大的范围内观测到不同于宏观（经典）输运的介观输运现象。在介观输运现象中，很多在经典输运中的原理不再有效，如串连的电阻不满足相加原理和并联的电导也不满足相加原理等。如图1所示，是最常用的、研究量子点的输运性

7、质的的装置。1.2 费米波长、费米面和态密度 为了引入一些基本的物理概念，我们考虑一个有限尺度的自由电子气系统而略去正电荷背景和离子的晶格结构。在这种情况下，电子是相互独立的，我们只需考虑单电子薛定谔（Schrdinger）定态方程 (1.1)假定系统是一长方体并具有周期性边界条件，且其长、宽、高分别为、和。电子的波函数是平面波 (1.2)本征能量为 (1.3）这里是电子的波矢量，由它所构成的空间称为电子的相空间或k-空间。如图2，一个最简单的长方体金属导体。电子的动量可表示为。根据周期性边界条件，波矢量的取值为， , , (1.4)这里, , 是整数，每一组, , 表示电子的一个动量本征态。

8、由上式可以看出单位相体积内的状态数是 (1.5)为了简单起见，我们取，这里表示系统的维数。对于上面的情况。每一个由波矢量表示的本征态可以占据两个电子（自旋自由度），在绝对零度，电子首先占据能量最低的本征态，被占据的最高的本征态的波矢量称为费米波矢量，用表示，对应的动量和能量分别称为费米动量和费米能量，这里是费米速度。对于一般的系统，自由电子（传导电子或价电子）数N非常大，在绝对零度，它们所占据的相空间基本上是一个球体（d=3）、一个圆（d=2）或一个由费米波矢量确定的区间 ，（d=1），因此波矢量的变化可以看成是连续的。费米面（Fermi surface）就是由费米波矢量所定义的相体积的表面或

9、边界。对于一维电子气它是两个点；二维电子气它是一个圆；而三维电子气它是一个球面。在零温费米面内的态被全占据，而费米面外的态是空态。 我们以后会经常遇到表示系统的输运性质的物理量态密度（density of states），它的定义是单位能量内的电子的状态数 (1.6)这里因子2来源于电子的自旋自由度，是电子的能谱。对于自由电子，是立体角，对于球对称的系统，(d=3)，(d=2)，（d=1），因此我们得到 (1.7)另外一个经常用到的物理量是单位体积单位能量内的状态数（通常也被称为态密度，要注意两者的区别），它定义为。图3给出一个二维的简单示意图。 表征介观系统的一个重要的特征长度是电子的费米波

10、长。当系统的尺度接近费米波长时，量子涨落非常强；当尺度远大于费米波长时，粒子的量子涨落相对较弱，它的量子相干性很容易受到破坏。费米波矢量与电子密度的关系为 (1.8)对于一般单元素金属，如铜、铝、镁等，导带电子密度一般在的量级，因此费米波长在几个 (1=)（angstrom）的量级。在半导体GaAs/AlGaAs异质结的二维电子气，电子具有很高的迁移率，其费米波长可以达到400。 根据电子的费米波长，我们可以定义系统的有效维数：（1）Lx, Ly, Lz：三维（2）LxLy, Lz：准二维（3）LxLy, Lz：二维（4）LxLyLz：准一维（5）Lx，LyLz：一维（6）Lx, Ly, Lz

11、：0维在零维，系统变成一个量子点（quantum dot），电子间的库仑相互作用变得非常重要，从系统中移去或加进一个电子需要的特征能量是Ec，这里L是系统的有效尺度。这个有效维数的定义一般认为是在电子输运的弹道区，而在通常的量子扩散区，系统的有效维数要由位相相干长度来确定，即上面的费米波长用位相相干长度代替。 我们现在定义一个后面经常用到的量-横向模（transverse modes）或通道（channels），它类似于固体理论中的能带。考虑一个无穷长的细导体，Lx, Ly，散射到另一个动量本征态，|k。弹性散射平均自由程可表示为，这里是电子保持在某一个动量本征态的平均时间。弹性散射是电子与静

12、态的杂质的散射，这种散射所导致的电子的波函数相位的改变不随时间变化，多次散射后初态与末态的相位差是每一次散射所导致的相位的改变的累加，这通常称为相位“记忆”。这种记忆具有时间反演对称性。原则上，弹性散射不破坏电子的相干性，但是对实际系统，存在大量的散射路径，而总的位相的累加会远远大于2导致电子的相干性消失。相位累积达到2可能要经历很多次电子与杂质的弹性散射，通常情况下，要比大几个数量级。 非弹性散射是一种动力学散射，散射前后电子的能量改变，即电子从一个能量本征态散射到另一个能量本征态。非弹性散射是电子与其它具有动力学自由度的散射体的一类散射，如由于库仑相互作用导致的与其它电子的散射、与声子的散

13、射和与具有内部自由度的杂质的散射等。这种散射所导致的电子波函数相位的改变是随时间无规变化的，因此电子的相干性经过多次散射后消失。这就是弹性散射和非弹性散射的本质区别。弹性散射驰豫时间基本不随温度变化，因为它是由静态杂质散射决定的，而非弹性散射驰豫时间与温度有很强的依赖关系，因为它是一种动力学散射，散射体在不同温度区间对电子的散射不同，在高温区声子的散射起主导作用，而在极低温区电子间的散射及与杂质的散射起主导作用。这就是为什么与温度有很强的依赖关系。1.6 扩散区与弹道区 对于宏观系统，它包含大量的尺度大于或接近位相相干长度的子系统，每一个子系统可以用一个独立的薛定谔方程来描述，而可观测量是在子

14、系统中相应量的系综（ensembles）平均。 对于介观系统，它的尺度接近或小于位相相干长度，整个系统由单个薛定谔方程决定，因此对不同的系统可观测量表现会不一样，并且电子的量子行为可直接被观测到。 根据平均自由程与系统的尺度L的相对大小，介观系统分成扩散区（diffusive regime）和弹道区（ballistic regime）。在扩散区，L，电子的输运可看成是量子扩散过程，并且不依赖于系统的形状。在弹道区，L，电子在系统内作弹道运动，而系统的边界作为散射体对电子散射，因此系统的边界扮演重要的角色。通常平均自由程在100的量级，处在扩散区的金属线或点，其费米波长（12）与系统的尺度相比非

15、常小，因此电子能级的量子化一般不重要。只有在最近邻的两能级之差与温度相比拟的时候，才变得非常重要。因此，对一般的金属点（metallic dots），最重要的能量标度是库仑相互作用产生的充电能（charging energy），这里Q是金属点内的总电荷，C是金属点与周围环境所形成的总电容（capacitance）。 对于半导体GaAs/AlGaAs异质结中的二维电子气，电子的平均自由程可以达到50m，因此在这类材料中可以观测到电子的弹道输运。电子的费米波长可以达到300500，这可以和系统的尺度相比拟，因此电子能级的量子化将起重要的作用，在实验上可以观测到阶梯形变化的电导。1.7 低场磁阻 在

16、弱磁场下测量系统的电导率（通常称为Hall测量）是研究半导体薄膜（semiconducting films）特性的基本方法之一，因为可以从所测的纵向和横向电阻分别导出传导电子密度n和迁移率（mobility），而在零磁场下电导率的测量只能给出它们的乘积。 在恒定状态下，由于外场而导致的电子的动量改变与由于散射而导致的电子动量的改变应该相等， (1.15)考虑二维情况，如图5所示，上式可以表达成 (1.16)这里v是传导电子的漂移速度，E和B分别是作用在电子上的x方向和垂直于平面的有效电场和磁场，e是电子电荷，而c是光速。由（1.16）式，我们很容易得到系统的纵向和横向电阻 (1.17)这里n是

17、电子密度，是电子的迁移率。这个结果表示在低磁场下，纵向电阻是常数，而横向电阻随外磁场线性变化。然而在强磁场下，纵向电阻随磁场的变化而振荡，横向电阻在纵向电阻极小处出现平台，但总的变化趋势仍然保持与磁场的线性关系。在强磁场下，电阻的这种行为是一种宏观量子现象，它可以用电子的Landau能级和局域化理论（对于整数量子Hall效应）和Laughlin基态波函数（对于分数量子Hall效应）来很好地解释。图6给出电阻随磁场的变化。 对一个均匀导体，电流密度J（current density）通常表示为电子密度n与漂移速度v乘积 (1.18)这似乎表达所有的导带电子在外场下都作漂移运动且都对电流有贡献。在

18、低温下这个图像是一个误解（misleading）。实际上只有在费米面附近几个能量区间内的电子对电流有贡献。在低温下，不必关心整个费米海中的电子的动力学行为，只要知道在费米面附近的电子的动力学行为就足够了，这可使相应的计算大大简化。这里我们给出一个简单的证明。在没有加外场前，电子占据动量本征态k的几率由费米分布函数f(k) 决定。在绝对零度，费米面以下的所有态都被电子占据f(k)=1，而费米面以上的态是空态f(k)=0。外电场使得整个费米分布函数沿着电场的（反）方向平移了，如图7所示： 在费米面的深层，电子基本上没有受到外场的影响，只是占据在（假定外电场沿着x坐标的反方向）附近的电子移到了附近的

19、空态上，而其它的大部分电子所占据的状态没有变化，如图8所示：因此（1.18）式可以改写成 表示只有电子总数中的很少一部分（）并以费米速度传播的电子对电流有贡献。然而当出现磁场时，情况会有所不同，因为在这种情况下在导体的边界会出现回旋电流，虽然它对所测量的导体两端的电导没有贡献，但它却改变导体内部的局域电导率。第二章 量子输运和Anderson局域化2.1 Anderson局域化和Mott迁移率边 电子输运的Boltzmann半经典理论是弱散射理论，它可以成功地描述较纯金属导体的电导率与杂质和温度的关系，对于描写其它输运性质，如磁导率（magnetoconductivity）、Hall效应和热导

20、率（thermal conductivity）等也很成功。然而当杂质浓度（impurity concentration）非常高时，杂质散射强度增加，将出现弱散射理论不能解释的奇异现象。例如电阻率在低温下与温度有很弱的依赖关系，但进一步降低温度它却随温度的降低而增加，因此Mathiessen规则不再成立。因为根据弱散射理论，声子的散射在温度降低时被压制，而静态的杂质散射不依赖温度。根据Mathiessen规则，系统的总电阻为两者之合，因此电阻不会随温度进一步降低而增加。1973年Mooij通过对大量的杂质浓度很高的介观金属系统的研究发现，当电阻率大于一定值（大约在80180之间）时，变成负的，即

21、电阻率随温度的降低而增加。这一现象几乎是“普适的”，不依赖于具体的材料性质。这一现象不能用弱散射理论解释，因为它总是预言0。这预示经典的Mathiessen规则不再有效。 为了深入地了解具有高杂质浓度的金属系统的这一特性，我们首先分析建立在弱散射理论基础上的Drude电导率公式 (2.1)这里m是电子的有效质量，n是电子密度，是电子散射的驰豫时间。只有当电子的费米波长远远小于它的平均自由程时，这时量子涨落很小，Drude电导率公式才有效，既满足条件 (2.2)对于三维金属导体，利用电子密度与费米波矢量的关系，上面的电导率公式可以写成 (2.1)代入基本常数，得到电导率所要满足的条件 (2.3)

22、或者电阻率所满足的条件 (2.4)这里费米波长的单位是。对大多数金属，导带电子的费米波长变化不大，一般在2到5之间，这样电阻率要满足。当电阻率接近100cm时，Drude电导率公式将会出现问题，从而给出不正确的电导率或电阻率。公式（2.3）称为Yoffe-Regel判据，它表示弱散射理论的适用条件。 大量的实验证明，对于二维和一维金属，即使杂质浓度很低时，在足够低的温度下，总会出现0，这是一个普适的现象。对于三维金属，在杂质浓度很高时，也会出现0，而变成绝缘体。因此无序（disorder）（反映杂质浓度大小的一个参量）是研究导体输运性质的一个重要参量。由于无序而导致的系统从金属态到绝缘态的转变

23、称为Anderson转变（Anderson transition）。 研究具有较强无序系统的电子输运性质的理论称为Anderson局域化理论（Anderson localization theory）。它可以很好地解释上面所讨论的电阻率在低温时的行为，并预言不存在真正的一维和二维金属导体，并且对三维系统存在金属绝缘体转变（Anderson 转变）。通常用无规势V(r)（random potential）来描述无序系统 (2.5)这里表示对杂质分布求系综平均，函数C(r) 的变化范围a是一个微观尺度，它的大小对应于杂质势V(r) 的涨落强度。另一个描述无序的方式是取无规变化的周期势，称为Ande

24、rson模型，其哈密顿量（Hamiltonian）是 (2.6)这里表示i和j是最近邻的格点，电子只在最近邻的格点间跃迁。如图2.1所示。Anderson模型是一个紧束缚近似模型。电子在格点的能量（对角无序）或跃迁能量（非对角无序），或两者都可以取作无规变量。在Anderson模型中，Anderson取跃迁能量为一常数=V，而取为无规变化的量。在紧束缚近似下，自由电子的能带宽度为2zV，这里z是最近邻格点数。取格点能量为一独立无规变量，其分布几率为 (2.7)比值W/V可以方便的用作测量系统的无序强弱。当W/V很大时，表示无序很强，在这种情况下，电子被限制在一个小的区域内而不能扩展到整个系统，

25、这表示电子处在局域态；当W/V很小时，表示无序很弱，电子可以运动到整个区域，表示电子处在扩展态。Anderson对局域态和扩展态作了严格的定义，在无限大的系统中，在t=0时刻在格点i上（或其附近）有一个电子，经过很长时间t（远远大于任何微观时间长度）以后，在i格点上如果找到这个电子的几率为零，就说明这个电子离开了这个格点在系统中传播，电子处于扩展态；如果在这点找到这个电子的几率不为零，而为一有限值，就表明电子处在i格点附近的稳定的局域态，这就是Anderson局域化概念。Anderson用微扰理论研究了上面的哈密顿量（2.6），他发现对于足够强的无序，类似于束缚态的形成，出现一个局域态，对应的

26、波函数的包络（envelope）当远离局域化中心时指数衰减。如图所示，给出一个典型的平均自由程为的扩展态（a）和局域化长度为的局域态波函数（b）。取（2.6）式的第一项为非微扰项，而取为微扰，通过微扰展开可以得到电子自能（self-energy）的级数表达式。Anderson证明对于足够大的W/V，即当W/V大于某一数值时W/VW/V|，电子自能的级数表达式是收敛的，W/V|的上限满足条件 (2.8)这里e=2.7是自然常数。这就是Anderson局域化的判据。这里我们不给出Anderson的计算，只简单的说明一下最后的结果。在格点i=0，电子的定域格林函数（Green function）可以

27、写成 这里(E) 是电子的自能。如果电子的自能的虚部为零，比如(E) 是一个常数，则电子的定域格林函数没有衰减，这说明电子处在以i=0为中心的局域态。上面的自能的级数收敛式的虚部为零。如果自能的虚部为一有限值，则电子的定域格林函数随时间衰减，表明电子离开i=0的格点而传播到整个系统，这时电子处在扩展态。 通过进一步的分析和大量的数值计算，现在一般认为对于足够强的无序，使W/V满足Anderson判据，系统的所有态都是局域化的。对于中等程度或较弱的无序，Mott认为，在能带边缘（带尾）的态由于无序可能成为局域态，而在能带中心附近的态是扩展态。扩展态与局域态通过迁移率边和（mobility edg

28、es）分开。如图2.2所示。Mott进一步说明，扩展态和局域态不能共存，否则任何小的相互作用都可使它们交叠而组成新的扩展态。当W/V增加时，迁移率边互相接近并且在某一极限值时相融合，这时所有的态都变成了局域态，从而发生Anderson转变。然而理论证明，局域化过程不能导致态密度在费米面附近出现任何奇异变化，如不能在费米能处出现能隙等。 如果在费米能量附近的态全是局域态，那么在绝对零度T=0，系统是绝缘体。这可以通过证明在局域态电子的扩散系数D为零来解释。根据Einstein关系（） (2.9)当扩散系数为零，电导率也为零。为了证明处在局域态上的电子的扩散系数为零，我们选取适当的能量本征态，在t

29、=0时刻，以r=0点为中心构造一个波包，如果本征态 |i 远离点r=0几个局域化长度，则系数将指数式的趋于零。在t时刻，波包随时间演化成 (2.10)这里在任何时间都随与波包中心的距离r指数衰减。因此在t时刻，考虑电子的扩散，应该等于2Dt；另一方面，电子处在局域态，永远都不会大于，因此只有D=0。在局域态系统的电导为零，这给我们一个解释金属绝缘体转变的简单机制。通过改变电子的密度和无序强度，可以分别改变费米能量和迁移率边及。只要费米能量从扩展态进入到局域态，系统将从金属相进入到绝缘相。因为在绝缘相并且随温度增加而减小，很自然的在金属绝缘体转变附近是负的。至此很容易看出，局域化理论可以很好地解

30、释无序导体的反常性质及无序导致的金属绝缘体转变。 当无序很弱时，即W/V很小，通常的弱散射理论是有效的，最方便的无量纲参量是或，它们是同量级的。弱散射的电导率由（2.1）式给出。对于二维导体，电导率等于一个普适常数乘上，。正如在本小节一开始所讨论的，如果接近于1，弱散射理论不再有效。根据Yoffe-Regel判据（2.3），当1时 (2.11)这里和为常数。对一般的金属，费米波矢量的倒数只有几个，因此对于三维导体，电阻率一般在cm的量级。据此，Mott提出了最小金属电导的概念，认为是导体的最小金属电导率。是否存在最小金属电导率现在还不完全清楚，新的实验显示，当电导率远小于时，金属相仍然存在。而

31、局域化的标度理论不支持存在最小金属电导率，电导率可以连续的趋于零。无论是否真的存在最小电导率，但在这一点附近，电导率确实出现不寻常的变化。从这点来看，最小金属电导率还是有一定意义的。2.2 局域化区的热激发电导 如果在费米能量附近的态全是局域化的，为具体起见我们假定费米能级处在导带的下部，根据上节的讨论，则在T=0，系统的电导率为零。而在有限温度，系统中存在热激发电子，这些热激发电子可能参与下面几种可能的过程而对系统的电导率有贡献。（1） 激活（activation）到迁移率边。如果在费米面附近的处在局域态上的电子通过与声子的相互作用而获得的热能大于，电子被激活到扩展态上，所产生的电导为 (2

32、.12)系数正比于电子声子耦合强度的平方。（2） 激活到近邻局域态。取局域态的局域化长度为，在费米能级附近的单位体积内的态密度为n(0)，则在d维空间以尺度为所围体积内的单位能量内的状态数为，因此相邻能级差应为 (2.13) 那么所产生的电导率可表达成 (2.14)（3） 可变程跃迁（variable range hopping (VRH)）。电子从一个局域态跃迁到一个相对距离L的局域态，它对跃迁电导率的贡献应该正比于两者波函数交叠矩阵元的平方，这里I是一个量级为的特征能量。另一方面，所考虑的子系统的尺度增大，在费米能级附近两相邻能级之差为 (2.15) 在距离为L的两个局域态之间的跃迁，其电

33、导率应正比于。在足够低的温度下，可以实现L情况的跃迁，其最佳的跃迁距离可以通过取上式指数的极小值得到 (2.16)因此在这样的温度下，VRH的电导率可以表达成 (2.17)这里C是一个无量纲常数，。当，最近邻跃迁应该是重要的，电导率的行为应该是和之间的竞争，通常情况下起主导作用，因为比更快的趋于零。当的局域态，其跃迁矩阵元满足关系（I） 当这两个局域态之间的能量差小于或接近于，它们将通过隧穿产生共振而形成“双峰态”。这两个态的二极矩的矩阵元正比于R，而这种双峰态的总数正比于以R为半径为厚度的壳（shell）的体积，因此两者的乘积，这样可以解释上式中的对数因子。由于低频对应于很大的距离R，对于介

34、观系统，当R大于介观系统的尺度时，在电导率中可能出现频率尺度转换（frequency-size crossover）。即当R大于介观系统的最大尺度时，对数因子不再依赖于频率。2.3 Thouless表象和金属线的局域化及有限温度效应70年代中期，Thouless提出局域化问题的标度描述，对后来的局域化的标度理论的建立有重要的影响。把一个系统分割成一些小的块体，通过研究块体与块体间的本征态的关联效应，来了解系统的局域化性质，这可以通过研究块体间的电导来实现。Thouless通过引入两个相关的能量来定义一个无量纲的电导，通过研究这个无量纲的电导可以得到系统的局域化的基本性质。Thouless的基本

35、思想是，一个体积为的块体的本征态是一些体积为的块体的本征态的线性组合，每个态在组合中的贡献大小依赖于相应态的波函数的交叠积分及能量差。能级差的典型值是块体中的相邻能级间隔；为了清楚的理解交叠积分，Thouless观察到，如果把块体在一个方向排成一个无穷的一维周期链，单个块体的能级被展宽而构成一个能带，能带的带宽将可很好的用于估算交叠积分。而带宽正好对应于块体在周期或反周期边界条件下的相应的本征态的能量变化。如果块体的本征态是局域的，对边界条件不敏感并且指数的小，因此块体的本征态等同于块体的本征态，也是局域的。相反如果很大，则块体的本征态扩展到整个区域，因此块体加倍后的本征态的性质可以用单一的参

36、量来描述。在开始介绍Thouless标度化前，现简要地回顾一下电子隧穿结（tunneling junction）的电导的图像。考虑两个块体（blocks），它们通过一个极薄的能使电子隧穿的绝缘层相连，处在两边的态上的电子相互作用且具有基本上不随能量变化的隧穿矩阵元t，假定电子在两个块体间的隧穿很弱，根据费米黄金公式（Fermi golden rule），电子在某个块体（如左边的块体）的平均寿命（lifetime）可表达成 (2.19)这里是隧穿矩阵元平方平均，是终态（右边块体）的态密度。取初态（左边块体）的态密度为，当在两块体间施加小的电压V，则有的电子在时间内可以隧穿到右边，因此产生的电流为

37、，由此得到电导 (2.20)这个表达式非常有用，它适用于任何维数的系统。第二个等式就是著名的隧穿结电导表达式。严格来说，只有终态的能级是连续时，上式才有效。但对于一般的介观系统，其能级是分立的，因此我们要假定，当介观系统与外界环境，如热库、电极等的耦合使分离能级的展宽（broadening）要大于或至少与两相邻的能级差在同一量级，一般情况下这个假设是成立的。 在（2.20）式中的第一个等式是一般性的。把一个系统分成很多边长为L的块体，并且假定L, a，这里是弹性散射自由程，a是一个微观长度标度。对于这样一个块体，它的典型的在费米面附近的能级差等于它的态密度的倒数。定义一个电子在最近邻块体间跃迁

38、的能量，这里是电子在块体中的寿命，利用（2.20）式的第一个等式，块体间的无量纲电导可以表达成 (2.21)这是Thouless的标度表象的最重要的关系式。Thouless利用Einstein关系（2.9）导出上式。电子在尺度为L的块体中的扩散是一个无规行走，运行距离L所需的特征时间为，因此扩散系数可表达为 (2.22)只要块体的边长足够大，经典的扩散理论是成立的，因此不依赖于L，由此得到电子通过扩散穿过块体的时间为。但当L趋于介观尺度，局域化或量子效应将使得依赖于L。一个d维的尺度为L、电导率为的金属导体，其电导为（Ohm定律），电子在费米面附近的态密度为，这里是化学势。利用Einstein

39、关系，可以很容易得到（2.21）式。 为了更好地理解能量的物理含义，利用费米黄金公式（至少在弱耦合情况下成立），它可以用块体间的矩阵元表示 (2.23)它与周围块体所导致的能级的展宽有关。对于一个确定的块体，相邻块体的影响可以通过它的边界条件来反映，这种等价性只有当L远远大于电子的弹性散射平均自由程及所有的微观特征长度时才有效。 在Thouless的标度表象中，一个均匀系统分割成小的块体是虚拟的，显然块体间的电导正是尺度为L的块体的电导。块体的电导也可以用Kubo的线性响应理论来计算，但必须指出，原则上Kubo公式只适用于能谱是连续的无限大系统。对于有限系统，它的能级是分立的，因此我们必须假定

40、外界环境对它的影响，使它的能级展宽成一个有效的连续能谱。 无量纲电导是一个表征系统局域化性质的一个重要参量，当1，表示近邻块体中的电子有很强的耦合，然而当Lc，1。这表明系统在长度标度Lc出现局域化，Lc应该与局域化长度在同一个量级。假定上面电导与长度L的关系在区间a, L也成立，根据局域化长度的定义（），可得到局域化长度的表达式 (2.24)这里在得到第二个等式时用到了（2.1）。因此局域化长度的量级等于弹性散射平均自由程乘上导线横截面内的电子数。电子处于局域化态，金属细导线的电阻将随它的长度指数增加。对于原子尺度的横截面，局域化长度正好是，这与纯一维的情况相符合。当L，假定G1/L至少是与我们对金属细导线的感觉相一致的。理论上，对于L，局域化效应较弱，在这种情况下，位相相干长度是一个重要的特征长度标度，在这个尺度内，电子做量子扩散运动。大于这个尺度，电子的运动是经典的，并由非弹性散射来控制。因此即使知道了绝对零度的量子力学的无量纲电导，它也仅仅对应于情况。根据经典物理，几个串联在一起的导线，给定恒定电流，总的电压应该是每段导线的电压总和，因此当，系统的宏观电导率可以用在尺度的绝对零度的电导根据Ohm定律来确定。位相相干长度是T=0的量子理论有效的最大长度标度，在更大的长度标度，经典的传导理论是有效的。这是研究弱局域化效应的基础，